11 Interprétation géométrique des endomorphismes

11
Interprétation géométrique des endomorphismes
Projections et symétries vectorielles
Soient E un espace vectoriel de dimension n et U, V deux sous-espaces vectoriels
supplémentaires dans E et non réduits au vecteur nul.
On appelle projection vectorielle de base U et de direction V tout
endomorphisme p de E tel que
p(u) = u et p(v) = 0 quels que soient u ∈ U et v ∈ V.
On appelle symétrie vectorielle de base U et de direction V tout endomorphisme s de E tel que
s(u) = u et s(v) = −v
quels que soient u ∈ U et v ∈ V.
Proposition Si l’endomorphisme p de E est une projection vectorielle, alors :
1) p n’est pas bijectif
2) p ◦ p = p
3) p admet uniquement les valeurs propres 0 et 1 et E0 est la direction de p
et E1 est la base de p.
Preuve Puisque E = U ⊕ V, tout vecteur x de E s’écrit de manière unique
x = u + v où u ∈ U et v ∈ V. Donc p(x) = p(u + v) = p(u) + p(v) = u + 0 = u.
1) Puisque p(x) = u, il suit que Im(p) = U. Comme V 6= {0}, il apparaît
que U 6= E, donc p n’est pas surjectif ; a fortiori, p n’est pas bijectif.
2) (p ◦ p)(x) = p p(x) = p p(u + v) = p(u) = u = p(x).
3) (a) Tout vecteur u de U est un vecteur propre associé à la valeur
propre 1, car p(u) = u = 1 · u .
(b) Tout vecteur v de V est un vecteur propre associé à la valeur
propre 0, car p(v) = 0 = 0 · v .
(c) Si x est un vecteur propre associé à la valeur propre λ, alors u =
p(x) = λ x = λ (u + v) = λ u + λ v, c’est-à-dire (λ − 1) u + λ v = 0.
i. u 6= 0 et v 6= 0 entraîne la contradiction λ − 1 = 0 et λ = 0,
attendu que les vecteurs u et v sont linéairement indépendants.
ii. u 6= 0 et v = 0 donne λ − 1 = 0, c’est-à-dire E1 = U.
iii. u = 0 et v 6= 0 implique λ = 0, à savoir E0 = V.
iv. u = 0 et v = 0 est impossible, car le vecteur propre x 6= 0.
Algèbre linéaire : interprétation géométrique des endomorphismes
11.1
Proposition Si l’endomorphisme s de E est une symétrie vectorielle, alors :
1) s ◦ s = idE
2) s est bijectif
3) le déterminant de s est égal à ±1
4) s admet uniquement les valeurs propres 1 et −1 et E−1 est la direction
de s et E1 est la base de s.
Preuve Puisque E = U ⊕ V, tout vecteur x de E s’écrit de manière unique
x = u + v où u ∈ U et v ∈ V. Donc s(x) = s(u + v) = s(u) + s(v) = u − v.
1) (s ◦ s)(x) = s s(x) = s s(u + v) = s(u − v) = s(u) − s(v) = u − (−v)
= u+v =x
2) s ◦ s = idE signifie que s−1 = s, c’est-à-dire que s est bijectif.
3) Soit A la matrice de s relativement à une base de E. L’identité s◦s = idE
2
signifie que A2 = In . Il s’ensuit que 1 = det(In ) = det(A2 ) = det(A) ,
si bien que det(A) = ±1.
4) (a) Tout vecteur u de U est un vecteur propre associé à la valeur
propre 1, car s(u) = u = 1 · u .
(b) Tout vecteur v de V est un vecteur propre associé à la valeur
propre −1, car s(v) = −v = (−1) · v .
(c) Si x est un vecteur propre associé à la valeur propre λ, alors u − v =
s(x) = λ x = λ (u+v) = λ u+λ v, c’est-à-dire (λ−1) u+(λ+1) v = 0.
i. u 6= 0 et v 6= 0 entraîne la contradiction λ − 1 = 0 et λ + 1 = 0,
attendu que les vecteurs u et v sont linéairement indépendants.
ii. u 6= 0 et v = 0 donne λ − 1 = 0, c’est-à-dire E1 = U.
iii. u = 0 et v 6= 0 implique λ + 1 = 0, à savoir E−1 = V.
iv. u = 0 et v = 0 est impossible, car le vecteur propre x 6= 0.
11.1
Dans R2 muni de sa base canonique, on considère les sous-espaces vectoriels
−1
3
.
et V = ∆
U=∆
1
1
On désigne par s la symétrie vectorielle de base U et de direction V et par p
la projection vectorielle de base V et de direction U.
Donner les matrices de s et de p dans la base canonique.
3
−1
Indication : quelles sont les matrices de s et de p dans la base B =
;
?
1
1
′
11.2
Dans R3 muni de sa base canonique, on considère les sous-espaces vectoriels
 
1
U = ∆ 2 et V = (x ; y ; z) ∈ R3 : x − y = 0 .
1
Algèbre linéaire : interprétation géométrique des endomorphismes
11.2
On désigne par s la symétrie vectorielle de base U et de direction V et par p
la projection vectorielle de base V et de direction U.
Donner les matrices de s et de p dans la base canonique.
11.3
Déterminer la nature géométrique des endomorphismes de R2 et de R3 de
matrices :
1
0
1 −2
3 −6
√
1)
2)
3)
0 0
1 −2
2 3 −1


3 −4 −2
0 2
a a−1
6)  4 −7 −4
5) 1
4)
0
−a 1 − a
2
−5 10 6






2 −1 −1
3 0 −4
5
−8 −4
9) 2 −1 −2
7)  8 −15 −8
8) 31 −1 2 −1
−1 −1 2
2 0 −3
−10 20 11
11.4
On considère l’espace euclidien R3 muni de la base canonique.
1) Déterminer la matrice relativement à la base canonique de la projection
orthogonale sur le plan π d’équation x − 2 y + 3 z = 0 .
2) Déterminer la matrice relativement à la
base 
canonique
de la projection


1
orthogonale sur la droite vectorielle ∆ −2 .
3
Endomorphismes orthogonaux de R2
11.5
Soient (e1 ; e2 ) la base canonique de R2 et r la rotation vectorielle d’angle α.
1)
(a) Quelles sont les composantes du vecteur r(e1 ) dans la base canonique ?
(b) Quelles sont les composantes du vecteur r(e2 ) dans la base canonique ?
α
(c) Quelle est la matrice A associée à r
dans la base canonique ?
2) Vérifier que A est orthogonale et que det(A) = 1.
α
3) Montrer que A n’admet aucune valeur propre si α 6∈ π Z.
11.6
cos(α) sin(α)
la matrice de l’endomorphisme s de R2 relatiSoit A =
sin(α) − cos(α)
vement à la base canonique.
1) Vérifier que A est orthogonale et que det(A) = −1.
Algèbre linéaire : interprétation géométrique des endomorphismes
11.3
2) Montrer que A admet 1 et −1 pour valeurs
propres et que les espaces
!!
!!
α
cos 2
− sin α2
propres associés sont E1 = ∆
et E−1 = ∆
.
sin α2
cos α2
Indication : cos(α) = 1 − 2 sin2
α
2
= 2 cos2
α
2
− 1 et sin(α) = 2 sin
α
2
cos
α
2
.
3) En déduire que s est une symétrie vectorielle orthogonale de base E1 et
de direction E−1 .
Théorème Les endomorphismes orthogonaux de R2 sont les rotations vectorielles et les symétries vectorielles orthogonales.
cos(α) − sin(α)
rotation
det(A) = 1 ⇐⇒ A =
sin(α) cos(α)
cos(α) sin(α)
symétrie orthogonale
det(A) = −1 ⇐⇒ A =
sin(α) − cos(α)
L’axe de la symétrie est le sous-espace propre E1 associé à la valeur propre 1 ;
sa direction est le sous-espace propre E−1 associé à la valeur propre −1.
a b
Preuve Si A =
est une matrice orthogonale, alors ses colonnes
c d
constituent une base orthonormée, d’où résultent les équations
a2 + c2 = 1, b2 + d2 = 1 et a b + c d = 0 .
Des deux
on déduit l’existence de deux réels α et β tels
premières équations,
a = cos(α)
b = sin(β)
que
et
. La troisième équation entraîne
c = sin(α)
d = cos(β)
0 = cos(α) sin(β) + sin(β) cos(β) = sin(α + β) .
cos(α) − sin(α)
1) Si α+β = 2 k π, c’est-à-dire β = −α+2 k π, alors A =
.
sin(α) cos(α)
cos(α) sin(α)
2) Si α+β = π+2 k π, à savoir β = π−α+2 k π, alors A =
.
sin(α) − cos(α)
11.7
Vérifier que les endomorphismes de R2 donnés ci-dessous par leur matrice
relativement à la base canonique sont des endomorphismes orthogonaux, et les
caractériser
géométriquement
:
−1 0
0 1
−1 0
1)
2)
3)
0 −1
−1 0
0 1
!
!
3
3
4
4
−
−
−
0 1
5
5
5) 54 3 5
4)
6)
4
3
1 0
−
5
5
5
5
!
!
√ !
3
12
5
12
5
1
− 13 13
13
13
2
2
7)
8)
9) √3
12
5
12
5
− 13
−1
13
13
13
2
Algèbre linéaire : interprétation géométrique des endomorphismes
2
11.4
Endomorphismes orthogonaux de R3
Théorème Un endomorphisme orthogonal h de R3 tel que det(h) = 1 est
une rotation autour d’un axe.
L’axe d’une rotation différente de l’identité est l’espace propre E1 associé à la
.
valeur propre 1. L’amplitude α de la rotation est donnée par cos(α) = Tr(h)−1
2
Preuve Soit A la matrice de h relativement à une base orthonormée.
On suppose det(A) = det(tA) = 1 et tAA = I.
det(A − I) = 1 · det(A − I) = det(tA) det(A − I) = det tA (A − I)
= det(tAA − tA) = det(I − tA) = det(t I − tA) = det t (I − A)
= det(I − A) = det −(A − I) = (−1)3 · det(A − I) = − det(A − I)
De det(A − I) = − det(A − I), on tire que det(A − I) = 0.
D’après le théorème du bas de la page 9.4, cela signifie que 1 est une valeur
propre. Il existe donc un vecteur e3 non nul tel que h(e3 ) = e3 .
La droite ∆(e3 ) constitue ainsi un sous-espace invariant. Vu l’exercice 10.11,
son orthogonal e⊥
3 est aussi un sous-espace invariant.
Si (e1 ; e2 ) forme une base orthonormée de e⊥
deh relativement
3 , alors la matrice

0

0 où B est la
à la base orthonormée (e1 ; e2 ; e3 ) est de la forme
0 0 1
matrice, dans la base (e1 ; e2 ), de la restriction de h au sous-espace e⊥
3.
B
Puisque 1 = det(h) = 1 · det(B) = det(B) et que B est une matrice orthogonale
d’ordre 2, on conclut, grâce au théorème de la page 11.4, que B est la matrice
d’une rotation dans le plan vectoriel Π(e1 ; e2 ) = e⊥
3.


cos(α) − sin(α) 0
La matrice de h dans la base (e1 ; e2 ; e3 ) s’écrit donc  sin(α) cos(α) 0.
0
0
1
En particulier Tr(h) = 2 cos(α) + 1, si bien que cos(α) =
Tr(h)−1
2
.
Théorème Si h est un endomorphisme orthogonal de R3 avec det(h) = −1,
alors il existe une rotation r d’axe ∆(a) et une symétrie orthogonale s dont le
plan est normal à ∆(a) telles que h = r ◦ s = s ◦ r.
L’axe de la rotation est l’espace propre E−1 associé à la valeur propre −1.
L’amplitude α de la rotation est donnée par cos(α) = Tr(h)+1
.
2
Dans le cas particulier où Tr(h) = 1, h est une symétrie orthogonale : le plan
de symétrie est l’espace propre E1 associé à la valeur propre 1.
Algèbre linéaire : interprétation géométrique des endomorphismes
11.5
Preuve Soit A la matrice de h relativement à une base orthonormée.
On suppose det(A) = det(tA) = −1 et tAA = I.
det(A + I) = −(−1) · det(A + I) = − det(tA) det(A + I) = − det tA (A + I)
= − det(tAA+ tA) = − det(I+ tA) = − det(t I+ tA) = − det t (I+A)
= − det(I + A) = − det(A + I)
De det(A + I) = − det(A + I), on tire que det(A + I) = 0.
D’après le théorème du bas de la page 9.4, cela signifie que −1 est une valeur
propre. Il existe donc un vecteur e3 non nul tel que h(e3 ) = −e3 .
La droite ∆(e3 ) constitue ainsi un sous-espace invariant. Vu l’exercice 10.11,
son orthogonal e⊥
3 est aussi un sous-espace invariant.
Si (e1 ; e2 ) forme une base orthonormée de e⊥
matrice de 
h relativement
3 , alors la
0
0  où B est la
à la base orthonormée (e1 ; e2 ; e3 ) est de la forme 
0 0 −1
matrice, dans la base (e1 ; e2 ), de la restriction de h au sous-espace e⊥
3.
B
Puisque −1 = det(h) = −1 · det(B) = − det(B) et que B est une matrice
orthogonale d’ordre 2, on conclut, grâce au théorème de la page 11.4, que B
est la matrice d’une rotation dans le plan vectoriel Π(e1 ; e2 ) = e⊥
3.


cos(α) − sin(α) 0
0 .
La matrice de h dans la base (e1 ; e2 ; e3 ) s’écrit donc  sin(α) cos(α)
0
0
−1
En particulier Tr(h) = 2 cos(α) − 1, si bien que cos(α) = Tr(h)+1
.
2

 


cos(α) − sin(α) 0
cos(α) − sin(α) 0
1 0 0
 sin(α) cos(α)
0  =  sin(α) cos(α) 0 0 1 0 
0
0
−1
0
0
1
0 0 −1



1 0 0
cos(α) − sin(α) 0
= 0 1 0   sin(α) cos(α) 0
0 0 −1
0
0
1
montre que h = r ◦ s = s ◦ r où r est la rotation d’axe ∆(e3 ) et s la symétrie
orthogonale dont le plan est Π(e1 ; e2 ) = e⊥
3.
Dans le cas particulier où Tr(h) = 1, alors cos(α) =
α = 2 k π. Il en résulte r = IdR3 et h = s.
11.8
Tr(h)+1
2
= 1, si bien que
Vérifier que les endomorphismes de R3 donnés ci-dessous par leur matrice
relativement à la base canonique sont des endomorphismes orthogonaux, et les
caractériser géométriquement :




4 −3 0
23 −36 24
1 
1) 51 3 4 0
−36 −31 −12
2) 49
0 0 5
24 −12 −41
Algèbre linéaire : interprétation géométrique des endomorphismes
11.6


1 −4 8
3) 91 −4 7 4
8
4 1


6 −2 3
4) 71 −2 3 6
−3 −6 2

 2
√
√1
0
6
3

 1
√
√1
√1 
6) 
3
2
− 6
√1
− √13 √12
6


−1 0
0
8)  0 −1 0 
0
0 −1


1 −2 −2
2 −1
5) 31  2
−2 1 −2


9 6 −2
1 
2 −6 −9
7) 11
6 −7 6
11.9
11.10
Relativement à la base canonique de R3 , déterminer la matrice de la symétrie
orthogonale s de R3 par rapport au plan d’équation x + y + z = 0 et celle de la
symétrie orthogonale t de R3 relativement au plan d’équation 3 x + y + 4 z = 0.
Déterminer ensuite la matrice de r = s ◦ t et caractériser géométriquement r.
1) Soit s la symétrie orthogonale de R3 relativement au plan vectoriel engendré par a = (−1 ; 3 ; 1) et b = (3 ; 1 ; 2). Déterminer la matrice de s
relativement à la base canonique (e1 ; e2 ; e3 ) de R3 .
2) Considérons l’endomorphisme r de R3 défini par r(e1 ) = e2 , r(e2 ) = e3 et
r(e3 ) = e1 . Prouver que r est une rotation, dont on déterminera l’axe et
l’amplitude.
3) Déterminer un endomorphisme s′ de R3 tel que s′ ◦ s = r, et caractériser
géométriquement s′ .
11.11
Déterminer les matrices
relativement à la base canonique des rotations de R3
d’axe ∆ (1 ; 1 ; 1) et dont l’amplitude α est telle que cos(α) = 35 .
Réponses
11.1
11.2
1
matrice de s :
1

−3

matrice de s : −4
−2
1
2
3
−1
1
matrice de p :
−1


2 0
2


3 0
matrice de p : 2
2 −1
1
1
4
Algèbre linéaire : interprétation géométrique des endomorphismes
−3
3

−1 0
−1 0
−1 1
11.7
11.3
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
11.4
Nature
Base
projection ∆ (1 ; 0)
projection ∆ (3 ; 1)
√ symétrie
∆ (1 ; 3
projection ∆ (1 ; −1)
symétrie
∆ (2 ; 1)
projection
(x ; y ; z) ∈ R3 : x − 2 y − z = 0
symétrie
(x ; y ; z) ∈ R3 : x − 2 y − z = 0
projection
(x ; y ; z) ∈ R3 : x + y + z = 0
symétrie
∆ (2 ; 1 ; 1)


13 2 −3
1 
1) 14
2 10 6 
−3 6 5

Direction
∆ (2 ; 1)
∆ (2 ; 1)
∆ (0 ; 1)
∆ (1 − a) ; a)
∆ (2 ; −1)
∆ (2 ; 4 ; −5)
∆ (2 ; 4 ; −5)
∆ (1 ; 1 ; 1)
(x ; y ; z) ∈ R3 : x − z = 0

1 −2 3
1 
−2 4 −6
2) 14
3 −6 9
11.5
cos(α)
1) r(e1 ) =
sin(α)
− sin(α)
r(e2 ) =
cos(α)
11.7
1) rotation d’amplitude 180˚
A=
cos(α) − sin(α)
sin(α) cos(α)
2) rotation d’amplitude −90˚
0
3) symétrie orthogonale d’axe ∆
1
1
4) symétrie orthogonale d’axe ∆
1
5) rotation d’amplitude 53,13˚
1
6) symétrie orthogonale d’axe ∆
−2
1
7) symétrie orthogonale d’axe ∆
5
8) rotation d’amplitude −67,38˚
√ 3
9) symétrie orthogonale d’axe ∆
1
11.8
1) rotation d’axe ∆ (0 ; 0 ; 1) et d’amplitude 36,87˚
2) rotation d’axe ∆ (6 ; −3 ; 2) et d’amplitude 180˚
3) symétrie orthogonale de plan d’équation 2 x + y − 2 z = 0
4) rotation d’axe ∆ (−2 ; 1 ; 0) et d’amplitude 73,40˚
5) composé d’une rotation d’axe ∆ (1 ; 0 ; 2) et d’amplitude 48,19˚et d’une
symétrie orthogonale de plan d’équation x + 2 z = 0
√
√
√
6) rotation d’axe ∆ ( 3 + 2 ; 1 ; 2 + 1) et d’amplitude 56,60˚
Algèbre linéaire : interprétation géométrique des endomorphismes
11.8
7) composé d’une rotation d’axe ∆ (1 ; −4 ; −2) et d’amplitude 24,62˚ et
d’une symétrie orthogonale de plan d’équation x − 4 y − 2 z = 0
11.9
11.10
11.11
8) homothétie de rapport −1


1 −2 −2
matrice de s : 13 −2 1 −2
−2 −2 1


34 −19 2
1 
13
26 26
matrice de r : 39
−14 −22 29


4 −3 −12
1 
−3 12 −4 
matrice de t : 13
−12 −4 −3
r est une rotation d’axe ∆ (−3 ; 1 ; 2)
et d’amplitude 50,13˚


2 −1 2
2
1) matrice de s : 13 −1 2
2
2 −1
2) axe de rotation : ∆ (1 ; 1 ; 1)
amplitude : 120˚


2
2 −1
s′ est une symétrie orthogonale de
1 
′
2 −1 2 
3) matrice de s : 3
plan d’équation x − 2 y + z = 0
−1 2
2
√
√ 

11 √ 2 + 4 3 2 − 4 √3
1 
2 − 4 √3
11 √ 2 + 4 3 et sa transposée
15
2+4 3 2−4 3
11
Algèbre linéaire : interprétation géométrique des endomorphismes
11.9