117 Groupe orthogonal d’un ev Euclidien de dimension 2 ou 3. Prérequis: généralités sur le groupe orthogonal en dimension qcq: endomorphisme orthog., matrice orthog., gpe spécial orthogonal. I. Classification en dimension 3 Prop 3: 3 Toute rotation est décomposable, décomposable d'au moins une manière, en produit de réflexions. réflexions (10) ∀r rotation, s réflexion ∊ E2, ∃!t réflexion tq. r = t s . Groupe orthogonal en dimension 2. {} Soit E ev Eucl. de dim.2. On suppose que E est orienté (il suffit de choisir arbitrairement une BON et de la déclarer directe), et que l'on se place dans B une BOND. Prop 4 (Mercier p.146) : r ∈ SO ( E ) ⇒ Inv ( r ) = 0 . Prop 1: 1 O2 ( ) = { Rθ ; θ ∈ } ∪ {Sϕ ; ϕ ∈ } , où: Prop 5(Mercier): 5 : Classification par invariants: invariants Soit f ∈ O ( E ) s D ∈ O ( E ) \ SO ( E ) ⇒ Inv ( s D ) = D . Monier MPSI Mercier Ladegaillerie -ou bien f est la composée d'un rotation de E3 et de la réflexion par rapport au plan orthogonal à l'axe de cette rotation. O ( E ) \ SO ( E ) = {S ; P plan vectoriel} ∪ {s r ; P = P P ∆ ⊥ } ∆ , ∆ droite vect " autorotation " SO2 ( ) cos θ − sin θ cos ϕ sin ϕ ; Sϕ = Rθ = sin θ cos θ sin ϕ − cos ϕ SO2 ( ) = { Rθ ; θ ∈ } est un groupe commutatif, commutatif dim Invf = 2 ⇔ f = Id dim Invf = 1 ⇔ f = SD (Réflex° - Sym. orthog / droite) dim Invf = 0 ⇔ f = Rθ (distincte de Id) (Lad) et isomorphe à ( / 2π , + ) . II. Groupe orthogonal en dimension 3. Def 3: Soient u∊E3 tq u = 1 , ∆ l'axe dirigé et orienté Exercice: Mq Rθ Sϕ = Sθ +ϕ , et que Sϕ Rθ = Sϕ −θ (ex.10.4.1 p.368) par u, et θ∊ℝ. On appelle rotation d'axe ∆ et d'angle θ, θ et on note Rot ∆ ,θ l'endomorphisme de E3 dont la Def 1: Soit θ∊ℝ. L'endomorphisme de E dont la matrice dans B est Rθ est appelé la rotation d'angle θ, θ et on la note Rotθ . matrice dans une BOND (u,v,w) commençant par u est: 0 0 1 1 0 0 Application: La notion de rotation permet de définir les angles orientés de vecteurs (mod 2π), ainsi que celle d'angle polaire d'un vecteur et d'une droite (mod π)(5). Def 2: 2 Soit φ∊ℝ. L'endomorphisme de E dont la matrice dans B est Sφ est appelé la réflexion par rapport à la droite vect. D d'angle polaire ϕ , et on la note Réfφ . 2 Les isométries vectorielles du plan sont soit des rotations, soit des réflexions. Prop 2: 2 Classification des endomph orthog de E2 . SO ( E2 ) = { Rotθ ; θ ∈ } (7) . O ( E2 ) − SO ( E2 ) = {Réf D ; D droite vectorielle de E} 0 cos θ 0 sin θ = cos θ − sin θ 0 0 Rotθ Prop6: Prop6: Classification des endomph orthog de E3. Soit f ∈ O ( E3 ) , f ≠ Id . > Si det ( f ) = 1 , alors f est une rotation de E3 { SO ( E ) = r∆ ; ∆ droite vectorielle} . > Si det ( f ) = −1 , alors: -ou bien f est une réflexion de E3 Exercice: Reconnaître l'endomorphisme de ℝ3 dont la matrice dans la base canonique est: −2 −1 2 1 A= 2 −2 1 3 1 2 2 Prop 7: 7 Tout endomorphisme orthogonal de E3 est décomposable en produit d'au plus 3 réflexions. réflexions (6) Prop 8: 8 (Mercier p.152): Classification par invariants: Soit f ∈ O ( E ) dim Invf = 3 ⇔ f = Id dim Invf = 2 ⇔ f = SP dim Invf = 1 ⇔ f = RD dim Invf = 0 ⇔ f = RD S D⊥ 117 Groupe orthogonal d’un ev Euclidien de dimension 2 ou 3. III. Notes Angle polaire d'un vecteur: Si on note la BON B = ( i , j ) Différences entre la dim 2 et la dim 3 (pas de sources). En dimension 2 seulement, les rotations commutent. commutent En dim 3, il faut des conditions: même axe, ou retournements (1/2 tours) d'axes sécants et orthogonaux. En dimension 2, la forme normale de la matrice d'une rotation, de la forme rotation cos θ − sin θ Rθ = sin θ cos θ est atteinte dans n'importe quelle BOND. En dimension 3, pour obtenir la forme 0 0 1 0 cos θ 0 sin θ Classification en dimension 3 Pour uu∊E2-{0}, il s'agit de l'angle ( i, u ) . Angle polaire d'une droite droite: c'est l'angle polaire d'un vecteur directeur de cette droite, il est défini modulo π. (6) Généralisation: Théorème de Cartan-Dieudonné: ((Mercier p.148) Soit un plan vectoriel euclidien (de dimension n) n). Les réflexions engendrent . Si , toute application orthogonale de s'écrit comme produit de moins de n réflexions. (démo par récurrence sur n=dim(E) ). (9) (Ladegaillerie) L'une des réflexions de la décomposition peut être choisie arbitrairement. Les réflexions engendrent donc le groupe O(E2). IV. Rθ 1 Rθ 2 En dimension 2, l'angle de la rotation est : θ = θ1+θ2. En dimension 3, θ K θ1+θ2, il faut calculer θ par R R tr( θ 1 θ 2 ) = 1+2cosθ. A. Endomorphisme orthogonal. O(E) Notes numérotées: On note O(E) l’ensemble des endomph orthogonaux de E. , il existe θ∊ℝ, unique modulo 2π, tq Rotθ (U ) = V , on notera θ = ( u, v ) . Soit f∊L(E). Les ptés suivantes sont équivalentes. (i) f ∈ O ( E ) Prop 2: 2 (ii)L'image par f d'une BON de E est une BON de E. E Prop 3: 3 ( O ( E ) , ) est un groupe. groupe (2) u u , Remarques : (+) Un projecteur orthogonal n’est PAS un end. orthog. Prop 1 : Soit f∊L(E). Les ptés suivantes équivalentes. (i) f ∈ O ( E ) B. Matrice orthogonale. On(ℝ ℝ) Def 2: 2: A ∈ M n ( ) (3) est dite orthogonale ssi elle de M n ( ) . Soit (E,<,>) un ev. Euclidien de dimension n. Def 1 : Un endomorphisme f de E est dit orthogonal ssi f conserv conserve e le produit scalaire, scalaire c’est-à-dire ssi : 2 ∀ ( x, y ) ∈ E , f ( x ) , f ( y ) = x, y . v Rque:: Les endomph. orthog. sont aussi appelés isométries vectorielles. vectorielles (Lad) Exple:: Les réflexions (sym. ortho par rapport à un hyperplan de E). représente un endomph orthogonal (base canonique). On note On ( ) l'ensemble des matrices matrices orthogonales Prérequis: Galités sur le groupe orthogonal en dimension qcq.. Caractérisation matricielle d'une symétrie: detA = -1 et M2 = Id. Une réflexion est déterminée par son plan invariant. v (1) On va voir comment c cela se traduit du pt de vue matriciel: cos θ il faut que le 1er vecteur de base soir un vecteur directeur de l'axe de rotation. V = (ii) ∀x ∈ E , f ( x ) = x (iii)∃une ∃une BON B de E tq. f ( B ) est une BON de E. (7) (Cours de Danièle Gérard, pas de source): Le groupe SO SO(E) = O+(E) –rotations du plan- est un groupe, et il n'y a qu'en dim°2 qu'il soit commutatif, commutatif c'est ce qui va donner les angles orientés de vecteurs. − sin θ (5)Angles orientés de vecteurs: u, v ∊E2-{0}, U = Monier MPSI, Mercier, Ladegaillerie. sont Prop 4: 4 Caractérisation matricielle. matricielle Les assertions suivantes sont équivalentes: (i)A ∊ On ( ) (ii) ( A) A = I t (iii) A n ( A) = I t n (iv)Pour tt B BON de E, l'endomorphisme f représenté par A dans B est orthogonal. (v)Il existe une BON ds laquelle l'endomph f représenté par A est orthogonal. (vi)Les colonnes de A forment une BON de M n ,1 ( ) pour le produit scalaire usuel. 117 Groupe orthogonal d’un ev Euclidien de dimension 2 ou 3. (v)Même chose pour les lignes ds M 1, n ( ) . - Un espace de dim. p sur lequel la restriction de f est l'identité. Prop 5: 5 On ( ) est un groupe pour ×, appelé groupe orthogonal (d'ordre n). - Un espace de dim. q sur lequel la restriction de f est une symétrie centrale (-Id) - Des plans vectoriels sur lesquels la restriction de f est une rotation vectorielle. Prop 6: 6 ∀A ∈ On ( ) , det ( A ) ∈ {−1; +1} . C. Groupe spécial orthogonal. SO(E) = O (E). Attention, la réciproque est fausse (4) Il devient alors naturel de classer ces endomph selon que leur déterminant est +1 ou -1. D'où le § C↴ Supplément (Ladegaillerie): Structure des matrices du groupe orthogonal. Prop: application Prop Les valeurs propres d'une orthogonale f sont de module 1. Si F est un sev stable ⊥ Monier MPSI, Mercier, Ladegaillerie. t t t λ X = X A ; multiplier à droite par λX=AX, il vient que λλ ( X X ) = ( X X ) et comme t t t * X X ∈ + , λλ = 1 Donc les valeurs propres de A sont de module 1, i.e. iθ iθ sont -1; +1 et e avec θ ≠ k π (si e est valeur propre, − iθ alors son conjugué e aussi car la poly. caract. est à coefs ℝ). + ∀f ∈ O ( E ) , det ( f ) ∈ {−1; +1} . Classification en dimension 3 Soit F stable par f ; alors, comme f automph (bij), ( ) ( ) non seulement f F ⊂ F (stable) mais f F = F . Def 3: 3 f ∈ O ( E ) est: ⊥ ∀ x ∈ F , ∀ y ∈ F , x. y = 0 . Or f conserve le pdt scal, Un endomph. orthog. direct ssi det ( f ) = +1 ( x ) . f ( y ) = 0 , or f ( x ) ∈ F , et lorsque x décrit F , f ( x ) décrit , f ( F ) = F . Donc ∀ z ∈ F , z . f ( y ) = 0 ie f ( y ) ∈ F (stabilité de F ). donc f Un endomph. orthog. indirect ssi det ( f ) = −1 Def 4 (et Prop): L'ens des automph orthog. directs de E est un sg de O ( E ) (pour la loi o), appelé groupe ⊥ ⊥ spécial orthogonal de E et noté SO ( E ) . (9) (Ladegaillerie) On raisonne par récurrence sur la Du point de vue matriciel, on définit parallèlement le groupe spécial orthogonal SOn ( ) , sg de On ( ) dans dimension. C'est vrai en dim.1 ( f = ± Id E ). En Th: Si f est une isométrie vectorielle d'un espace Mn () . dimension 2 aussi, Cf. II., ensuite récurrce sur la dim. vectoriel euclidien E , il existe une BON dans laquelle f a une matrice formée de blocs diagonaux du type: D. Notes. (1)Démo (ii)⇒(i) par 1 0 Ip = 0 0 0 cos θ Rθ = sin θ 2 f ( x) , f ( y) = f ( x) + f ( y) − f ( x) − f ( y) par f , alors son orthogonal F est également stable.(8) 0 −1 0 0 0 , −Iq = 0 0 0 0 −1 1 − sin θ pour un certain nombre de cos θ valeurs de θ, et des zéros partout ailleurs.(9) On dit alors que la matrice de f est sous forme normale. La mise sous forme normale de A signifie que E est somme directe orthogonale de : 2 2 2 (2)C'est le sg de GL(E) engendré par les réflexions. Cf. ex 10.3.7 p.363. (3) Les coefs des matrices sont dans ℝ car il s'agit d'ev Euclidiens, par Hermitiens (ℂ). 1 1 . 0 1 (4) Contre-exemple (8) (Ladegaillerie) Munir E d'une BON pour avoir A orthogonale. Poser λ valeur propre, et partir de la def° AX=λX. Transposer, conjuguer, on obtient