Chapitre 1. Suites

Chapitre 1. Suites
Corrigés des exercices-tests
 Vrai ou faux
a) Vrai : pour tout entier naturel n, u n+1 – u n = 7.
b) Faux : u 1 – u 0 = 2 – 1 = 1 et u 2 – u 1 = 5 – 2 = 3.
n+1
u
c) Faux : pour n ≠ 0, n +1 =
, rapport non
n
un
constant.
d) Vrai : si r est la raison,
u n + u n+2 = u n+1 – r + u n+1 + r = 2 u n+1 .
 Vrai ou faux
a) Vrai : pour tout entier naturel n, u n+1 – u n = 2.
b) Vrai : pour tout entier naturel n,
1
1
1
u n+1 – u n = –
=
> 0.
n n + 1 n(n + 1)
c) Faux : La suite du b) est strictement croissante et
ses termes sont tous inférieurs à 1.
d) Vrai : pour tout entier naturel n, f(n+1) > f(n).
 QCM
 QCM
5
7
1. c) u 1 = 3, u 2 = , u 3 = .
2
3
1
1
• u 2 – u 1 = – ≠ u 3 – u 2 = – , donc la suite (u n )
2
6
n’est pas arithmétique.
u2 5 u3 14
•
= ≠
= , donc la suite (u n ) n’est pas
u1 6 u2 15
géométrique.
5
2. b) Pour tout entier naturel n, u n+1 = u n donc
3
la suite (u n ) est géométrique.
1. a) Pour tout entier naturel n,
3
u n+1 – u n = > 0.
7
2. c) u 0 = 1, u 1 = 3, u 2 = -1 : la suite n’est pas
monotone.
3. a) Pour tout entier naturel n,
u n+1 – u n = 3n² + n + 1 > 0.
Corrigés des « Pour se tester »
29. Questions sur le cours
a) Si q > 1, alors lim qn = +∞.
c) Une suite telle qu’il existe un nombre M
supérieur à tous les termes de la suite est dite
majorée et le nombre M est un majorant de la
suite.
d) Toute suite croissante et majorée est
convergente.
e) Toute suite décroissante non minorée a pour
limite –∞.
f) (u n ) et (v n ) sont deux suites. Si pour tout entier n,
n ≥ n 0 , u n ≤ v n et lim u n = +∞,
30. Vrai ou faux
a) Faux : La suite 1 ; –1 ; 1 ; –1 ; … (u n = (–1)n) est
bornée et non convergente.
b) Vrai : les termes de la suite sont entre le
premier terme et la limite de la suite.
c) Vrai (théorème 5).
d) Vrai : v n = (u n + v n ) – u n (et théorème 3).
e) Faux : la suite (u n ) définie pour tout entier
naturel n par u n = n × (–1)n n’est pas majorée et n’a
pas pour limite +∞.
1
1
f) Faux : u n = n et v n = 2 . u n × v n = .
n
n
lim (u n × v n ) = 0, mais la suite (u n ) n’est pas
alors lim v n = +∞.
convergente.
n → +∞
b) Si –1 < q < 1, alors lim qn = 0.
n → +∞
n → +∞
n → +∞
© Nathan 2012 – Transmath Term S – Enseignement spécifique.
n → +∞
Corrigés – Chapitre 1//Page 1 sur 3
31. QCM (une seule réponse exacte)
n²
1. lim u n = lim
= lim n = +∞ .
n → +∞
n → +∞ n
n → +∞
Réponse exacte : b)
2. • Contre-exemple pour a).
La suite (u n ) définie pour tout entier naturel n par
5 +cos(n)
est telle que pour tout n :
un =
2
1
1
2 – ≤ un ≤ 3 + .
n
n
1
 1
lim  2 – n  = 2 et lim 3 +  = 3.
n → +∞

n → +∞
n
Cependant, la suite (u n ) n’est pas convergente.
• Contre-exemple pour c).
La suite définie pour tout entier naturel n, par :
5
1
un = +
2 n+1
5
1
est telle que 2 ≤ +
≤3
2 n+1
1  5
5
et lim  2 + n + 1  = .
n → +∞
 2.
• En revanche, une telle suite est bornée et n’a
donc pas pour limite +∞.
Réponse exacte : b).
3. • Sa limite est inférieure ou égale à 3 mais pas
nécessairement égale à 3. En effet, la suite de
1
terme général égal à est convergente et majorée
n
par 3, mais sa limite est 0.
• Contre-exemple pour c).
sin(n)
La suite de terme général u n =
(avec n ≥ 1)
n
est convergente de limite 0, mais n’est pas
croissante.
Réponse exacte : b).
4. • Contre-exemple pour a).
La suite (u n ) définie pour tout entier naturel n > 0
1
par u n = 2 –
est telle que pour tout entier
n+1
© Nathan 2012 – Transmath Term S – Enseignement spécifique.
1
1
naturel n > 0, – ≤ u n – 2 ≤ . Cependant, elle est
2
n
croissante.
• Contre-exemple pour c).
La suite (u n ) définie pour tout entier naturel n > 0
3 1
par u n = + est telle que pour tout entier naturel
2 n
1
1
3
n > 0, – ≤ u n – 2 ≤ . Cependant, lim u n = .
n → +∞
2
n
2
1
1
3
1
• – ≤ u n – 2 ≤ équivaut à ≤ u n ≤ 2 + donc
2
n
2
n
3
pour tout entier naturel non nul n, ≤ u n ≤ 3.
2
La suite est bornée.
Réponse exacte : b).
32. QCM (au moins une réponse exacte)
1. Pour tout entier naturel non nul n,
1 + 2 + … + n n(n + 1) n + 1
Sn =
=
=
.
n
2n
2
d) est vraie.
On en déduit :
 pour tout entier naturel non nul n, S n+1 – S n =
1
:
2
la suite est croissante : a) est fausse ;
 lim S n = +∞ : c) est fausse et b) est vraie.
n → +∞
Réponses exactes : b) et d).
2. Pour tout entier naturel non nul n,
1 + 2 + … + n n(n + 1) n + 1 1 1
Sn =
=
=
= + .
n2
2n²
2n
2 2n
1
a) est vraie. On en déduit que lim S n = .
n → +∞
2
1
1
Comme S n+1 – S n =
–
< 0 : la suite est
2(n+1)
2n
décroissante.
Réponses exactes : a) et c).
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Corrigés des exercices
53 Initialisation : 24 = 42 = 16 : (P 4 ) est vraie.
Hérédité : Supposons (P n ) vraie pour n ≥ 4 :
2n ≥ n2.
n+1
n
2 = 2 × 2 ≥ 2 × n². Comparons donc 2n² et
(n + 1)² en étudiant le signe de leur différence d :
d = 2n² – (n + 1)² = n² – 2n – 1.
La fonction f : x  x² – 2x – 1 est croissante sur
[4 ; +∞[ (f est dérivable sur [4 ; +∞[ et pour tout x
de [4 ; +∞[, f’(x) = 2x – 2).
Donc, pour tout entier naturel n ≥ 4,
f(n) ≥ f(4) = 7.
Il en résulte que d ≥ 0 et 2n² ≥ (n + 1)²
soit 2n+1 ≥ (n + 1)².
(P n ) vraie entraîne (P n+1 ) vraie.
Conclusion : Pour tout entier naturel n ≥ 4,
2n ≥ n2.
60 1. u 1 = 1, u 2 = –1, u 3 = –5, u 4 = –13, u 5 = –29.
2. a) v 0 = –1, v 1 = –2, v 2 = –4, v 3 = –8, v 4 = –16,
v 5 = –32.
b) Pour tout entier naturel n, v n = –2n.
c) Initialisation : v 0 = –1, donc (P 0 ) est vraie.
Hérédité : Supposons (P n ) vraie,
c'est-à-dire v n = –2n, pour n entier naturel.
v n+1 = u n+1 – 3 = (2u n – 3) – 3 = 2(u n – 3) = 2 v n
= 2×(–2n) = –2n+1.
(P n ) vraie entraîne (P n+1 ) vraie.
Conclusion : Pour tout entier naturel n, v n = –2n.
3. Pour tout entier naturel n, u n = v n + 3 = 3 – 2n.
67 a) En considérant les termes dominants,
5n²
= 5.
lim u n = lim
n → +∞
n → +∞ n²
–3n² 3
b) lim u n = lim
=– .
n → +∞
n → +∞ 2n²
2
71 lim u n = lim
n → +∞
n → +∞
n
1
= lim
= 0.
2n² n → +∞ 2n
lim v n = +∞.
n → +∞
• lim (u n + v n ) = +∞ (théorème 3).
n → +∞
n² 1
= .
n → +∞ 2n² 2
• lim (u n × v n ) = lim
n → +∞
un
• lim ( ) = 0 (théorème 5).
n → +∞ vn
© Nathan 2012 – Transmath Term S – Enseignement spécifique.
76 1.Pour tout entier naturel n,
u n+1 – u n = 2n + 3 > 0.
La suite (u n ) est strictement croissante.
2. Initialisation : u 0 = 1 > 0², donc (P 0 ) est vraie.
Hérédité : Supposons (P n ) vraie, c'est-à-dire :
u n > n², pour n entier naturel.
u n+1 = u n + 2n + 3 > n² + 2n + 3 > n² + 2n + 1
= (n + 1)².
Soit u n+1 > (n + 1)². (P n ) vraie entraîne (P n+1 ) vraie.
Conclusion : Pour tout entier naturel n, u n > n².
3. Comme lim n² = +∞, le théorème de
n → +∞
comparaison (théorème 1) nous permet de
conclure : lim u n = +∞.
n → +∞
84 1. Pour tout entier naturel n,
1
u n+1 – u n =
>0:
(n + 1)3
la suite (u n ) est strictement croissante.
1
2. a) Initialisation : u 1 = 1 ≤ 2 – , donc (P 1 ) est
1
vraie.
Hérédité : Supposons (P n ) vraie,
1
c'est-à-dire u n ≤ 2 – , pour n entier naturel non
n
nul.
1
1
1
u n+1 = u n +
≤2– +
.
(n + 1)3
n (n + 1)3
1
1
1
Comparons –
et
.:
n (n + 1)3 n + 1
1
1
1
1
1
–
=
>
>
n n + 1 n(n + 1) (n + 1)² (n + 1)3
1
1
1
donc –
>
.
n (n + 1)3 n + 1
1
1
1
Il en résulte 2 – +
<2–
n (n + 1)3
n+1
1
et u n+1 < 2 –
. (P ) vraie entraîne (P n+1 ) vraie.
n+1 n
Conclusion : Pour tout entier naturel non nul n,
1
un ≤ 2 – .
n
b) La suite (u n ) est (strictement) croissante et
majorée par 2 : elle est convergente (théorème 8)
et sa limite est inférieure ou égale à 2.
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