G.P. Questions de cours optique géométrique Miroir sphérique

G.P. Questions de cours optique géométrique
Miroir sphérique:
Stigmatisme:
L'objet ponctuel
A
est sur l'axe du miroir (centre
C
, sommet
S
, rayon algébrique
R=SC
). Déterminer la position du point
A'
où un rayon réfléchi coupe l'axe. On fera
intervenir l'angle qui caractérise le point d'incidence
I
. Le miroir est il stigmatique?
Que devient cette position en optique de Gauss. Conclure quant au stigmatisme. Faire la
figure.
Réponse:
Rappels mathématiques:
•l'angle extérieur à un triangle est égal à la somme des deux autres:
=
démonstration:
−=
(somme des trois angles du triangle)
•formule des sinus:
a
sin  A=b sin  B=c sin  C
démonstration: par exemple en partant de l'aire du triangle:
½×base×hauteur
S=1
2c×asin 
B= 1
2c×bsin 
A
et encore quatre autres possibilités.
On divise ensuite par
abc
...etc.
B
A C
δα
β+
B
A C
+
a
c
b

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Stigmatisme du miroir sphérique:
(remarque: les angles sont orientés donc sur la figure, l'angle
i
est négatif et
i ' =−i
)
(remarque: sur la figure, R est négatif)
On a:
CA '
sin i ' =−R
sin '
donc avec
'=i '
on obtient:
1
CA ' =1 R
sin −i
sin i
−CA
sin −i=−R
sin 
donc avec
=−i
on obtient:
1
CA =− 1 R
sin i
sin i
en faisant la somme:
1
CA ' 1 CA =1 −R
sini−sin −i
sin i
1
CA ' 1 CA =2 CS cos
Pour
A
objet ponctuel donné, la position de
A '
dépend de l'inclinaison du rayon. L'image
n'est pas ponctuelle donc le miroir n'est pas stigmatique.
Stigmatisme du miroir sphérique en optique de Gauss:
En optique de Gauss, les angles sont « petits », on travaille au premier ordre en . Alors:
1
CA ' 1 CA =2 CS
Pour
A
objet ponctuel donné, l'image
A '
est ponctuelle donc le miroir est stigmatique. Il s'agit
A
A'
CS
α
+
α'
ω
ii'
I

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de stigmatisme approché (limité aux petits angles). On vient de démontrer la relation de
conjugaison avec origine au centre.
Figure:
On a:
HS =−R1−cos
soit au premier ordre en
HS =0
On travaille dans le plan tangent en
S
d'où le dessin:
CS
ω
I
H
AA'
CS
α
+
α'
ω
ii'
I