Nombres en écriture fractionnaire Partie 1 I) Proportion, quotient

Nombres en écriture fractionnaire
Partie 1
I) Proportion, quotient
Exemple : "Dans une classe de cinquième, sept élèves sur dix sont demi-pensionnaires."
Cette phrase veut dire que s'il y avait dix élèves dans la classe, sept seraient demi-pensionnaires.
Dans cet exemple, on dit que la proportion d'élèves demi-pensionnaires de cette classe est égale à
7
.
10
Remarque :
Ce disque a été partagé en 10
parts égales, chacune représente
1
("un dixième") du disque.
10
La part représentant les demipensionnaires est égale à sept
fois un dixième.
Définition : Soient a et b deux nombres avec b ≠ 0.
Le résultat de la division de a par b s'appelle quotient de a par b.
a
.
b
Dans cette écriture, on dit que a est le numérateur et b est le dénominateur.
Ce quotient est le nombre qui, multiplié par b, donne a. On le note
Exemples :  Le quotient de 24 par 3 est 8 ( OU 24 : 3 = 8).
Effectivement, le produit de 8 par 3 est bien 24.
24
24
Mais on pourrait aussi écrire : 24 : 3 =
; et 3 ×
= 24.
3
3
31
 Le quotient de 31 par 7 est
.
7
31
31
C'est-à-dire :
est le nombre qui, multiplié par 7, donne 31 ; OU ENCORE 7 ×
= 31.
7
7
On a :
a
a
= a : b, avec b ≠ 0, mais
n'est pas toujours un nombre décimal !
b
b
1
= 1 : 2 = 0,5 ; c'est un nombre décimal.
2
1
1
 = 1 : 3 ; la division posée de 1 par 3 ne se termine jamais, donc n'est pas un nombre
3
3
décimal.
Exemples : 
II) Quotients égaux, simplification
On dit que le quotient
a
est une fraction lorsque a et b sont des nombres entiers (avec b ≠ 0).
b
Propriété : Soient a, b et k trois nombres, avec b et k non nuls. On a :
a a k
a a :k
 
 
.
b b:k
b bk
Exemples : 
2,5 2,5  2 5


3,5 3,5  2 7

72 72 : 8 9


32 32 : 8 4
Simplification : Simplifier une fraction, c'est la remplacer par une fraction égale dont le numérateur et le
dénominateur sont plus petits.
25
: 25 et 15 ont 5 comme chiffre des unités, ce sont donc des
15
multiples de 5 (revoir les critères de divisibilité vus en 6ème)
25 25 : 5 5
On peut écrire :

 .
15 15 : 5 3
132
 On veut simplifier
: les deux derniers chiffres de 132 forment 32 (critère de 4) et ceux
612
de 612 forment 12 (critère de 4), ce sont donc des multiples de 4.
De plus, on a : 1 + 3 + 2 = 6 (critère de 3) et 6 + 1 + 2 = 9 (critère de 3), 132 et 612 sont
donc aussi des multiples de 3.
132 4  3 11 11
On peut écrire :

 .
612 4  3  51 51
Exemples :  On veut simplifier
III) Division par un décimal
Principe : Lorsqu'on veut effectuer une division par un décimal, on rend le diviseur entier en multipliant à
la fois le dividende et le diviseur par 10, ou 100, ou 1 000, etc.
Exemple :  On veut effectuer l'opération 12 : 1,6.
12 12  10 120


On peut écrire : 12 : 1,6 =
.
1,6 1,6  10 16
Le résultat de 12 : 1,6 est égal au résultat de 120 : 16…
Les deux derniers chiffres de 120 forment 20 (critère de 4), 120 et 16 sont donc des multiples
de 4.
120 4  30 30 2 15 15
Donc on a :



 = 7,5.
16
4 4
4
2 2
2
Ainsi 12 : 1,6 = 7,5.