Algèbre Linéaire: Endomorphismes, Projections & Symétries

11 Interprétation géométrique des endomorphismes
Projections et symétries vectorielles
Soient Eun espace vectoriel de dimension net U,Vdeux sous-espaces vectoriels
supplémentaires dans Eet non réduits au vecteur nul.
On appelle projection vectorielle de base Uet de direction Vtout
endomorphisme pde Etel que
p(u) = uet p(v) = 0 quels que soient u∈Uet v∈V.
On appelle symétrie vectorielle de base Uet de direction Vtout endo-
morphisme sde Etel que
s(u) = uet s(v) = −vquels que soient u∈Uet v∈V.
Proposition Si l’endomorphisme pde Eest une projection vectorielle, alors :
1) pn’est pas bijectif
2) p◦p=p
3) padmet uniquement les valeurs propres 0et 1et E0est la direction de p
et E1est la base de p.
Preuve Puisque E = U ⊕V, tout vecteur xde Es’écrit de manière unique
x=u+voù u∈Uet v∈V. Donc p(x) = p(u+v) = p(u) + p(v) = u+ 0 = u.
1) Puisque p(x) = u, il suit que Im(p) = U. Comme V6={0}, il apparaît
que U6= E, donc pn’est pas surjectif ; a fortiori, pn’est pas bijectif.
2) (p◦p)(x) = pp(x)=pp(u+v)=p(u) = u=p(x).
3) (a) Tout vecteur ude Uest un vecteur propre associé à la valeur
propre 1, car p(u) = u= 1 ·u.
(b) Tout vecteur vde Vest un vecteur propre associé à la valeur
propre 0, car p(v) = 0 = 0 ·v.
(c) Si xest un vecteur propre associé à la valeur propre λ, alors u=
p(x) = λ x =λ(u+v) = λ u +λ v, c’est-à-dire (λ−1) u+λ v = 0.
i. u6= 0 et v6= 0 entraîne la contradiction λ−1 = 0 et λ= 0,
attendu que les vecteurs uet vsont linéairement indépendants.
ii. u6= 0 et v= 0 donne λ−1 = 0, c’est-à-dire E1= U.
iii. u= 0 et v6= 0 implique λ= 0, à savoir E0= V.
iv. u= 0 et v= 0 est impossible, car le vecteur propre x6= 0.
Algèbre linéaire : interprétation géométrique des endomorphismes 11.1

Proposition Si l’endomorphisme sde Eest une symétrie vectorielle, alors :
1) s◦s=idE
2) sest bijectif
3) le déterminant de sest égal à ±1
4) sadmet uniquement les valeurs propres 1et −1et E−1est la direction
de set E1est la base de s.
Preuve Puisque E = U ⊕V, tout vecteur xde Es’écrit de manière unique
x=u+voù u∈Uet v∈V. Donc s(x) = s(u+v) = s(u) + s(v) = u−v.
1) (s◦s)(x) = ss(x)=ss(u+v)=s(u−v) = s(u)−s(v) = u−(−v)
=u+v=x
2) s◦s=idEsignifie que s−1=s, c’est-à-dire que sest bijectif.
3) Soit Ala matrice de srelativement à une base de E. L’identité s◦s=idE
signifie que A2= In. Il s’ensuit que 1 = det(In) = det(A2) = det(A)2,
si bien que det(A) = ±1.
4) (a) Tout vecteur ude Uest un vecteur propre associé à la valeur
propre 1, car s(u) = u= 1 ·u.
(b) Tout vecteur vde Vest un vecteur propre associé à la valeur
propre −1, car s(v) = −v= (−1) ·v.
(c) Si xest un vecteur propre associé à la valeur propre λ, alors u−v=
s(x) = λ x =λ(u+v) = λ u+λ v, c’est-à-dire (λ−1) u+(λ+1) v= 0.
i. u6= 0 et v6= 0 entraîne la contradiction λ−1 = 0 et λ+ 1 = 0,
attendu que les vecteurs uet vsont linéairement indépendants.
ii. u6= 0 et v= 0 donne λ−1 = 0, c’est-à-dire E1= U.
iii. u= 0 et v6= 0 implique λ+ 1 = 0, à savoir E−1= V.
iv. u= 0 et v= 0 est impossible, car le vecteur propre x6= 0.
11.1 Dans R2muni de sa base canonique, on considère les sous-espaces vectoriels
U = ∆ 3
1 et V = ∆ −1
1.
On désigne par sla symétrie vectorielle de base Uet de direction Vet par p
la projection vectorielle de base Vet de direction U.
Donner les matrices de set de pdans la base canonique.
Indication : quelles sont les matrices de set de pdans la base B′=3
1;−1
1?
11.2 Dans R3muni de sa base canonique, on considère les sous-espaces vectoriels
U = ∆ 
1
2
1
et V = (x;y;z)∈R3:x−y= 0.
Algèbre linéaire : interprétation géométrique des endomorphismes 11.2

On désigne par sla symétrie vectorielle de base Uet de direction Vet par p
la projection vectorielle de base Vet de direction U.
Donner les matrices de set de pdans la base canonique.
11.3 Déterminer la nature géométrique des endomorphismes de R2et de R3de
matrices :
1) 1−2
0 0 2) 3−6 1−23) 1 0
2√3−1
4) a a −1
−a1−a5) 0 2
1
206) 
3−4−2
4−7−4
−5 10 6 
7) 
5−8−4
8−15 −8
−10 20 11 
8) 1
3
2−1−1
−1 2 −1
−1−1 2 
9) 
3 0 −4
2−1−2
2 0 −3
11.4 On considère l’espace euclidien R3muni de la base canonique.
1) Déterminer la matrice relativement à la base canonique de la projection
orthogonale sur le plan πd’équation x−2y+ 3 z= 0 .
2) Déterminer la matrice relativement à la base canonique de la projection
orthogonale sur la droite vectorielle ∆
1
−2
3
.
Endomorphismes orthogonaux de R2
11.5 Soient (e1;e2)la base canonique de R2et rla rotation vectorielle d’angle α.
1) (a)
α
α
Quelles sont les composantes du vec-
teur r(e1)dans la base canonique ?
(b) Quelles sont les composantes du vec-
teur r(e2)dans la base canonique ?
(c) Quelle est la matrice Aassociée à r
dans la base canonique ?
2) Vérifier que Aest orthogonale et que det(A) = 1.
3) Montrer que An’admet aucune valeur propre si α6∈ πZ.
11.6 Soit A = cos(α) sin(α)
sin(α)−cos(α)la matrice de l’endomorphisme sde R2relati-
vement à la base canonique.
1) Vérifier que Aest orthogonale et que det(A) = −1.
Algèbre linéaire : interprétation géométrique des endomorphismes 11.3

2) Montrer que Aadmet 1et −1pour valeurs propres et que les espaces
propres associés sont E1= ∆ cosα
2
sinα
2!! et E−1= ∆ −sinα
2
cosα
2!!.
Indication : cos(α) = 1 −2 sin2α
2= 2 cos2α 2−1et sin(α) = 2 sinα 2cosα 2.
3) En déduire que sest une symétrie vectorielle orthogonale de base E1et
de direction E−1.
Théorème Les endomorphismes orthogonaux de R2sont les rotations vec-
torielles et les symétries vectorielles orthogonales.
det(A) = 1 ⇐⇒ A = cos(α)−sin(α)
sin(α) cos(α)rotation
det(A) = −1⇐⇒ A = cos(α) sin(α)
sin(α)−cos(α)symétrie orthogonale
L’axe de la symétrie est le sous-espace propre E1associé à la valeur propre 1;
sa direction est le sous-espace propre E−1associé à la valeur propre −1.
Preuve Si A = a b
c dest une matrice orthogonale, alors ses colonnes
constituent une base orthonormée, d’où résultent les équations
a2+c2= 1,b2+d2= 1 et a b +c d = 0 .
Des deux premières équations, on déduit l’existence de deux réels αet βtels
que a= cos(α)
c= sin(α)et b= sin(β)
d= cos(β). La troisième équation entraîne
0 = cos(α) sin(β) + sin(β) cos(β) = sin(α+β).
1) Si α+β= 2 k π, c’est-à-dire β=−α+2 k π, alors A = cos(α)−sin(α)
sin(α) cos(α).
2) Si α+β=π+2 k π, à savoir β=π−α+2 k π, alors A = cos(α) sin(α)
sin(α)−cos(α).
11.7 Vérifier que les endomorphismes de R2donnés ci-dessous par leur matrice
relativement à la base canonique sont des endomorphismes orthogonaux, et les
caractériser géométriquement :
1) −1 0
0−12) 0 1 −1 03) −1 0 0 1
4) 0 1
1 05) 3
5−4 5
4
5
3
5!6) −3
5−4 5
−4
5
3
5!
7) −12
13
5
13
5
13
12
13 !8) 5
13
12
13
−12
13
5
13 !9) 1
2
√3
2
√3
2−1 2!
Algèbre linéaire : interprétation géométrique des endomorphismes 11.4

Endomorphismes orthogonaux de R3
Théorème Un endomorphisme orthogonal hde R3tel que det(h) = 1 est
une rotation autour d’un axe.
L’axe d’une rotation différente de l’identité est l’espace propre E1associé à la
valeur propre 1. L’amplitude αde la rotation est donnée par cos(α) = Tr(h)−1
2.
Preuve Soit Ala matrice de hrelativement à une base orthonormée.
On suppose det(A) = det(t A) = 1 et t AA = I.
det(A −I) = 1 ·det(A −I) = det(t A) det(A −I) = dett A (A −I)
= det(t AA −t A) = det(I −t A) = det(tI−t A) = dett(I −A)
= det(I −A) = det−(A −I)= (−1)3·det(A −I) = −det(A −I)
De det(A −I) = −det(A −I), on tire que det(A −I) = 0.
D’après le théorème du bas de la page 9.4, cela signifie que 1est une valeur
propre. Il existe donc un vecteur e3non nul tel que h(e3) = e3.
La droite ∆(e3)constitue ainsi un sous-espace invariant. Vu l’exercice 10.11,
son orthogonal e⊥
3est aussi un sous-espace invariant.
Si (e1;e2)forme une base orthonormée de e⊥
3, alors la matrice de hrelativement
à la base orthonormée (e1;e2;e3)est de la forme 
B0
0
001
où Best la
matrice, dans la base (e1;e2), de la restriction de hau sous-espace e⊥
3.
Puisque 1 = det(h) = 1·det(B) = det(B) et que Best une matrice orthogonale
d’ordre 2, on conclut, grâce au théorème de la page 11.4, que Best la matrice
d’une rotation dans le plan vectoriel Π(e1;e2) = e⊥
3.
La matrice de hdans la base (e1;e2;e3)s’écrit donc 
cos(α)−sin(α) 0
sin(α) cos(α) 0
0 0 1
.
En particulier Tr(h) = 2 cos(α) + 1, si bien que cos(α) = Tr(h)−1
2.
Théorème Si hest un endomorphisme orthogonal de R3avec det(h) = −1,
alors il existe une rotation rd’axe ∆(a)et une symétrie orthogonale sdont le
plan est normal à ∆(a)telles que h=r◦s=s◦r.
L’axe de la rotation est l’espace propre E−1associé à la valeur propre −1.
L’amplitude αde la rotation est donnée par cos(α) = Tr(h)+1
2.
Dans le cas particulier où Tr(h) = 1,hest une symétrie orthogonale : le plan
de symétrie est l’espace propre E1associé à la valeur propre 1.
Algèbre linéaire : interprétation géométrique des endomorphismes 11.5