117 : Groupe orthogonal d`un espace vectoriel euclidien de

117 : Groupe orthogonal d’un espace vectoriel euclidien de dimension 2, de dimension 3.
Références : principalement ”Algèbre MPSI”
de J.M. Monier, chapitres Groupe orthogonal,
Géométrie vectorielle plane/en dimension 3.
Prérequis et notations :
Déf. symétrie, réflexion. Changement de base,
déterminant, trace, composante connexe par arc.
E e.v.e. orienté de dim n = 2, 3.
III- Isométries de l’espace
II- Isométries du plan
cos ϕ
− sin θ
; Sϕ =
sin ϕ
cos θ
θ
Déf : On pose Rθ = cos
sin θ
Rθ est appelée rotation d’angle θ
sin ϕ
− cos ϕ
Th : O2 (R) = {Rθ ; θ ∈ R} ∪ {Sϕ ; ϕ ∈ R}
I- Généralités
Prop : ∀u, v ∈ E unitaires (∃!θ ∈ R/2πZ) Rθ (u) = v
θ est l’angle de u et v noté (d
u, v).
θ 7→ Rθ est un isom de grpe de R/2πZ → dans SO2
1) Endomorphismes
Coro : SO2 (R) est commutatif.
Déf : f ∈ L(E) est orthogonal si f conserve le
produit scalaire.
Prop : La matrice d’une rotation est invariante par
changement de b.o.n.d.
Exemples : Id, symétrie orthogonale. Attention :
les projecteurs ortho. ne sont pas des endo. ortho.
Prop :
Prop : Soit f ∈ L(E), on a équivalence : f ∈ O(E)
⇔ l’image de toute b.o.n. est une b.o.n.
2) Matrices
Déf : M ∈ Mn (R) est orthogonale si t M M = In .
On note On (R) l’ens. des matrices orthogonales.
On a alors det(M ) = ±1.
Prop : f ∈ O(E) ⇔ (∀, B b.o.n.) [f ]B ∈ On (R)
Déf : On note SOn (R) l’ensemble des matrices
M ∈ On (R) de déterminant 1. (isom. positives)
Prop : On (R) et SOn (R) sont des groupes compacts, SOn (R) est distingué d’indice 2 dans On (R).
(∀ϕ ∈ R), Sϕ est la matrice d’une réflexion d’axe
D d’angle polaire ϕ/2.
Prop : Si f ∈ O(E) alors 1 ou -1 est toujours
valeur propre de f .
Coro
(∀f ∈O(E))(∃B b.o.n.),
 [f ]B est
 de l’un des types:
1
Rθ = 0
0
0
cos θ
sin θ
−1
0
− sin θ Sθ =  0
0
cos θ
0
cos θ
sin θ
0
− sin θ
cos θ
~ dirigé et orienté par
Déf : Une rotation d’axe ∆
u unitaire et d’angle θ est l’endo. de E dont la
matrice dans une b.o.n.d. (u, v, w) est Rθ .
Th : Soit f ∈ O(E), f 6= Id.
1) Si det(f ) = 1 alors f est une rotation d’axe
dirigé par u et d’angle θ tq tr(f ) = 1 + 2 cos θ et
sg(det(u, x, f (x))) = sg(sin θ), ∀x ∈ E.
2) Si det(f ) = −1 alors f est une réflexion ou la
composée d’une rotation d’axe u et d’une réflexion
de plan orthogonal à u.
√ 

3
1
√6
1

Exo : Reconnaitre [f ] = −
1
√
√3 − 6
4
− 6
6
2
Exo : Montrer que : Sϕ ◦ Rθ ◦ Sϕ = Rθ−1 et
Sϕ ◦ Sϕ0 = Rϕ−ϕ0
Prop : Toute rotation s’écrit comme produit de
deux réflexions.
Prop : Les rotations conservent les angles orientés
et les réflexions les changent en leurs opposés.
Coro : Les retournements engendrent SO3 (R).
Th : un s-g fini de O2 (R) est isomorphe à un
groupe cyclique ou un groupe diédral.
Th : SO3 (R)
XENS T3 p. 67
est
un
groupe
simple.
José Gregorio : http://agregorio.net