117 : Groupe orthogonal d`un espace vectoriel euclidien de

117 : Groupe orthogonal d’un espace vectoriel euclidien de dimension 2, de dimension 3.
R´ef´erences : principalement ”Alg`ebre MPSI”
de J.M. Monier, chapitres Groupe orthogonal,
G´eom´etrie vectorielle plane/en dimension 3.
Pr´erequis et notations :
D´ef. sym´etrie, r´eflexion. Changement de base,
d´eterminant, trace, composante connexe par arc.
Ee.v.e. orient´e de dim n= 2,3.
I- G´en´eralit´es
1) Endomorphismes
D´ef : f∈ L(E) est orthogonal si fconserve le
produit scalaire.
Exemples : Id, sym´etrie orthogonale. Attention :
les projecteurs ortho. ne sont pas des endo. ortho.
Prop : Soit f∈ L(E), on a ´equivalence : f∈ O(E)
⇔l’image de toute b.o.n. est une b.o.n.
2) Matrices
D´ef : M∈ Mn(R) est orthogonale si tMM =In.
On note On(R) l’ens. des matrices orthogonales.
On a alors det(M) = ±1.
Prop : f∈ O(E)⇔(∀,Bb.o.n.) [f]B∈ On(R)
D´ef : On note SOn(R) l’ensemble des matrices
M∈ On(R) de d´eterminant 1. (isom. positives)
Prop : On(R) et SOn(R) sont des groupes com-
pacts, SOn(R) est distingu´e d’indice 2 dans On(R).
II- Isom´etries du plan
D´ef : On pose Rθ=cos θ−sin θ
sin θcos θ;Sϕ=cos ϕsin ϕ sin ϕ−cos ϕ
Rθest appel´ee rotation d’angle θ
Th : O2(R) = {Rθ;θ∈R}∪{Sϕ;ϕ∈R}
Prop : ∀u, v ∈Eunitaires (∃!θ∈R/2πZ)Rθ(u) = v
θest l’angle de uet vnot´e (du, v).
θ7→ Rθest un isom de grpe de R/2πZ→dans SO2
Coro : SO2(R) est commutatif.
Prop : La matrice d’une rotation est invariante par
changement de b.o.n.d.
Prop :
(∀ϕ∈R), Sϕest la ma-
trice d’une r´eflexion d’axe
Dd’angle polaire ϕ/2.
Exo : Montrer que : Sϕ◦Rθ◦Sϕ=R−1
θet
Sϕ◦Sϕ0=Rϕ−ϕ0
Prop : Les rotations conservent les angles orient´es
et les r´eflexions les changent en leurs oppos´es.
Th : un s-g fini de O2(R) est isomorphe `a un
groupe cyclique ou un groupe di´edral.
III- Isom´etries de l’espace
Prop : Si f∈ O(E) alors 1 ou -1 est toujours
valeur propre de f.
Coro
(∀f∈ O(E))(∃Bb.o.n.),[f]Best de l’un des types :
Rθ=
1 0 0
0 cos θ−sin θ
0 sin θcos θ
Sθ= −1 0 0
0 cos θ−sin θ
0 sin θcos θ
D´ef : Une rotation d’axe ~ ∆ dirig´e et orient´e par
uunitaire et d’angle θest l’endo. de Edont la
matrice dans une b.o.n.d. (u, v, w) est Rθ.
Th : Soit f∈ O(E), f 6=Id.
1) Si det(f) = 1 alors fest une rotation d’axe
dirig´e par uet d’angle θtq tr(f) = 1 + 2 cos θet
sg(det(u, x, f(x))) = sg(sin θ),∀x∈E.
2) Si det(f) = −1 alors fest une r´eflexion ou la
compos´ee d’une rotation d’axe uet d’une r´eflexion
de plan orthogonal `a u.
Exo : Reconnaitre [f] = −1
4
3 1 √6
1 3 −√6
−√6√6 2
Prop : Toute rotation s’´ecrit comme produit de
deux r´eflexions.
Coro : Les retournements engendrent SO3(R).
Th : SO3(R) est un groupe simple.
XENS T3 p. 67
Jos´e Gregorio : http://agregorio.net
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