Chapitre 1. Suites

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Chapitre 1. Suites
Corrigés des exercices-tests
 Vrai ou faux
a) Vrai : pour tout entier naturel n, un+1 – un
b) Faux : u
= 7.
1 – u0 = 2 – 1 = 1 et u2 – u1
c) Faux : pour n ≠ 0,
= 5 – 2 = 3.
1n
n
u
u
+
= n + 1
n, rapport non
constant.
d) Vrai : si r est la raison,
un + un+2 = un+1 – r + un+1 + r = 2 un+1
.
 QCM
1. c) u1 = 3, u2 = 5
2 , u3
• u
= 7
3 .
2 – u1 = –1
2 ≠ u3 – u2 = –1 6 , donc la suite (un
• u2
u1 = 5
6 ≠ u3
u2
)
n’est pas arithmétique.
= 14
15, donc la suite (un
2. b) Pour tout entier naturel n, u
) n’est pas
géométrique.
n+1 = 5
3 un donc
la suite (un
) est géométrique.
 Vrai ou faux
a) Vrai : pour tout entier naturel n, un+1 – un
b) Vrai : pour tout entier naturel n,
= 2.
un+1 – un
c) Faux : La suite du b) est strictement croissante et
ses termes sont tous inférieurs à 1.
= 1
n – 1 n + 1 = 1 n(n + 1) > 0.
d) Vrai : pour tout entier naturel n, f(n+1) > f(n).
 QCM
1. a) Pour tout entier naturel n,
un+1 – un
2. c) u
= 3
7 > 0.
0 = 1, u1 = 3, u2
3. a) Pour tout entier naturel n,
= -1 : la suite n’est pas
monotone.
un+1 – un
= 3n² + n + 1 > 0.
Corrigés des « Pour se tester »
29. Questions sur le cours
a) Si q > 1, alors lim
n → +∞ qn
b) Si –1 < q < 1, alors lim
n → +∞ q
= +∞.
n
c) Une suite telle qu’il existe un nombre M
supérieur à tous les termes de la suite est dite
majorée et le nombre M est un majorant de la
suite.
= 0.
d) Toute suite croissante et majorée est
convergente.
e) Toute suite décroissante non minorée a pour
limite –∞.
f) (un) et (vn) sont deux suites. Si pour tout entier n,
n ≥ n0, un
≤ vn et lim
n → +∞ un
alors lim
n → +∞v
= +∞,
n
= +∞.
30. Vrai ou faux
a) Faux : La suite 1 ; –1 ; 1 ; –1 ; … (un = (–1)n
b) Vrai : les termes de la suite sont entre le
premier terme et la limite de la suite.
) est
bornée et non convergente.
c) Vrai (théorème 5).
d) Vrai : vn = (un + vn) – un
e) Faux : la suite (u
(et théorème 3).
n) définie pour tout entier
naturel n par un = n × (–1)n
f) Faux : u
n’est pas majorée et n’a
pas pour limite +∞.
n = n et vn = 1
n2 . un × vn
lim
n → +∞(u
= 1
n .
n × vn) = 0, mais la suite (un
) n’est pas
convergente.

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31. QCM (une seule réponse exacte)
1. lim
n → +∞ un
Réponse exacte : b)
= lim
n → +∞ n²
n = lim
n → +∞ n = +∞ .
2. • Contre-exemple pour a).
La suite (un) définie pour tout entier naturel n par
un
2 – 1
n
≤ u
= 5 +cos(n)
2 est telle que pour tout n :
n
lim
n → +∞
2 – 1
n = 2 et lim
n → +∞
3 + 1
n = 3.
≤ 3 + 1
n .
Cependant, la suite (un
• Contre-exemple pour c).
) n’est pas convergente.
La suite définie pour tout entier naturel n, par :
un
est telle que 2 ≤ 5
2 + 1 n + 1 ≤ 3
= 5
2 + 1 n + 1
et lim
n → +∞
5
2 + 1 n + 1 = 5
2..
• En revanche, une telle suite est bornée et n’a
donc pas pour limite +∞.
Réponse exacte : b).
3. • Sa limite est inférieure ou égale à 3 mais pas
nécessairement égale à 3. En effet, la suite de
terme général égal à 1
n est convergente et majorée
par 3, mais sa limite est 0.
• Contre-exemple pour c).
La suite de terme général un
Réponse exacte : b).
= sin(n)
n (avec n
≥ 1)
est convergente de limite 0, mais n’est pas
croissante.
4. • Contre-exemple pour a).
La suite (un) définie pour tout entier naturel n > 0
par un = 2 – 1
n + 1 est telle que pour tout entier
naturel n > 0, –1
2 ≤ un
• Contre-exemple pour c).
– 2 ≤ 1
n . Cependant, elle est
croissante.
La suite (un) définie pour tout entier naturel n > 0
par un = 3
2 + 1 n est telle que pour tout entier naturel
n > 0, –1
2 ≤ un – 2 ≤ 1 n . Cependant, lim
n → +∞un
• –1
2 ≤ u
= 3
2.
n – 2 ≤ 1
n équivaut à 3 2 ≤ un ≤ 2 + 1 n donc
pour tout entier naturel non nul n, 3
2 ≤ un
La suite est bornée.
≤ 3.
Réponse exacte : b).
32. QCM (au moins une réponse exacte)
1
S
. Pour tout entier naturel non nul n,
n
d) est vraie.
= 1 + 2 + … + n
n = n(n + 1) 2n = n + 1 2.
On en déduit :
 pour tout entier naturel non nul n, Sn+1 – Sn
 lim
n → +∞ S
= 1
2 :
la suite est croissante : a) est fausse ;
n
Réponses exactes : b) et d).
= +∞ : c) est fausse et b) est vraie.
2. Pour tout entier naturel non nul n,
Sn
a) est vraie. On en déduit que lim
n → +∞ S
= 1 + 2 + … + n
n2 = n(n + 1) 2n² = n + 1 2n = 1 2 + 1 2n.
n
Comme S
= 1
2.
n+1 – Sn
Réponses exactes : a) et c).
= 1
2(n+1) – 1 2n < 0 : la suite est
décroissante.

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Corrigés des exercices
53 Initialisation : 24 = 42 = 16 : (P4) est vraie.
Hérédité : Supposons (Pn
2
) vraie pour n ≥ 4 :
n ≥ n2
2
.
n+1 = 2 × 2n
(n + 1)² en étudiant le signe de leur différence d :
≥ 2 × n². Comparons donc 2n² et
d = 2n² – (n + 1)² = n² – 2n – 1.
La fonction f : x
x² – 2x – 1 est croissante sur
[4 ; +∞[ (f est dérivable sur [4 ; +∞[ et pour tout x
de [4 ; +∞[, f’(x) = 2x – 2).
Donc, pour tout entier naturel n ≥ 4,
f(n) ≥ f(4) = 7.
Il en résulte que d ≥ 0 et 2n² ≥ (n + 1)²
soit 2n+1
(P
≥ (n + 1)².
n) vraie entraîne (Pn+1) vraie.
Conclusion
2
: Pour tout entier naturel n ≥ 4,
n ≥ n2
.
60 1. u1 = 1, u2 = –1, u3 = –5, u4 = –13, u5
2. a) v
= –29.
0 = –1, v1 = –2, v2 = –4, v3 = –8, v4
v
= –16,
5
b) Pour tout entier naturel n, v
= –32.
n = –2n
c)
.
Initialisation : v0 = –1, donc (P0) est vraie.
Hérédité : Supposons (Pn
c'est-à-dire v
) vraie,
n = –2n
v
, pour n entier naturel.
n+1 = un+1 – 3 = (2un – 3) – 3 = 2(un – 3) = 2 vn
= 2×(–2
n) = –2n+1
(P
.
n) vraie entraîne (Pn+1) vraie.
Conclusion : Pour tout entier naturel n, vn = –2n
3. Pour tout entier naturel n, u
.
n = vn + 3 = 3 – 2n
.
67
lim
n → +∞ u
a) En considérant les termes dominants,
n
b) lim
n → +∞ u
= lim
n → +∞ 5n²
n² = 5.
n
= lim
n → +∞
–3n²
2n² = –3
2.
71 lim
n → +∞ un
lim
n → +∞v
= lim
n → +∞ n
2n² = lim
n → +∞ 1
2n = 0.
n
• lim
n → +∞ (u
= +∞.
n + vn
•lim
n → +∞ (u
) = +∞ (théorème 3).
n × vn
•lim
n → +∞ (un
vn
) = 0 (théorème 5).
) = lim
n → +∞ n²
2n² = 1 2.
76
u
1.Pour tout entier naturel n,
n+1 – un
La suite (u
= 2n + 3 > 0.
n
2.
) est strictement croissante.
Initialisation : u0 = 1 > 0², donc (P0) est vraie.
Hérédité : Supposons (Pn
u
) vraie, c'est-à-dire :
n
u
> n², pour n entier naturel.
n+1 = un
= (n + 1)².
+ 2n + 3 > n² + 2n + 3 > n² + 2n + 1
Soit un+1 > (n + 1)². (Pn) vraie entraîne (Pn+1) vraie.
Conclusion : Pour tout entier naturel n, un
3. Comme lim
n → +∞ n² = +∞, le théorème de
comparaison (théorème 1) nous permet de
conclure : lim
n → +∞ u
> n².
n
= +∞.
84
u
1. Pour tout entier naturel n,
n+1 – un
la suite (u
= 1
(n + 1)3 > 0 :
n
2. a)
) est strictement croissante.
Initialisation : u1 = 1 ≤ 2 – 1
1 , donc (P1) est
vraie.
Hérédité : Supposons (Pn
c'est-à-dire u
) vraie,
n
u
≤ 2 – 1
n , pour n entier naturel non
nul.
n+1 = un
Comparons 1
n – 1 (n + 1)3 et 1 n + 1. :
+ 1
(n + 1)3 ≤ 2 – 1 n + 1 (n + 1)3 .
1
n – 1
n + 1 = 1 n(n + 1) > 1 (n + 1)² > 1 (n + 1)3
donc 1
n – 1 (n + 1)3 > 1 n + 1.
Il en résulte 2 – 1
n + 1 (n + 1)3 < 2 – 1 n + 1
et un+1 < 2 – 1
n + 1. (Pn) vraie entraîne (Pn+1) vraie.
Conclusion : Pour tout entier naturel non nul n,
un
b) La suite (u
≤ 2 – 1
n .
n
) est (strictement) croissante et
majorée par 2 : elle est convergente (théorème 8)
et sa limite est inférieure ou égale à 2.