Définition : Effectuer la division euclidienne de deux nombres

C HAPITRE . L A DIVISION .
I. L A D IVISION E UCLIDIENNE :
Définition : Effectuer la division euclidienne de deux nombres entiers, c'est
trouver deux nombres entiers :
le quotient et le reste qui doivent vérifier
dividende = diviseur × quotient + reste
avec reste < diviseur
 Exemple:
Cette division signifie aussi que :
739 = (8×
××
×92) + 3 avec 3 < 8
II. T ECHNIQUE DE LA DIVISION EUCLIDIENNE :
 Exemple: On effectue la division euclidienne de 7314 par 12.
III. Q UOTIENT EXACT :
Lorsque le reste de la division euclidienne d’un nombre entier a par un nombre entier b est égal à zéro, on
dit que le quotient est exact. On dit aussi que b est un diviseur de a ou que a est divisible par b ou que a est
un multiple de b.
 Exemple : 29 est le quotient exact de 203 par 7. On a 203 : 7 = 29
C'est à dire 29 * 7 = 203
On dit alors que : • 203 est divisible par 7
• 7 est un diviseur de 203
• 203 est un multiple de 7
dividende
diviseur
739
19
3
8
92
reste
quotient
203
63
0
7
29
7314
12
6

 Les critères de divisibilité:
Divisibilité…
… par 2 : Un nombre est divisible par deux s'il est pair.
… par 3 : Un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est un multiple de 3.
… par 5 : Un nombre est divisible par 5 s'il se termine par 5 ou 0.
… par 9 : Un nombre est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est un multiple de 9.
 Exemple: • 1521 est divisible par 3 car 1+5+2+1 = 9
• 558 est divisible par 9 car 5+5+8 = 18
IV. Q UOTIENT D ' UN NOMBRE DECIMAL PAR UN NOMBRE ENTIER :
Définition: Effectuer la division décimale d’un nombre décimal a par un nombre
entier b différent de 0, c’est trouver le nombre manquant ? dans
l’égalité a = b x ?
Ce nombre s’appelle le quotient de la division décimale de a par b et
s’écrit a :b ou a/b
 Exemple:
19,2 : 16 = 1,2
Technique de la division décimale
Pour diviser un nombre décimal par un nombre entier, on place la virgule au quotient dès que l’on abaisse le
chiffre des dixièmes du dividende.
V D IVISIONS PARTICULIERES :
Règle : Diviser par 10 ou 100 ou 1000 revient à multiplier par 0,1 ou 0,01 ou 0,001.
Diviser par 0,1 ou 0,01 ou 0,001 revient à multiplier par 10 ou 100 ou 1000.
 Exemple : 45,8:10 = 45,8×0,1 = 4,58 8,43:0,1 = 8,43×10 = 84,3
7,3:1 000 = 7,3×0,001 = 0,0073 0,052:0,001 = 0,052×1 000 = 52
1 9,2
3 2
0
16
1 ,2

V. V ALEUR APPROCHEE D ’ UN QUOTIENT
Lorsque la division ne s’arrête pas, le quotient n’est pas un nombre décimal. Dans ce cas, on peut en
donner qu’une valeur approchée.
1. T RONCATURE ET ARRONDI A L ' UNITE :
 Exemple 1 : La partie entière (ou troncature à l'unité) du nombre 56,7 s'obtient en supprimant
les chiffres après la virgule. Sa partie entière est donc 56.
 Exemple 2 : L'arrondi à l'unité de 56,7 est l'entier le plus proche de ce nombre, c'est à dire
57.
56 56,7 57
 Exemple 3 : Le nombre 17,35 admet 17 à la fois comme troncature à l'unité et comme
arrondi à l'unité.
 Remarque : • 163,5 et aussi proche de 163 que de 164 mais son arrondi à l'unité est 164.
• L'arrondi à l'unité de 12,3 est 12
• On dit que c'est une valeur approchée par défaut.
• L'arrondi à l'unité de 127,9 est 128.
• C'est une valeur approchée par excès.
2.
Q UOTIENT APPROCHE :
 Exemple : 4 3 5 7
1 5 62,142857…
1 0
3 0
2 0
6 0
4 0
5 0
1
Exercices : Calcul mental p. 55 ; 7 ; 9 ; 11
Cette division ne se "termine jamais". Son quotient n’est
pas un nombre décimal. On ne peut donner qu'une valeur
approchée du quotient.
62,142 est une valeur approchée tronquée au millième.
62,143 est une valeur approchée arrondie au millième.