Fiche de cours sur les matrices 2 × 2

Universit´e de Grenoble Ann´ee 2013-2014
Licence L1 UE MAT127
Fiche de cours sur les matrices 2×2
Une matrice 2 ×2 est un tableau de deux colonnes et deux rang´ees de nombres, que l’on note
M=a b
c d.
Toute matrice repr´esente une unique application lin´eaire de R2dans R2, par exemple la matrice
Mci-dessus repr´esente l’application u: (x, y)7→ (ax+by, cx+dy). On note parfois Mula matrice
qui repr´esente u.
Si X=x
y, on note MX le vecteur M X =ax +by cx +dy. On d´efinit trois op´erations sur les ma-
trices : la multiplication par un scalaire, l’addition des matrices, la multiplication des matrices,
leurs propri´et´es sont `a savoir. Un aspect important de la multiplication des matrices est que
l’ordre compte : en g´en´eral, M1M26=M2M1.
R´esolution de r´ecurrences lin´eaires
Toute r´ecurrence lin´eaire xn+2 =axn+1 +bxnd’ordre 2 est ´equivalente `a une r´ecurrence lin´eaire
Xn+1 =MXnd’ordre 1 mais de taille 2. Il suffit de consid´erer Xn=xn+1
xnet M=a b 1 0.
Pour r´esoudre une r´ecurrence lin´eaire xn+1 =axn+byn,yn+1 =cxn+dyn, on la r´e´ecrit d’abord
comme Xn+1 =MXnavec Xn=xn
ynet M=a b c d. Puis on introduit diverses caract´eris-
tiques de la matrice M:
– sa trace tr(M) = a+d
– son d´eterminant det(M) = ad −bc
– son discriminant disc(M) = (tr(M))2−4 det(M)
– son polynˆome caract´eristique χM(x) = x2−tr(M)x+ det(M)
Cas o`u disc(M)est positif
Alors le polynˆome caract´eristique χMadmet deux racines r´eelles distinctes λet µ. On sait que
λ+µ= tr(M) et λµ = det(M). Il existe deux vecteurs propres non align´es Uλet Uµtels que
MUλ=λUλet M Uµ=µUµ.
On calcule Uλet Uµ, par exemple Uλ=uλ
vλest solution simultan´ement des deux ´equations
auλ+bvλ=λuλet cuλ+dvλ=λvλ. De mani`ere similaire, Uµ=uµ
vµest solution simultan´ement
des deux ´equations auµ+bvµ=µuµet cuµ+dvµ=µvµ.
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Puis on d´etermine αet βtels que X0=αUλ+βUµ, c’est toujours possible et il y a une seule
solution (α, β), qui d´epend de x0et y0puisque
x0=αuλ+βuµ, y0=αvλ+βvµ.
Alors Xn=αλnUλ+βµnUµpour tout n, donc
xn=αλnuλ+βµnuµ, yn=αλnvλ+βµnvµ.
Cas o`u disc(M)est n´egatif
Ce cas n’est possible que si det(M) est strictement positif. Alors le polynˆome caract´eristique χM
admet deux racines complexes conjugu´ees λ=r(cos θ+ i sin θ) et µ=r(cos θ−i sin θ). On sait
que r > 0 et sin θ6= 0, et que 2rcos θ= tr(M) et r=pdet(M).
On peut continuer `a r´esoudre ce cas comme le premier mais nous pr´ef´erons passer directement `a
la solution.
Il existe un vecteur W=u
vtel que Xn=rncos(nθ)X0+rnsin(nθ)Wpour tout n, c’est-`a-dire
xn=rncos(nθ)x0+rnsin(nθ)u, yn=rncos(nθ)y0+rnsin(nθ)v.
On peut exprimer Wen fonction des coefficients de M, il vient
u=(a−d)x0+ 2by0
2rsin θ, v =(d−a)y0+ 2cx0 2rsin θ.
On peut aussi calculer X1=MX0puis trouver uet ven r´esolvant le syst`eme
x1=rcos(θ)x0+rsin(θ)u, y1=rcos(θ)x0+rsin(θ)v.
Cas o`u disc(M)est nul
`
A votre avis, que se passe-t-il dans ce cas ?
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