117 Groupe orthogonal d un ev Eucl de dim 2 ou 3

117 Groupe orthogonal d’un ev Euclidien de dimension 2 ou 3.
Prérequis: généralités sur le groupe orthogonal en
dimension qcq: endomorphisme orthog., matrice
orthog., gpe spécial orthogonal.
I.
Classification en dimension 3
Prop 3:
3 Toute rotation est décomposable,
décomposable d'au moins
une manière, en produit de réflexions.
réflexions (10)
∀r rotation, s réflexion ∊ E2, ∃!t réflexion tq. r = t s .
Groupe orthogonal en dimension 2.
{}
Soit E ev Eucl. de dim.2. On suppose que E est orienté (il
suffit de choisir arbitrairement une BON et de la
déclarer directe), et que l'on se place dans B une BOND.
Prop 4 (Mercier p.146) : r ∈ SO ( E ) ⇒ Inv ( r ) = 0 .
Prop 1:
1 O2 ( ) = { Rθ ; θ ∈ } ∪ {Sϕ ; ϕ ∈ } , où:
Prop 5(Mercier):
5
: Classification par invariants:
invariants
Soit f ∈ O ( E )
s D ∈ O ( E ) \ SO ( E ) ⇒ Inv ( s D ) = D .
Monier MPSI
Mercier
Ladegaillerie
-ou bien f est la composée d'un rotation de E3 et de la
réflexion par rapport au plan orthogonal à l'axe de cette
rotation.
O ( E ) \ SO ( E ) =
{S ; P plan vectoriel} ∪ {s r ; P =
P
P
∆
⊥ }
∆ , ∆ droite vect
" autorotation "
SO2 ( )
 cos θ − sin θ 
 cos ϕ sin ϕ 
; Sϕ = 
Rθ = 


 sin θ cos θ 
 sin ϕ − cos ϕ 
SO2 ( ) = { Rθ ; θ ∈ } est un groupe commutatif,
commutatif
dim Invf = 2 ⇔ f = Id
dim Invf = 1 ⇔ f = SD (Réflex° - Sym. orthog / droite)
dim Invf = 0 ⇔ f = Rθ (distincte de Id)
(Lad)
et isomorphe à ( / 2π , + ) .
II.
Groupe orthogonal en dimension 3.
Def 3: Soient u∊E3 tq u = 1 , ∆ l'axe dirigé et orienté
Exercice: Mq
Rθ Sϕ = Sθ +ϕ , et que
Sϕ Rθ = Sϕ −θ
(ex.10.4.1 p.368)
par u, et θ∊ℝ. On appelle rotation d'axe ∆ et d'angle θ,
θ
et on note Rot ∆ ,θ l'endomorphisme de E3 dont la
Def 1: Soit θ∊ℝ. L'endomorphisme de E dont la matrice
dans B est Rθ est appelé la rotation d'angle θ,
θ et on la
note Rotθ .
matrice dans une BOND (u,v,w) commençant par u est:
0
0 
1
1
0
0
Application: La notion de rotation permet de définir les
angles orientés de vecteurs (mod 2π), ainsi que celle
d'angle polaire d'un vecteur et d'une droite (mod π)(5).
Def 2:
2 Soit φ∊ℝ. L'endomorphisme de E dont la matrice
dans B est Sφ est appelé la réflexion par rapport à la
droite vect. D d'angle polaire
ϕ
, et on la note Réfφ .
2
Les isométries vectorielles du plan sont soit des
rotations, soit des réflexions.
Prop 2:
2 Classification des endomph orthog de E2
. SO ( E2 ) = { Rotθ ; θ ∈ }
(7)
. O ( E2 ) − SO ( E2 ) = {Réf D ; D droite vectorielle de E}
 0 cos θ

 0 sin θ

=


cos θ 
− sin θ
0
0
Rotθ
Prop6:
Prop6: Classification des endomph orthog de E3.
Soit f ∈ O ( E3 ) , f ≠ Id .
> Si det ( f ) = 1 , alors f est une rotation de E3
{
SO ( E ) = r∆
; ∆ droite vectorielle} .
> Si det ( f ) = −1 , alors:
-ou bien f est une réflexion de E3
Exercice: Reconnaître l'endomorphisme de ℝ3 dont la
matrice dans la base canonique est:
 −2 −1 2 
1

A=
2 −2 1

3 

 1 2 2
Prop 7:
7 Tout endomorphisme orthogonal de E3 est
décomposable en produit d'au plus 3 réflexions.
réflexions (6)
Prop 8:
8 (Mercier p.152): Classification par invariants:
Soit f ∈ O ( E )
dim Invf = 3 ⇔ f = Id
dim Invf = 2 ⇔ f = SP
dim Invf = 1 ⇔ f = RD
dim Invf = 0 ⇔ f =
RD S D⊥
117 Groupe orthogonal d’un ev Euclidien de dimension 2 ou 3.
III.
Notes
Angle polaire d'un vecteur: Si on note la BON B = ( i , j )
Différences entre la dim 2 et la dim 3 (pas de sources).
En dimension 2 seulement, les rotations commutent.
commutent
En dim 3, il faut des conditions: même axe, ou
retournements (1/2 tours) d'axes sécants et
orthogonaux.
En dimension 2, la forme normale de la matrice d'une
rotation, de la forme
rotation
 cos θ − sin θ 
Rθ = 

 sin θ cos θ 
est atteinte dans n'importe quelle BOND.
En dimension 3, pour obtenir la forme
0
0 
1
 0 cos θ

 0 sin θ

Classification en dimension 3
Pour uu∊E2-{0}, il s'agit de l'angle (
i, u ) .
Angle polaire d'une droite
droite: c'est l'angle polaire d'un
vecteur directeur de cette droite, il est défini modulo π.
(6) Généralisation: Théorème de Cartan-Dieudonné:
((Mercier p.148) Soit un plan vectoriel euclidien (de
dimension n)
n). Les réflexions engendrent
. Si
, toute application orthogonale de
s'écrit comme produit de moins de n réflexions.
(démo par récurrence sur n=dim(E) ).
(9) (Ladegaillerie) L'une des réflexions de la
décomposition peut être choisie arbitrairement. Les
réflexions engendrent donc le groupe O(E2).
IV.
Rθ 1 Rθ 2
En dimension 2, l'angle de la rotation
est :
θ = θ1+θ2.
En dimension 3, θ K θ1+θ2, il faut calculer θ par
R R
tr( θ 1 θ 2 ) = 1+2cosθ.
A. Endomorphisme orthogonal. O(E)
Notes numérotées:
On note O(E) l’ensemble des endomph orthogonaux de
E.
, il existe θ∊ℝ, unique modulo 2π, tq
Rotθ (U ) = V , on notera θ = (
u, v ) .
Soit f∊L(E). Les ptés suivantes sont
équivalentes.
(i) f ∈ O ( E )
Prop 2:
2
(ii)L'image par f d'une BON de E est une BON de E.
E
Prop 3:
3 ( O ( E ) , ) est un groupe.
groupe (2)
u
u
,
Remarques : (+) Un projecteur orthogonal n’est PAS un
end. orthog.
Prop 1 : Soit f∊L(E). Les ptés suivantes
équivalentes.
(i) f ∈ O ( E )
B. Matrice orthogonale. On(ℝ
ℝ)
Def 2:
2: A ∈ M n ( ) (3) est dite orthogonale ssi elle
de M n ( ) .
Soit (E,<,>) un ev. Euclidien de dimension n.
Def 1 : Un endomorphisme f de E est dit orthogonal ssi f
conserv
conserve
e le produit scalaire,
scalaire c’est-à-dire ssi :
2
∀ ( x, y ) ∈ E , f ( x ) , f ( y ) = x, y .
v
Rque:: Les endomph. orthog. sont aussi appelés isométries
vectorielles.
vectorielles (Lad)
Exple:: Les réflexions (sym. ortho par rapport à un
hyperplan de E).
représente un endomph orthogonal (base canonique).
On note On ( ) l'ensemble des matrices
matrices orthogonales
Prérequis: Galités sur le groupe
orthogonal en dimension qcq..
Caractérisation matricielle d'une symétrie:
detA = -1 et M2 = Id.
Une réflexion est déterminée par son plan invariant.
v
(1)
On va voir comment
c
cela se traduit du pt de vue
matriciel:



cos θ 
il faut que le 1er vecteur de base soir un vecteur
directeur de l'axe de rotation.
V =
(ii) ∀x ∈ E , f ( x ) = x
(iii)∃une
∃une BON B de E tq. f ( B ) est une BON de E.
(7) (Cours de Danièle Gérard, pas de source):
Le groupe SO
SO(E) = O+(E) –rotations du plan- est un
groupe, et il n'y a qu'en dim°2 qu'il soit commutatif,
commutatif c'est
ce qui va donner les angles orientés de vecteurs.
− sin θ
(5)Angles orientés de vecteurs: u, v ∊E2-{0}, U =
Monier MPSI, Mercier, Ladegaillerie.
sont
Prop 4:
4 Caractérisation matricielle.
matricielle Les assertions
suivantes sont équivalentes:
(i)A ∊ On ( )
(ii)
( A) A = I
t
(iii) A
n
( A) = I
t
n
(iv)Pour tt B BON de E, l'endomorphisme f représenté
par A dans B est orthogonal.
(v)Il existe une BON ds laquelle l'endomph f
représenté par A est orthogonal.
(vi)Les colonnes de A forment une BON de M n ,1 ( )
pour le produit scalaire usuel.
117 Groupe orthogonal d’un ev Euclidien de dimension 2 ou 3.
(v)Même chose pour les lignes ds M 1, n ( ) .
- Un espace de dim. p sur lequel la restriction de f est
l'identité.
Prop 5:
5 On ( ) est un groupe pour ×, appelé groupe
orthogonal (d'ordre n).
- Un espace de dim. q sur lequel la restriction de f est
une symétrie centrale (-Id)
- Des plans vectoriels sur lesquels la restriction de f
est une rotation vectorielle.
Prop 6:
6
∀A ∈ On ( ) , det ( A ) ∈ {−1; +1} .
C. Groupe spécial orthogonal. SO(E) = O (E).
Attention, la réciproque est fausse (4)
Il devient alors naturel de classer ces endomph selon
que leur déterminant est +1 ou -1. D'où le § C↴
Supplément (Ladegaillerie): Structure des matrices du
groupe orthogonal.
Prop:
application
Prop Les valeurs propres d'une
orthogonale f sont de module 1. Si F est un sev stable
⊥
Monier MPSI, Mercier, Ladegaillerie.
t
t
t
λ X = X A ; multiplier à droite par λX=AX, il vient
que λλ
( X X ) = ( X X ) et comme
t
t
t
*
X X ∈ + , λλ = 1
Donc les valeurs propres de A sont de module 1, i.e.
iθ
iθ
sont -1; +1 et e avec θ ≠ k π (si e est valeur propre,
− iθ
alors son conjugué e aussi car la poly. caract. est à
coefs ℝ).
+
∀f ∈ O ( E ) , det ( f ) ∈ {−1; +1} .
Classification en dimension 3
Soit F stable par f ; alors, comme f automph (bij),
( )
( )
non seulement f F ⊂ F (stable) mais f F = F .
Def 3:
3 f ∈ O ( E ) est:
⊥ ∀ x ∈ F , ∀ y ∈ F , x. y = 0 . Or f conserve le pdt scal,
Un endomph. orthog. direct ssi det ( f ) = +1
( x ) . f ( y ) = 0 , or f ( x ) ∈ F , et lorsque x décrit
F , f ( x ) décrit , f ( F ) = F . Donc ∀ z ∈ F , z . f ( y ) = 0
ie f ( y ) ∈ F (stabilité de F ).
donc f
Un endomph. orthog. indirect ssi det ( f ) = −1
Def 4 (et Prop): L'ens des automph orthog. directs de E
est un sg de O ( E ) (pour la loi o), appelé groupe
⊥
⊥
spécial orthogonal de E et noté SO ( E ) .
(9) (Ladegaillerie) On raisonne par récurrence sur la
Du point de vue matriciel, on définit parallèlement le
groupe spécial orthogonal SOn ( ) , sg de On ( ) dans
dimension. C'est vrai en dim.1 ( f = ± Id E ). En
Th: Si f est une isométrie vectorielle d'un espace
Mn () .
dimension 2 aussi, Cf. II., ensuite récurrce sur la dim.
vectoriel euclidien E , il existe une BON dans laquelle
f a une matrice formée de blocs diagonaux du type:
D. Notes.
(1)Démo (ii)⇒(i) par
1 0

Ip = 0 
0 0

 cos θ
Rθ = 
 sin θ
2 f ( x) , f ( y) = f ( x) + f ( y) − f ( x) − f ( y)
par f , alors son orthogonal F est également stable.(8)
0
 −1 0 0 



0 , −Iq = 0 0




 0 0 −1 
1


− sin θ 
 pour un certain nombre de
cos θ 
valeurs de θ, et des zéros partout ailleurs.(9)
On dit alors que la matrice de f est sous forme normale.
La mise sous forme normale de A signifie que E est
somme directe orthogonale de :
2
2
2
(2)C'est le sg de GL(E) engendré par les réflexions.
Cf. ex 10.3.7 p.363.
(3) Les coefs des matrices sont dans ℝ car il s'agit d'ev
Euclidiens, par Hermitiens (ℂ).
 1 1
.
 0 1
(4) Contre-exemple 
(8) (Ladegaillerie) Munir E d'une BON pour avoir A
orthogonale. Poser λ valeur propre, et partir de la def°
AX=λX.
Transposer,
conjuguer,
on
obtient