Trigonométrie

Lycée Condorcet 2015-2016
MPSI2
Trigonométrie
Propriétés des fonctions trigonométriques
1) La fonction cos : R−→ Rest 2π-périodique et paire,
2) La fonction sin : R−→ Rest 2π-périodique et impaire,
3) La fonction tan = sin
cos est définie sur R\π 2+πZ=R\nπ 2+kπ, k ∈Zo; elle est π-périodique et impaire.
Formule clée
∀x∈R,cos2x+ sin2x= 1,i.e. cos2+ sin2= 1.
Corollaire : ∀x∈R\π
2+πZ,1 + tan2x=1 cos2x,i.e. 1 + tan2=1 cos2.
Angles remarquables
x0π/6π/4π/3π/2π
cos x1√3/2√2/2 1/2 0 −1
sin x0 1/2√2/2√3/2 1 0
tan x0√3/3 1 √3×0
Équations trigonométriques
1) Pour tout (x, y)∈R2,cos(x) = cos(y)si et seulement si x=y[2π]ou x=−y[2π],
2) Pour tout (x, y)∈R2,sin(x) = sin(y)si et seulement si x=y[2π]ou x=π−y[2π],
3) Pour tout (x, y)∈R\π
2+πZ2
,tan(x) = tan(y)si et seulement si x=y[π].
Formulaire
Pour tous réels a,b,pet q, on a, sous réserve d’existence, les formules suivantes.
Symétries
cos (−a) = cos asin (−a) = −sin atan (−a) = −tan a
cos (π−a) = −cos asin (π−a) = sin atan (π−a) = −tan a
cos (π+a) = −cos asin (π+a) = −sin atan (π+a) = tan a
cos π
2−a= sin asin π 2−a= cos atan π 2−a= 1/tan a
cos π
2+a=−sin asin π 2+a= cos atan π 2+a=−1/tan a
Image d’une somme
cos(a+b) = cos acos b−sin asin bcos(a−b) = cos acos b+ sin asin b
sin(a+b) = sin acos b+ sin bcos asin(a−b) = sin acos b−sin bcos b
tan(a+b) = tan a+ tan b
1−tan atan btan(a−b) = tan a−tan b 1 + tan atan b
Duplication
cos(2a) = cos2a−sin2a= 2 cos2a−1=1−2 sin2a
sin(2a) = 2 sin acos a
tan(2a) = 2 tan a
1−tan2a
Linéarisation
cos2a=1 + cos(2a)
2sin2a=1−cos(2a) 2

Transformation de produits en sommes
cos acos b=1
2(cos(a+b) + cos(a−b))
sin asin b=1
2(cos(a−b)−cos(a+b))
sin acos b=1
2(sin(a+b) + sin(a−b))
Transformation de sommes en produits
cos p+ cos q= 2 cos p+q
2cos p−q 2
cos p−cos q=−2 sin p+q
2sin p−q 2
sin p+ sin q= 2 sin p+q
2cos p−q 2
sin p−sin q= 2 sin p−q
2cos p+q 2
Tangente de l’angle moitié
En posant t= tan a
2:
cos a=1−t2
1 + t2sin a=2t 1 + t2tan a=2t 1−t2.