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TS. Exercices série 1- Fonctions trigonométriques Trigo
1On considère les deux fonctions suivantes fet gdéfinies sur par : f(x)=2.cos(x) ; g(x)=cos(2.x)
Associer à chacune de ces fonctions sa courbe représentative représentée ci-dessous :
−2π−π0π2π−2π−π0π2π
2FDérivées des fonctions sin et cos
Dans un repère orthonormé ³O, −→ ı,−→ ´, soient I(1 ; 0), J(0 ; 1), M de coordonnées polaires [1 ; x] où 0 <x<π
2
(M est le point du cercle trigonométrique associé à x)
On définit également N l’intersection de l’axe (OI) et de la perpendiculaire à (OI) passant par M et D l’intersection de
(OM) et de la perpendiculaire à (OI) passant par I.
1. Faire une figure.
2. Exprimer, en fonction de x, les surfaces des triangles OIM et OID ainsi que celle du secteur angulaire OIM.
3. En déduire : pour tout x∈i0 ; π
2h, sinx<x<tan x, puis cosx<sin x x<1.
4. a. Calculer lim
x→0+
sinx
x. Quelle est la parité de x7→ sin x x? En déduire lim
x→0−
sinx
x.
b. En déduire en utilisant la définition, que la fonction sinus est dérivable en zéro et que sin0(0) =1
5. a. Montrer que pour tout x∈i−π
2;π 2h−{0},cosx−1 x=sinx x×−sinx cosx+1.
b. En déduire le nombre dérivé en zéro de la fonction cosinus.
6. a. Démontrer que pour tout réel aet pour tout réel non nul h,sin(a+h)−sin(a)
h=sina×cosh−1 h+cosa×sinh h
on pourra utiliser la formule d’addition : sin(a+b)=sinacosb+cosasinb.
b. En déduire que la fonction sinus est dérivable sur et a pour dérivée la fonction cosinus.
7. Montrer alors que cos est dérivable sur et que, pour tout réel x, cos0(x)=−sin x
on pourra utiliser les formules sur les angles associés : cos(x)=sin³x+π
2´;cos³x+π 2´=−sinx.
3Calculer la dérivée des fonctions suivantes :
1. f:x7→sin(x)cos2(x)2. g:x7→ 1+sin x
2−cosx3. h:x7→ cos¡−2x2¢
4Soit fla fonction définie sur [0 ; π] par f(x)=(1−cosx)sinx, représentée graphiquement ci-dessous.
1. Calculer f0(x).
2. Montrer que f0(x)=(1+2cosx)(1−cos x).
3. En déduire le sens de variation de f.
y
x
0π
2π
5Déterminer la limite de la suite ¡un¢définie pour tout n≥1 par un=2nsin 1
n.
6On considère la fonction fdéfinie sur par f(x)=p3cos x−sinx.
1. Démontrer que fest périodique de période 2π.On étudie alors f sur l’intervalle [0 ; 2π].
2. Démontrer que f(x)=2cos³x+π
6´.Rappel : cos(a+b)=cos acosb−sinasinb.
3. Démontrer que fest décroissante sur l’intervalle ·0 ; 5π
6¸, croissante sur ·5π 6;11π 6¸et décroissante sur ·11π 6; 2π¸.
4. Dresser le tableau de variations de f.
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TS. Exercices série 1- Fonctions trigonométriques
7On a représenté ci-dessous, dans un repère orthogonal, la fonction fdéfinie sur par f(x)=sin2x+cos(2x).
y
x
−2π−3π
2−π−π 20π 2π3π 22π
~
~
ı
1. Conjecturer la parité de fet une période de f.
2. Démontrer ces conjectures par le calcul.
8Soit fla fonction définie sur [0 ; π] par f(t)=3sinµ2t−3π
4¶.
Étudier le sens de variation de f
et en déduire les coordonnées des points A et B
correspondants aux extrema de f.
y
−3
−2
−1
1
2
3
x
0π
2π
A
B
9On a représenté graphiquement une fonction fdont l’expression est donnée par f(x)=cos(ax +b) ,
où a∈et b∈h0 ; π
2i.
– la courbe représentative de f
coupe l’axe des ordonnées en A ;
– la tangente à cette courbe en A admet pour équation :
y=−x+
p3
2.
Calculer aet b.
y
−2
−1
1
2
x
−π
20π 2π
A
10 fest la fonction définie sur par f(x)=2x−sinx. On note Csa courbe représentative dans un repère ortho-
normé ³O, −→ ı,−→ ´. L’objet de cet exercice est l’étude de la fonction fet de sa courbe C.
1. Calculer la dérivée de fen déduire les variations de fsur
2. a. Démontrer que pour tout xde , 2x−1≤f(x)≤2x+1 .
b. En déduire la limite de fen +∞ et en −∞.
3. D1et D2sont les droites d’équations respectives : y=2x−1 et y=2x+1.
a. Déterminer les points communs à Cet D1d’une part, à Cet D2d’autre part.
b. Préciser les tangentes à Cen ces points.
4. Tracer avec précision dans le repère ³O, −→ ı,−→ ´(unités graphiques 2 cm) la courbe Csur l’intervalle [0 ; π].
Déterminer et tracer les tangentes au point O et au point A d’abscisse π. Tracer également D1et D2.
m2