TD 7

Université BORDEAUX 1 L2/2013 Algèbre 2
Liste d’exercices no7
Dualité
Exercice 1
Soit Eun espace vectoriel de dimension finie nsur un corps K.
1. Montrer que toute forme linéaire non nulle sur Eest surjective.
2. Montrer que le noyau d’une forme linéaire non nulle sur Eest un hyperplan, i.e. un sous-
espace de Ede dimension n−1.
3. Montrer que tout hyperplan de Eest le noyau d’une forme linéaire non nulle sur E.
4. Soient φ1et φ2deux formes linéaires non nulles sur E. Montrer que Ker φ1= Ker φ2si et
seulement s’il existe λ∈K∗tel que φ1=λφ2.
Exercice 2
Soient Kun corps, Eun K-espace vectoriel, fet gdeux formes linéaires sur Etelles que
pour tout x∈E,f(x)g(x) = 0. Montrer que l’une au moins des deux formes est nulle.
Exercice 3
Soient φ1,φ2et φ3les applications de R3dans Rdéfinies pour tout (x1, x2, x3)∈R3par
φ1(x1, x2, x3)=2x1+ 4x2+x3
φ2(x1, x2, x3)=4x1+ 2x2+ 3x3
φ3(x1, x2, x3) = x1+x2
Montrer que (φ1, φ2, φ3)est une base de (R3)∗et déterminer sa base duale (dans R3).
Exercice 4
Trouver toutes les formes linéaires sur R3qui s’annulent en (1,1,0) et (0,0,1) mais pas en
(1,0,1).
Exercice 5
On considère l’espace vectoriel des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à
deux, noté R2[X]. Montrer que la famille (P0, P1, P2)où P0= 1, P1=X+ 1 et P2= (X+ 1)2
constitue une base Bde R2[X]. Déterminer la base duale de la base B(dans R2[X]∗).
Exercice 6
On considère l’espace vectoriel des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal
à trois, noté R3[X]. Si P∈R3[X]on pose φ1(P) = P(0),φ2(P) = P(1),ψ1(P) = P0(0),
ψ2(P) = P0(1). Montrer que (φ1, φ2, ψ1, ψ2)est une base de R3[X]∗et déterminer sa base duale
(dans R3[X]).
Exercice 7
On considère E=Cn[X]l’espace vectoriel des polynômes à coefficients dans Cde degré ≤n
(n≥0). Soient z0, z1, . . . , zndes complexes distincts. Pour tout P∈Eet tout 0≤i≤n, on
pose fi(P) = P(zi). Montrer que (f0, f1, . . . , fn)est une base de E∗et déterminer sa base duale
(dans E).
Exercice 8
Soit Eun espace vectoriel sur un corps K. Si Fest un sous-espace de Eet si Fest un
sous-espace de E∗on pose
F⊥={f∈E∗;f(x)=0pour tout x∈F}et F◦={x∈E;f(x) = 0 pour tout f∈ F}.

1. Rappeler pourquoi F⊥est un sous-espace de E∗et pourquoi si Eest de dimension finie n,
alors dim F⊥=n−dim F(cours).
2. Montrer que F◦est un sous-espace vectoriel de E.
3. Montrer que si Eest de dimension finie n, alors dim F◦=n−dim F.
4. Montrer que si F, G sont deux sous-espaces de E, alors (F+G)⊥=F⊥∩G⊥.
5. Sous les mêmes hypothèses montrer que F⊥+G⊥⊆(F∩G)⊥et que si Eest de dimension
finie 1F⊥+G⊥= (F∩G)⊥.
6. Montrer que si F,Gsont deux sous-espaces de E∗, alors (F+G)◦=F◦∩ G◦.
7. Sous les mêmes hypothèses montrer que F◦+G◦⊆(F ∩ G)◦et que si Eest de dimension
finie 2F◦+G◦= (F ∩ G)◦.
Exercice 9
Soit Kun corps et nun entier ≥2.
1. Soit A∈Mn(K). Montrer que fA:Mn(K)→Kdéfinie par fA(M) = Tr(AM)est une
forme linéaire sur Mn(K).
2. Soit Ψ : Mn(K)→Mn(K)∗définie par Ψ(A) = fA. Montrer que Ψest linéaire et injective.
On pourra se servir des matrices élémentaires Ei,j (tout coefficient est nul sauf le coefficient
situé en i-ième ligne et j-ième colonne qui vaut 1).
3. En déduire que pour tout f∈Mn(K)∗, il existe une unique matrice A∈Mn(K)telle que
f=fA.
4. Exprimer la base duale de la base (Ei,j )à l’aide de Ψ.
5. Soit f∈Mn(K)∗telle que pour tout (A, B)∈Mn(K)2on ait f(AB) = f(BA). Montrer
qu’il existe λ∈Ktel que pour tout M∈Mn(K),f(M) = λTr(M).
Exercice 10
Soient Ele R-espace vectoriel R[X],f:E→Edéfinie par f(P) = XP et φ:E→Rdéfinie
par φ(P) = P0(0). Calculer tf(φ)
Exercice 11
Soient Eet Fdeux K-espaces vectoriels et f∈ L(E, F ).
1. Montrer que Ker(tf) = (Imf)⊥et en déduire que fest surjectif si et seulement si tfest
injectif.
2. Montrer que Im(tf)⊆(Ker f)⊥.
3. Montrer que si Eet Fsont de dimension finie, cette inclusion est en fait une égalité. 3
4. Établir que si Eet Fsont de dimension finie, on a rang(tf) = rang(f).
Exercice 12
Soient Eet Fdeux K-espaces vectoriels de dimensions finies respectives net m. Soient B
une base de Eet B0une base de F. Soit u∈ L(E, F )de matrice A∈Mm,n(K)dans les bases B
et B0. Montrer que la matrice de tudans les bases B0∗ et B∗est tA, la transposée de A.
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1. En fait cette égalité est toujours vraie. On peut la montrer en se servant du théorème de la base incomplète.
2. En revanche, cette égalité n’est pas toujours vraie.
3. En fait c’est vrai en toute généralité mais plus délicat à établir.