Familles libres, génératrices, bases, dimension - IMJ-PRG

Universit´e Paris 6
Ann´ee universitaire 2011-2012
Master enseignement, premi`ere ann´ee, cours d’alg`ebre.
R´esum´e de la s´eance du 14 septembre.
On d´esigne toujours par Kun corps de caract´eristique nulle.
Structure naturelle de K-espace vectoriel sur l’ensemble L(E, F ) des appli-
cations lin´eaires d’un K-ev Edans un K-ev F. Si Gest un troisi`eme K-ev, si
λ∈K, si fet f0sont deux applications lin´eaires de Evers Fet get g0deux
applications lin´eaires de Fvers G, alors
(g+g0)◦f=g◦f+g0◦f, (λg)◦f=λ(g◦f),
g◦(f+f0) = g◦f+g◦f0et g◦(λf) = λ(g◦f).
Remarque : les ´egalit´es de la premi`ere ligne se d´emontrent en n’utilisant que
les d´efinitions de la somme de deux applications lin´eaires et du produit d’une
application lin´eaire par un scalaire, et non la lin´earit´e elle-mˆeme ; cette derni`ere
est par contre cruciale pour ´etablir les ´egalit´es de la seconde ligne.
Familles libres, g´en´eratrices, bases, dimension
D´efinition d’une famille libre, d’une famille g´en´eratrice, et d’une base d’un
K-ev E, et premiers exemples.
•Si (ei) est une famille d’´el´ements de Etelle que tout ´el´ement de Esoit
l’un des eialors eiest une famille g´en´eratrice.
•La famille vide est libre ; `a ce propos, courte digression : toute assertion
de la forme
∀x∈ ∅ , P (x)
est vraie, ind´ependamment de la proposition logique P.
•Si l’on d´esigne par eil’´el´ement (0,...,0,1
|{z}
au rang i
,0,...,0) de KNalors (ei)
est une base de Kn.
•La famille (Xi)i∈Nest une base de K[X].
•Toute sous-famille d’une famille libre est libre.
•Toute famille contenant une famille g´en´eratrice est g´en´eratrice.
Quelques remarques : si (ei) est une famille libre de Ealors ei6=ejd`es que
i6=j, et ei6= 0 pour tout i. Si (ei) est une famille g´en´eratrice de Eet si (fj)
est une famille d’´el´ements de Etelle que chaque eisoit combinaison lin´eaire des
fj, alors (fj) est ´egalement g´en´eratrice.
Th´eorie de la dimension. ´ Etant donn´ee son importance, j’ai choisi de faire en
cours toutes les d´emonstrations la concernant. On a ainsi tout d’abord d´efini un
espace de dimension finie comme un espace admettant une famille g´en´eratrice
finie, puis ´etabli successivement les r´esultats suivants.
Lemme. Soit Eun K-ev, soit Pun sous-ensemble de E, et soit (ei) une
famille libre d´el´ements de Pqui est maximale en tant que famille libre d’´el´ements
de P. Tout ´el´ement de Pest alors combinaison lin´eaire des ei.
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Lemme. Soit Eun K-ev, soit (e1, . . . , en) une famille libre de Eet soit
(f1, . . . , fm) une famille g´en´eratrice de E. Il existe alors un sous-ensemble Jde
{1, . . . , m}tel que ((ei)16i6n,(fj)j∈J) soit une base de E.
Corollaire (th´eor`eme de la base incompl`ete). Si Eest un K-espace
vectoriel de dimension finie, toute famille libre finie de Epeut ˆetre prolong´ee
en une base (finie) de E.
Corollaire. Tout K-espace vectoriel de dimension finie admet une base fi-
nie. Remarque. On peut montrer que tout espace vectoriel (sans hypoth`ese de
dimension) admet une base, mais la preuve fait alors appel `a un r´esultat d´elicat
de th´eorie des ensembles (lemme de Zorn).
Lemme. Soit Eun K-espace vectoriel, soit (e1, . . . , en) une famille libre de
Eet soit (f1, . . . , fm) une famille g´en´eratrice de E. On a alors n´ecessairement
n6m.
Remarque. La preuve consiste en r´ealit´e `a montrer le r´esultat suivant, plus
fort, par r´ecurrence : pour tout r6non a r6met il existe un sous-ensemble
Jde {1, . . . , m}de cardinal m−rtel que ((ei)16i6r,(fj)j∈J)soit g´en´eratrice.
Soit Eun K-espace vectoriel de dimension finie. On montre `a l’aide de ce
qui pr´ec`ede que les bases de Esont toutes finies et de mˆeme cardinal, appel´e
dimension de E. Si on note ncette dimension alors toute famille libre de Eest
finie de cardinal inf´erieur ou ´egal `a n, et est une base si et seulement si son
cardinal est ´egal `a n.
Toute famille g´en´eratrice de Econtient une base de E, est de cardinal
sup´erieur ou ´egal `a n, et est une base si et seulement si elle est de cardinal
´egal `a n.
Un K-espace vectoriel est de dimension nulle si et seulement si il est r´eduit
`a {0}.
Si Eest un K-espace vectoriel de dimension finie net si Fest un sous-espace
vectoriel de Ealors Fest de dimension finie major´ee par n, et dim F=nsi et
seulement si F=E. Le sous-espace Fadmet un suppl´ementaire et pour tout
suppl´ementaire Gde Fon a dim E= dim F+ dim G.
Comportement vis-`a-vis des applications lin´eaires.
Soient Eet Fdeux K-espaces vectoriels et soit f:E→Fune application
lin´eaire. Soit (ei) une famille d’´el´ements de E. Si fest injective et si (ei) est
libre alors f(ei) est libre ; si fest surjective et si (ei) est g´en´eratrice alors f(ei)
est g´en´eratrice ; si fest bijective et si (ei) est une base alors (f(e−i)) est une
base.
Il s’ensuit que si fest bijective alors Eest de dimension finie si et seulement
si Fest de dimension finie, et si c’est le cas dim E= dim F.
Si Sest un sous-espace vectoriel de Esuppl´ementaire de Ker falors f|S
induit une bijection S'Im f. On en tire la formule du rang : si Eest de
dimension finie alors Im faussi et
dim Ker f+ dim Im f= dim E.
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Notons que lorsque E=Fcette ´egalit´e ne signifie pas, en g´en´eral, que Ker fet
Im fsoient suppl´ementaires.
La formule du rang a un corollaire fondamental : si Eet Fsont tous deux
de dimension finie et si dim E= dim F(ce qui s’appliquera notamment lorsque
E=F) alors on a ´equivalence entre les assertions suivantes :
i) fest injective ;
ii) fest surjective ;
iii) fest bijective.
La d´erivation et la multiplication par Xdans le R-espace vectoriel R[X]
constituent des contre-exemples `a cette ´equivalence en dimension infinie.
Exercices trait´es en cours
Nous avons fait les exercices 1, 2 et 3 de la feuille 1. Pour l’exercice 1 deux
preuves ont ´et´e donn´ees (m’une en exhibant une base, l’autre en appliquant la
formule du rang `a une application lin´eaire bien choisie).
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