pest la dimension de F:p=rg(F).
R´eciproquement, si p=rg(F), alors p=dim(F) donc la famille ( ~u1, ..., ~up) est g´en´eratrice de Fet de bon
cardinal, donc est une base de Fdonc est libre.
2. Si la famille est g´en´eratrice de E, alors F=Ed’o`u dim(F) = dim(E) et rg(F) = dim(E).
Si rg(F) = dim(E) alors dim(F) = dim(E) et comme de plus, on sait F⊂Eon obtient F=Edonc
E=V ect(~u1, ..., ~up) et la famille ( ~u1, ..., ~up) est g´en´eratrice de E.
R`egles de calcul : (identiques aux r`egles sur Vect !)
on ne modifie pas le rang d’une famille en enlevant le vecteur nul, en multipliant un vecteur par un scalaire
non nul, et en ajoutant `a un vecteur toute combinaison lin´eaire de vecteurs de la famille.
Exemple : d´eterminer le rang de ((1,0,1),(1,1,0),(0,−1,1)) puis le rang de (X+ 1, X + 2, X + 3, X + 4).
3.2 Rang d’une application lin´eaire
Rappel : image d’une application lin´eaire en dimension finie
Proposition
Soit Eun K−espace vectoriel admettant une base finie (~e1, ..., ~en).
Alors Im(f) = V ect(f(~e1), ..., f(~en)).
D´
efinition
Soit Eun espace vectoriel de dimension finie, Fun ev quelconque et f∈L(E, F ).
On appelle rang de f, et on note rg(f) la dimension de Im(f) : rg(f) = dim(Im(f))
Remarque
Soit Eet Fdes ev de dimension finie et f∈L(E, F ). Alors rg(f)≤min(dim(E),dim(F)).
En effet,
Si (~e1, ..., ~en) est une base de E, Im f=V ect(f(~e1), ..., f (~en)) est de dimension inf´erieure `a n=dim(E).
Et par ailleurs, Imf est un sev de F, donc de dimension inf´erieure `a celle de F.
Th´eor`eme du rang
Soit Eun K−ev de dimension finie et f∈L(E, F ).
Alors dim(Ker(f)) + rg(f) = dim(E) .
Remarque : th´eor`eme fondamental, qui a beaucoup d’applications ! !
D´emonstration
Posons p=dim(Kerf) et n=dim(E). Le but est de montrer que l’image de fest de dimension n−p.
Soit une base (~e1, ..., ~ep) du noyau de f; on la compl`ete en une base ( ~e1, ..., ~ep, ~ep+1, ..., ~en) de E.
Montrons alors que la famille (f(~ep+1), ..., f (~en)) est une base de l’image de f.
Soit ~y ∈Im(f). Alors il existe ~x ∈Etel que f(~x) = ~y. Par ailleurs, ~x s’´ecrit ~x =x1~e1+... +xn~en(car
(~e1, ..., ~en) base de E). Alors f(~x) = f(x1~e1+... +xn~en) = f(~e1)+... +f(~en) par lin´earit´e, = f(~ep+1)+... +
f(~en) puisque ~e1, .., ~ep∈Ker(f). Donc la famille (f(~ep+1), ..., f(~en)) est g´en´eratrice de Im(f). Montrons
qu’elle est libre : soit λp+1, ..λndes scalaires tels que λf (~ep+1) + ... +λnf(~en) = ~
0. Alors par lin´earit´e,
f(λp+1 ~ep+1 +...+λn~en) = ~
0. Donc λp+1 ~ep+1 +...+λn~en∈Ker(f) donc il existe des scalaires µ1, ..., µptels
que λp+1 ~ep+1 +... +λn~en=µ1e1+... +µpep, ce qui se r´e´ecrit µ1e1+... +µpep−λp+1 ~ep+1 +... +λn~en=~
0.
On conclut en utilisant que ( ~e1, ..., ~en) est une base de Edonc une famille libre.
Ccl : la famille (f(~ep+1), ..., f(~en)) est une base de l’image de fdonc dim(Imf) = n−(p+ 1) + 1 = n−p.
5