Isométries d`un espace euclidien.
Isométries d'un espace euclidien.
Dans ce chapitre, le corps des scalaires est
ℝ
et l'espace
(
E ;
〈
…|…
〉
)
est un espace euclidien de dimension finie
n
.
1. Isométries vectorielles d'un espace euclidien.........................................................................p.1
Définition d'une isométrie vectorielle. Symétrie orthogonale par rapport à un sous espace vectoriel. Réflexion.
Caractérisation par la conservation du produit scalaire. Caractérisation par l'image d'une base orthonormale.
Groupe orthogonal.
Stabilité de l'orthogonal d'un sous-espace stable par une isométrie vectorielle.
2. Matrices orthogonales.....................................................................................................................p.6
Définition de l'orthogonalité pour une matrice. Groupe orthogonal d'ordre n.
Caractérisation des matrices orthogonales à l'aide des lignes ou des colonnes.
Caractérisation des bases orthonormales à l'aide des matrices de passage.
Caractérisation des isométries vectorielles à l'aide de leur matrice dans une base orthonormale.
Déterminant d'une matrice orthogonale. Déterminant d'une isométrie vectorielle.
Isométrie vectorielle positive, négative (directe, indirecte).
Groupe spécial orthogonal. Groupe spécial orthogonal d'ordre n .
3. Classification en dimension 2 et 3..............................................................................................p.9
Description du groupe orthogonal en dimension 2 et en dimension 3.
Classification à partir des éléments propres. Caractéristiques géométriques d'une isométrie vectorielle.
4 . M atrices symétriques réelles........................................................................................................p.18
Orthogonalité des sous-espaces propres d'une matrice symétrique réelle.
Théorème spectral.
------------
1. Isométries d'un espace vectoriel euclidien.
Définition d'une isométrie vectorielle
Soient
(
E ;
〈
…|…
〉
)
un espace euclidien,
∥
⋅
∥
la norme associée, et
f∈L
(
E
)
.
f
est une isométrie vectorielle si et seulement si
∀u∈E
,
∥
f
(
u
)
∥
=
∥
u
∥
Illustration dans le plan vectoriel euclidien muni de la base orthonormale
(
⃗
i;
⃗
j
)
:
Exemple et contre-exemple :
Une projection orthogonale sur un sous-espace vectoriel
F≠
{
0E
}
n'est pas une isométrie car...
Une symétrie orthogonale par rapport à un sous-espace vectoriel F est une isométrie.
En effet, soit
s
la symétrie orthogonale par rapport à F et
p
la projection orthogonale sur
F
.
∀u∈E
,
u=p
(
u
)
⏟
∈F
+
(
u−p
(
u
)
)
⏟
∈F¿
et
s
(
u
)
=…
Ainsi d'après le théorème de Pythagore on a …
Isométries d'un espace euclidien 1/18 pycreach.free.fr - TSI2
Remarque :
∀u∈E
,
p
(
u
)
=1
2
(
u+s
(
u
)
)
ainsi
u=1
2
(
u+s
(
u
)
)
⏟
∈F
+1
2
(
u−s
(
u
)
)
⏟
∈F¿
Rappel : une réflexion est une symétrie orthogonale par rapport à un hyperplan. Pour
n∈E−
{
0E
}
en notant
s
la
réflexion par rapport à
(
vect
(
n
)
)
⊥
on a
∀u∈E
,
s
(
u
)
=u−2
〈
u∣n
〉
∥
n
∥
2n
.
Caractérisation d'une isométrie vectorielle par conservation du produit scalaire
Soient
(
E ;
〈
…|…
〉
)
un espace euclidien et
f∈L
(
E
)
.
f
est une isométrie vectorielle si et seulement si
∀
(
u;v
)
∈E2
,
〈
f
(
u
)
∣f
(
v
)
〉
=
〈
u∣v
〉
Démonstration : Si
∀
(
u;v
)
∈E2
,
〈
f
(
u
)
∣f
(
v
)
〉
=
〈
u∣v
〉
alors
∥
f
(
u
)
∥
2=…
Si
∀u∈E
,
∥
f
(
u
)
∥
=
∥
u
∥
alors
∀
(
u;v
)
∈E2
,
∥
f
(
u+v
)
∥
2=…
□
Caractérisation d'une isométrie par l'image d'une base orthonormale
Soient
(
E ;
〈
…|…
〉
)
un espace euclidien,
B=
(
e1;…; en
)
une base orthonormale de E et
f∈L
(
E
)
.
f
est une isométrie vectorielle si et seulement si la famille
(
f
(
e1
)
;…;f
(
en
))
est une base orthonormale de E.
Démonstration :
(
f
(
e1
)
;…;f
(
en
) )
est une base orthonormale de E
⇔
∀
(
i;j
)
∈
[
1; n
]
2
〈
f
(
ei
)
∣f
(
ej
)
〉
=
{
1 si i=j
0 sinon
► Si
f
est une isométrie vectorielle alors
∀
(
i;j
)
∈
[
1 ; n
]
2
,
〈
f
(
ei
)
∣f
(
ej
)
〉
=
〈
ei
∣ej
〉
or …
► B étant une base orthonormale,
u=
〈
u∣e1
〉
e1+…+
〈
u∣en
〉
en
et d'après le théorème de Pythagore :
∥
u
∥
2=…
Par ailleurs, par linéarité de
f
,
f
(
u
)
=
〈
u∣e1
〉
f
(
e1
)
+…+
〈
u∣en
〉
f
(
en
)
Si de plus la famille
(
f
(
e1
)
;…;f
(
en
))
est une base orthonormale de E alors, d'après le théorème de Pythagore :
∥
f
(
u
)
∥
2=…
Donc
∥
f
(
u
)
∥
2=
∥
u
∥
2
donc... □
Isométries d'un espace euclidien 2/18 pycreach.free.fr - TSI2
Exemples en dimension 2 : soit P un plan euclidien muni d'une base orthonormée
(
⃗
i;
⃗
j
)
:
Soit
f
l'endomorphisme de P défini par :
{
f
(
⃗
i
)
=0,6
⃗
i+0,8
⃗
j
f
(
⃗
j
)
=−0,8
⃗
i+0,6
⃗
j
Pour
⃗
u=−2
⃗
i+
⃗
j
, on a
f
(
⃗
u
)
=…
Pour
⃗
v=4
⃗
i+3
⃗
j
, on a
f
(
⃗
v
)
=…
Soit
g
l'endomorphisme de P défini par :
{
g
(
⃗
i
)
=0,6
⃗
i+0,8
⃗
j
g
(
⃗
j
)
=0,8
⃗
i−0,6
⃗
j
Pour
⃗
u=−2
⃗
i+
⃗
j
, on a
g
(
⃗
u
)
=…
Pour
⃗
v=4
⃗
i+3
⃗
j
, on a
g
(
⃗
v
)
=…
Isométries d'un espace euclidien 3/18 pycreach.free.fr - TSI2
Exemple en dimension 3 : soit E un espace euclidien de dimension 3 muni d'une base orthonormale
(
⃗
i;
⃗
j;
⃗
k
)
et
f
l'endomorphisme de E défini par
{
f
(
⃗
i
)
=0,48
⃗
i+0,6
⃗
j+0,64
⃗
k
f
(
⃗
j
)
=0,8
⃗
i−0,6
⃗
k
f
(
⃗
k
)
=−0,36
⃗
i+0,8
⃗
j−0,48
⃗
k
Pour
⃗
u=7
⃗
i+5
⃗
j+
⃗
k
on a
f
(
⃗
u
)
=…
∥
⃗
u
∥
=…
∥
f
(
⃗
u
)
∥
=…
Pour
⃗
v=2
⃗
i−3
⃗
j+
⃗
k
on a :
f
(
⃗
v
)
=…
∥
⃗
v
∥
=…
∥
f
(
⃗
v
)
∥
=…
〈
⃗
u∣
⃗
v
〉
=…
〈
f
(
⃗
u
)
∣f
(
⃗
v
)
〉
=…
Opérations sur les isométries vectorielles
Soient
(
E ;
〈
…|…
〉
)
un espace euclidien,
∥
⋅
∥
la norme associée,
f∈L
(
E
)
et
g∈L
(
E
)
.
Si
f
et
g
sont des isométries vectorielles de E alors
g∘f
est une isométrie vectorielle de E.
Si
f
est une isométrie vectorielle alors
f
est une bijection de E dans E (i.e.
f∈GL
(
E
)
) et
f−1
est une isométrie
vectorielle de E.
Démonstration : soit
u∈E
alors
∥
g∘f
(
u
)
∥
=…
Soit
v∈Ker f
alors
∥
v
∥
=…
Donc
f
est une bijection de E dans E.
Soit
u∈E
alors il existe
v∈E
tel que
u=f
(
v
)
donc
∥
f−1
(
u
)
∥
=
∥
f−1
(
f
(
v
)
)
∥
=
∥
v
∥
=
∥
u
∥
car...
□
Remarque : si
f
est une isométrie vectorielle alors son spectre (réel) est inclus dans l'ensemble
{
−1 ; 1
}
. En effet si
λ∈Sp
(
f
)
et si
u
est un vecteur propre de
f
associé à
λ
alors
∥
u
∥
=
∥
f
(
u
)
∥
=
∥
λu
∥
=
∣
λ
∣
×
∥
u
∥
ainsi, puisque
u≠0E
,on a nécessairement
∣
λ
∣
=1
.
Définition du groupe orthogonal
(
O
(
E
)
;∘
)
Soit
(
E ;
〈
…|…
〉
)
un espace euclidien.
L'ensemble des isométries vectorielles de E muni de l'opération
∘
est appelé groupe orthogonal noté
(
O
(
E
)
;∘
)
.
Propriété de stabilité de l'orthogonal d'un sous-espace stable par une isométrie vectorielle
Soient
(
E ;
〈
…|…
〉
)
un espace euclidien,
f∈O
(
E
)
et F un sous-espace vectoriel de E.
Si F est stable par
f
alors
F⊥
est stable par
f
.
Démonstration : Soit F un sous-espace vectoriel stable par
f∈O
(
E
)
, il s'agit de démontrer que
∀v∈F⊥
,
f
(
v
)
∈F⊥
,
c'est-à-dire :
∀v∈F⊥
,
∀u∈F
,
〈
f
(
v
)
∣u
〉
=0
Soient
v∈F⊥
et
u∈F
.
Puisque F est stable par
f
, la restriction de
f
à F
f∣F: F →F
est une bijection de F dans F (isométrie).
Isométries d'un espace euclidien 4/18 pycreach.free.fr - TSI2
Alors il il existe
u' ∈F
tel que
f
(
u'
)
=u
, ainsi
〈
f
(
v
)
∣u
〉
=
〈
f
(
v
)
∣f
(
u'
)
〉
De plus
f∈O
(
E
)
donc
〈
f
(
v
)
∣f
(
u'
)
〉
=
〈
v∣u '
〉
Or
v∈F⊥
et
u' ∈F
donc
〈
v∣u'
〉
=0
Enfin
〈
f
(
v
)
∣u
〉
=0
Ce raisonnement étant valide pour tout
v∈F⊥
et pour tout
u∈F
,
F⊥
est stable par
f
□
Exemple : Soit E un espace euclidien de dimension 4 muni d'une base orthonormale
B=
(
⃗
i;
⃗
j;
⃗
k;
⃗
l
)
et
f
l'endomorphisme de E défini par
{
f
(
⃗
i
)
=0,6
⃗
j+0,8
⃗
l
f
(
⃗
j
)
=0,6
⃗
i+0,8
⃗
k
f
(
⃗
k
)
=−0,8
⃗
j+0,6
⃗
l
f
(
⃗
l
)
=−0,8
⃗
i+0,6
⃗
k
et
F=Vect
(
⃗
i+
⃗
j;
⃗
k+
⃗
l
)
.
f
est une isométrie vectorielle car...
Le sous-espace vectoriel F est stable par
f
car...
or
⃗
i−
⃗
j∈F⊥
car
et
⃗
k−
⃗
l∈F⊥
car...
Ainsi
F⊥=Vect
(
…;…
)
est stable par
f
.
Conséquence sur la matrice d'une isométrie vectorielle dans une base adaptée
Soient
(
E ;
〈
…|…
〉
)
un espace euclidien de dimension
n
, F un sous-espace vectoriel de E de dimension
p
, et
B=
(
e1;…; ep; ep+1;…; en
)
une base de E telle que
(
e1;…ep
)
soit une base de F et
(
ep+1;…;en
)
soit une base de
F⊥
.
Si
f∈O
(
E
)
et si F est stable par
f
alors il existe
A∈Mp
(
ℝ
)
et
B∈Mn−p
(
ℝ
)
telles que
MatB
(
f
)
=
(
A 0Mp,n−p
(
ℝ
)
0Mn−p,p
(
ℝ
)
B
)
Exemple : Soit E un espace euclidien de dimension 4 muni d'une base orthonormale
B=
(
⃗
i;
⃗
j;
⃗
k;
⃗
l
)
et
f
l'endomorphisme de E défini par
{
f
(
⃗
i
)
=0,6
⃗
j+0,8
⃗
l
f
(
⃗
j
)
=0,6
⃗
i+0,8
⃗
k
f
(
⃗
k
)
=−0,8
⃗
j+0,6
⃗
l
f
(
⃗
l
)
=−0,8
⃗
i+0,6
⃗
k
en notant
B'=
(
⃗
i+
⃗
j;
⃗
k+
⃗
l;
⃗
i−
⃗
j;
⃗
k−
⃗
l
)
On a
MatB'
(
f
)
=…
En utilisant la formule de changement de base on a :
MatB'
(
f
)
=…
Isométries d'un espace euclidien 5/18 pycreach.free.fr - TSI2
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
1
/
18
100%
