TS. Exercices série 1 - Fonctions trigonométriques Trigo R 1 On considère les deux fonctions suivantes f et g définies sur par : f (x) = 2. cos(x) ; g (x) = cos(2.x) Associer à chacune de ces fonctions sa courbe représentative représentée ci-dessous : −2π 2 −π 0 π 2π −2π π 0 −π 2π Dérivées des fonctions sin et cos ³ → π − → −´ Dans un repère orthonormé O, ı , , soient I(1 ; 0), J(0 ; 1), M de coordonnées polaires [1 ; x] où 0 < x < 2 (M est le point du cercle trigonométrique associé à x) On définit également N l’intersection de l’axe (OI) et de la perpendiculaire à (OI) passant par M et D l’intersection de (OM) et de la perpendiculaire à (OI) passant par I. F 1. Faire une figure. 2. Exprimer, en fonction de x, les surfaces des triangles OIM et OID ainsi que celle du secteur angulaire OIM. i πh sin x , sin x < x < tan x, puis cos x < < 1. 3. En déduire : pour tout x ∈ 0 ; 2 x sin x sin x sin x 4. a. Calculer lim+ . Quelle est la parité de x 7→ ? En déduire lim− . x→0 x→0 x x x b. En déduire en utilisant la définition, que la fonction sinus est dérivable en zéro et que sin0 (0) = 1 i π πh cos x − 1 sin x − sin x − {0}, = × . 5. a. Montrer que pour tout x ∈ − ; 2 2 x x cos x + 1 b. En déduire le nombre dérivé en zéro de la fonction cosinus. sin(a + h) − sin(a) cos h − 1 sin h 6. a. Démontrer que pour tout réel a et pour tout réel non nul h, = sin a× +cos a× h h h on pourra utiliser la formule d’addition : sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b . b. En déduire que la fonction sinus est dérivable sur 7. Montrer alors que cos est dérivable sur R et a pour dérivée la fonction cosinus. R et que, pour tout réel x,³cos0π(x)´ = − sin³ x on pourra utiliser les formules sur les angles associés : cos(x) = sin x + 3 4 Calculer la dérivée des fonctions suivantes : 1 + sin x 1. f : x 7→ sin(x) cos2 (x) 2. g : x 7→ 2 − cos x 2 ; cos x + π´ = − sin x . 2 ¡ ¢ 3. h : x 7→ cos −2x 2 Soit f la fonction définie sur [0 ; π] par f (x) = (1 − cos x) sin x, représentée graphiquement ci-dessous. y 1. Calculer f 0 (x). 2. Montrer que f 0 (x) = (1 + 2 cos x)(1 − cos x). 3. En déduire le sens de variation de f . 0 5 ¡ ¢ 1 Déterminer la limite de la suite u n définie pour tout n ≥ 1 par u n = 2n sin . n 6 On considère la fonction f définie sur R par f (x) = π 2 π x p 3 cos x − sin x . 1. Démontrer que f est périodique de période 2π. On étudie alors f sur l’intervalle [0 ; 2π]. ³ π´ 2. Démontrer que f (x) = 2 cos x + . Rappel : cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b . 6 · ¸ · ¸ · ¸ 5π 5π 11π 11π 3. Démontrer que f est décroissante sur l’intervalle 0 ; , croissante sur ; et décroissante sur ; 2π . 6 6 6 6 4. Dresser le tableau de variations de f . http://lycee.lagrave.free.fr 1 n TS. Exercices série 1 - Fonctions trigonométriques 7 On a représenté ci-dessous, dans un repère orthogonal, la fonction f définie sur R par f (x) = sin2 x + cos(2x). y ~ −2π −3π 2 −π 2 −π π 2 0 ~ı 3π 2 π x 2π 1. Conjecturer la parité de f et une période de f . 2. Démontrer ces conjectures par le calcul. µ ¶ 3π Soit f la fonction définie sur [0 ; π] par f (t ) = 3 sin 2t − . 4 8 y Étudier le sens de variation de f et en déduire les coordonnées des points A et B correspondants aux extrema de f . B 3 2 1 π 2 −1 0 −2 A −3 9 x π On a représenté graphiquement une fonction f dont l’expression est donnée par f (x) = cos(ax + b) , h πi où a ∈ et b ∈ 0 ; . 2 y – la courbe représentative de f R 2 coupe l’axe des ordonnées en A ; – la tangente p à cette courbe en A admet pour équation : 3 y = −x + . 2 1 A −π 2 Calculer a et b. 0 π 2 π x −1 −2 R f est la fonction définie sur par f (x) = 2x − sin x. On note C sa courbe représentative dans un repère ortho³ → − → −´ normé O, ı , . L’objet de cet exercice est l’étude de la fonction f et de sa courbe C . 10 1. Calculer la dérivée de f en déduire les variations de f sur 2. a. Démontrer que pour tout x de R, R 2x − 1 ≤ f (x) ≤ 2x + 1 . b. En déduire la limite de f en +∞ et en −∞. 3. D1 et D2 sont les droites d’équations respectives : y = 2x − 1 et y = 2x + 1. a. Déterminer les points communs à C et D1 d’une part, à C et D2 d’autre part. b. Préciser les tangentes à C en ces points. ³ → − → −´ 4. Tracer avec précision dans le repère O, ı , (unités graphiques 2 cm) la courbe C sur l’intervalle [0 ; π]. Déterminer et tracer les tangentes au point O et au point A d’abscisse π. Tracer également D1 et D2 . m 2