Nombres en écriture fractionnaire Partie 1 I) Proportion, quotient

Nombres en écriture fractionnaire
Partie 1
I) Proportion, quotient
Exemple : "Dans une classe de cinquième, sept élèves sur dix sont demi-pensionnaires."
Cette phrase veut dire que s'il y avait dix élèves dans la classe, sept seraient demi-pensionnaires.
Dans cet exemple, on dit que la proportion d'élèves demi-pensionnaires de cette classe est égale à
10
7
.
Remarque :
Ce disque a été partagé en 10
parts égales, chacune représente
10
1
("un dixième") du disque.
La part représentant les demi-
pensionnaires est égale à sept
fois un dixième.
Définition : Soient a et b deux nombres avec b ≠ 0.
Le résultat de la division de a par b s'appelle quotient de a par b.
Ce quotient est le nombre qui, multiplié par b, donne a. On le note
b
a
.
Dans cette écriture, on dit que a est le numérateur et b est le dénominateur.
Exemples :  Le quotient de 24 par 3 est 8 ( OU 24 : 3 = 8).
Effectivement, le produit de 8 par 3 est bien 24.
Mais on pourrait aussi écrire : 24 : 3 =
3
24
; et 3 ×
3
24
= 24.
 Le quotient de 31 par 7 est
7
31
.
C'est-à-dire :
7
31
est le nombre qui, multiplié par 7, donne 31 ; OU ENCORE 7 ×
7
31
= 31.
On a :
b
a
= a : b, avec b ≠ 0, mais
b
a
n'est pas toujours un nombre décimal !
Exemples : 
2
1
= 1 : 2 = 0,5 ; c'est un nombre décimal.
3
1
= 1 : 3 ; la division posée de 1 par 3 ne se termine jamais, donc
3
1
n'est pas un nombre
décimal.

II) Quotients égaux, simplification
On dit que le quotient
b
a
est une fraction lorsque a et b sont des nombres entiers (avec b ≠ 0).
Propriété : Soient a, b et k trois nombres, avec b et k non nuls. On a :
k
k
b
a
b
a
k
k
:b:a b
a
.
Exemples : 
7
5
3,5
2,5
3,5
2,5 
2
2
4
9
:32:72 32
72  8 8
Simplification : Simplifier une fraction, c'est la remplacer par une fraction égale dont le numérateur et le
dénominateur sont plus petits.
Exemples :  On veut simplifier
15
25
: 25 et 15 ont 5 comme chiffre des unités, ce sont donc des
multiples de 5 (revoir les critères de divisibilité vus en 6ème)
On peut écrire :
3
5
5
5 :15:25
15
25
.
 On veut simplifier
612
132
: les deux derniers chiffres de 132 forment 32 (critère de 4) et ceux
de 612 forment 12 (critère de 4), ce sont donc des multiples de 4.
De plus, on a : 1 + 3 + 2 = 6 (critère de 3) et 6 + 1 + 2 = 9 (critère de 3), 132 et 612 sont
donc aussi des multiples de 3.
On peut écrire :
51
11
34 34 
51
11
612
132
.
III) Division par un décimal
Principe : Lorsqu'on veut effectuer une division par un décimal, on rend le diviseur entier en multipliant à
la fois le dividende et le diviseur par 10, ou 100, ou 1 000, etc.
Exemple :  On veut effectuer l'opération 12 : 1,6.
On peut écrire : 12 : 1,6 =
16
120
10
10 
1,6
12
1,6
12
.
Le résultat de 12 : 1,6 est égal au résultat de 120 : 16…
Les deux derniers chiffres de 120 forment 20 (critère de 4), 120 et 16 sont donc des multiples
de 4.
Donc on a :
2
15
2
2
4
30
4
4
2
15
4
30
16
120
= 7,5.
Ainsi 12 : 1,6 = 7,5.