Isométries d`un espace euclidien.

Isométries d'un espace euclidien.
Dans ce chapitre, le corps des scalaires est ℝ et l'espace ( E ; ⟨ …|… ⟩ ) est un espace euclidien de dimension finie n .
1. Isométries vectorielles d'un espace euclidien.........................................................................p.1
Définition d'une isométrie vectorielle. Symétrie orthogonale par rapport à un sous espace vectoriel. Réflexion.
Caractérisation par la conservation du produit scalaire. Caractérisation par l'image d'une base orthonormale.
Groupe orthogonal.
Stabilité de l'orthogonal d'un sous-espace stable par une isométrie vectorielle.
2. Matrices orthogonales.....................................................................................................................p.6
Définition de l'orthogonalité pour une matrice. Groupe orthogonal d'ordre n.
Caractérisation des matrices orthogonales à l'aide des lignes ou des colonnes.
Caractérisation des bases orthonormales à l'aide des matrices de passage.
Caractérisation des isométries vectorielles à l'aide de leur matrice dans une base orthonormale.
Déterminant d'une matrice orthogonale. Déterminant d'une isométrie vectorielle.
Isométrie vectorielle positive, négative (directe, indirecte).
Groupe spécial orthogonal. Groupe spécial orthogonal d'ordre n.
3. Classification en dimension 2 et 3..............................................................................................p.9
Description du groupe orthogonal en dimension 2 et en dimension 3.
Classification à partir des éléments propres. Caractéristiques géométriques d'une isométrie vectorielle.
4. Matrices symétriques réelles........................................................................................................p.18
Orthogonalité des sous-espaces propres d'une matrice symétrique réelle.
Théorème spectral.
------------
1. Isométries d'un espace vectoriel euclidien.
Définition d'une isométrie vectorielle
Soient ( E ; ⟨ …|… ⟩ ) un espace euclidien, ∥ ⋅ ∥ la norme associée, et f ∈L ( E ) .
f est une isométrie vectorielle si et seulement si ∀ u∈E , ∥ f ( u )∥=∥u∥
Illustration dans le plan vectoriel euclidien muni de la base orthonormale ( ⃗
i ;⃗
j) :
Exemple et contre-exemple :
Une projection orthogonale sur un sous-espace vectoriel F≠{0 E } n'est pas une isométrie car...
Une symétrie orthogonale par rapport à un sous-espace vectoriel F est une isométrie.
En effet, soit s la symétrie orthogonale par rapport à F et p la projection orthogonale sur F .
∀ u∈E , u= ⏟
p ( u ) + (⏟
u− p ( u ) ) et s ( u )=…
∈F
∈F
¿
Ainsi d'après le théorème de Pythagore on a …
Isométries d'un espace euclidien
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Remarque : ∀ u∈E , p ( u ) =
1
1
1
( u+ s ( u ) ) ainsi u= (⏟
u+ s ( u ) ) + (⏟
u−s ( u ) )
2
2
2
∈F
∈F
¿
Rappel : une réflexion est une symétrie orthogonale par rapport à un hyperplan. Pour n∈E−{0 E } en notant s la
⟨ u∣n ⟩
⊥
réflexion par rapport à ( vect ( n ) ) on a ∀ u∈E , s ( u )=u−2
n.
2
∥n∥
Caractérisation d'une isométrie vectorielle par conservation du produit scalaire
Soient ( E ; ⟨ …|… ⟩ ) un espace euclidien et f ∈L ( E ) .
f est une isométrie vectorielle si et seulement si ∀ ( u ; v ) ∈E2 , ⟨ f ( u )∣ f ( v ) ⟩ =⟨ u∣v ⟩
2
Démonstration : Si ∀ ( u ; v ) ∈E2 , ⟨ f ( u )∣ f ( v ) ⟩ =⟨ u∣v ⟩ alors ∥ f ( u )∥ =…
2
Si ∀ u∈E , ∥ f ( u )∥=∥u∥ alors ∀( u; v )∈E 2 , ∥ f ( u +v )∥ =…
□
Caractérisation d'une isométrie par l'image d'une base orthonormale
Soient ( E ; ⟨ …|… ⟩ ) un espace euclidien, B=( e1 ;…; en ) une base orthonormale de E et f ∈L ( E ) .
f est une isométrie vectorielle si et seulement si la famille ( f ( e1 ) ;…; f ( en )) est une base orthonormale de E.
Démonstration : ( f ( e 1 ) ;…; f ( e n )) est une base orthonormale de E ⇔ ∀ ( i ; j ) ∈ [ 1 ; n ]
2
⟨ f (e i )∣f ( e j ) ⟩= 1 si i= j
{0
sinon
2
► Si f est une isométrie vectorielle alors ∀ ( i ; j ) ∈ [1 ; n ] , ⟨ f (e i )∣f ( e j ) ⟩ =⟨ e i∣e j ⟩ or …
► B étant une base orthonormale, u=⟨ u∣e 1 ⟩ e 1 +…+ ⟨ u∣e n ⟩ en et d'après le théorème de Pythagore :
∥u∥2=…
Par ailleurs, par linéarité de f , f ( u )= ⟨ u∣e 1 ⟩ f ( e1 ) +…+ ⟨ u∣en ⟩ f (e n )
Si de plus la famille ( f ( e 1 ) ;…; f ( en )) est une base orthonormale de E alors, d'après le théorème de Pythagore :
2
∥ f ( u )∥ =…
2
2
Donc ∥ f ( u )∥ =∥u∥ donc...
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□
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Exemples en dimension 2 : soit P un plan euclidien muni d'une base orthonormée ( ⃗
i ;⃗
j) :
Soit f l'endomorphisme de P défini par :
Soit g l'endomorphisme de P défini par :
⃗
⃗
⃗
(
)
f i =0,6 i + 0,8 j
g (⃗
i ) =0,6 ⃗
i +0,8 ⃗j
f ( ⃗j )=−0,8 ⃗
i +0,6 ⃗
j
g (⃗
j ) =0,8 ⃗
i −0,6 ⃗
j
{
u ) =…
Pour ⃗
u =−2 ⃗
i +⃗
j , on a f ( ⃗
v )=…
Pour ⃗
v =4 ⃗
i +3 ⃗j , on a f ( ⃗
Isométries d'un espace euclidien
{
u )=…
Pour ⃗
u =−2 ⃗
i +⃗
j , on a g (⃗
v ) =…
Pour ⃗
v =4 ⃗
i +3 ⃗j , on a g (⃗
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i ;⃗
j ;⃗
k ) et f
Exemple en dimension 3 : soit E un espace euclidien de dimension 3 muni d'une base orthonormale (⃗
l'endomorphisme de E défini par
{
f
f
f
(⃗
i )=0,48 ⃗
i +0,6 ⃗j +0,64 ⃗
k
( ⃗j ) =0,8 ⃗i −0,6 ⃗
k
(⃗
k )=−0,36 ⃗
i +0,8 ⃗
j −0,48 ⃗
k
u =7 ⃗
i +5 ⃗
j +⃗
k on a f ( ⃗
u ) =…
Pour ⃗
∥⃗
u ∥=…
∥ f (⃗
u )∥=…
v =2 ⃗
i −3 ⃗
j +⃗
k on a : f ( ⃗
v )=…
Pour ⃗
∥⃗
v ∥=…
∥ f (⃗
v )∥=…
⟨⃗
u ∣⃗
v ⟩ =…
⟨ f (⃗
u )∣f ( ⃗
v ) ⟩ =…
Opérations sur les isométries vectorielles
Soient ( E ; ⟨ …|…⟩ ) un espace euclidien, ∥ ⋅ ∥ la norme associée, f ∈L ( E ) et g ∈L ( E ) .
Si f et g sont des isométries vectorielles de E alors g ∘ f est une isométrie vectorielle de E.
Si f est une isométrie vectorielle alors f est une bijection de E dans E (i.e. f ∈GL ( E ) ) et f −1 est une isométrie
vectorielle de E.
Démonstration : soit u∈E alors ∥g ∘ f ( u )∥=…
Soit v ∈Ker f alors ∥v∥=…
Donc f est une bijection de E dans E.
Soit u∈E alors il existe v ∈E tel que u= f ( v ) donc ∥ f −1 ( u )∥=∥ f −1 ( f ( v ) )∥=∥v∥=∥u∥ car...
□
Remarque : si f est une isométrie vectorielle alors son spectre (réel) est inclus dans l'ensemble {−1 ; 1 } . En effet si
λ∈Sp ( f ) et si u est un vecteur propre de f associé à λ alors ∥u∥=∥ f ( u )∥=∥λ u∥=∣λ∣×∥u∥ ainsi, puisque u≠0 E
,on a nécessairement ∣λ∣=1 .
Définition du groupe orthogonal ( O ( E ) ; ∘)
Soit ( E ; ⟨ …|… ⟩ ) un espace euclidien.
L'ensemble des isométries vectorielles de E muni de l'opération ∘ est appelé groupe orthogonal noté ( O ( E ) ; ∘) .
Propriété de stabilité de l'orthogonal d'un sous-espace stable par une isométrie vectorielle
Soient ( E ; ⟨ …|…⟩ ) un espace euclidien, f ∈O ( E ) et F un sous-espace vectoriel de E.
⊥
Si F est stable par f alors F est stable par f .
⊥
⊥
Démonstration : Soit F un sous-espace vectoriel stable par f ∈O ( E ) , il s'agit de démontrer que ∀ v∈F , f ( v )∈F ,
⊥
c'est-à-dire : ∀ v ∈F , ∀ u∈F , ⟨ f ( v )∣u ⟩ =0
⊥
Soient v ∈F et u∈F .
Puisque F est stable par f , la restriction de f à F f ∣F : F → F est une bijection de F dans F (isométrie).
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Alors il il existe u' ∈F tel que f ( u' )=u , ainsi ⟨ f ( v )∣u ⟩ =⟨ f ( v )∣ f ( u' ) ⟩
De plus f ∈O ( E ) donc ⟨ f ( v )∣f ( u ' ) ⟩ =⟨ v∣u ' ⟩
⊥
Or v ∈F et u' ∈F donc ⟨ v∣u' ⟩=0
Enfin ⟨ f ( v )∣u ⟩ =0
⊥
⊥
Ce raisonnement étant valide pour tout v ∈F et pour tout u∈F , F est stable par f
□
i ;⃗
j ;⃗
k ;⃗
l ) et f
Exemple : Soit E un espace euclidien de dimension 4 muni d'une base orthonormale B=(⃗
⃗
⃗
⃗
f ( i )=0,6 j +0,8 l
⃗
⃗
⃗
i + ⃗j ; ⃗
k +⃗
l).
l'endomorphisme de E défini par f ( j ) =0,6 i +0,8 k
et F=Vect (⃗
⃗
⃗
f ( k ) =−0,8 j +0,6 ⃗
l
f (⃗
l ) =−0,8 ⃗
i +0,6 ⃗
k
f est une isométrie vectorielle car...
{
Le sous-espace vectoriel F est stable par f car...
⊥
or ⃗
i −⃗
j ∈F car
k −⃗
l ∈F ⊥ car...
et ⃗
⊥
Ainsi F =Vect ( …;…) est stable par f .
Conséquence sur la matrice d'une isométrie vectorielle dans une base adaptée
Soient ( E ; ⟨ …|…⟩ ) un espace euclidien de dimension n , F un sous-espace vectoriel de E de dimension p , et
⊥
B=( e1 ;…; e p ; e p+ 1 ;…; e n ) une base de E telle que ( e 1 ;…e p ) soit une base de F et ( e p+1 ;…;e n ) soit une base de F .
Si f ∈O ( E ) et si F est stable par f
A
0M ( ℝ )
alors il existe A∈M p ( ℝ ) et B∈Mn− p ( ℝ ) telles que Mat B ( f ) =
0 M (ℝ )
B
(
p, n− p
n− p, p
)
i ;⃗
j ;⃗
k ;⃗
l ) et f
Exemple : Soit E un espace euclidien de dimension 4 muni d'une base orthonormale B=(⃗
⃗
⃗
⃗
f ( i )=0,6 j +0,8 l
⃗
⃗
⃗
i +⃗
j ;⃗
k +⃗
l ;⃗
i −⃗
j ;⃗
k −⃗
l )
l'endomorphisme de E défini par f ( j ) =0,6 i +0,8 k
en notant B' =(⃗
⃗
⃗
f ( k ) =−0,8 j +0,6 ⃗
l
f (⃗
l ) =−0,8 ⃗
i +0,6 ⃗
k
{
On a Mat B' ( f ) =…
En utilisant la formule de changement de base on a :
Mat B' ( f ) =…
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2. Matrices orthogonales
Définition de l'orthogonalité d'une matrice
Soit A∈M n (ℝ ) .
A est orthogonale si et seulement si A T A=In
Exemple et contre-exemple :
1 −1
…
1 1
(
)
( )
1
2
√3
−
2
√3
2
1
2
...
Opérations sur les matrices orthogonales
Soient A∈M n (ℝ ) et B∈Mn ( ℝ ) .
Si A et B sont orthogonales alors A × B est une matrice orthogonale.
Si A est orthogonale alors A est inversible (i.e. A∈GL n ( ℝ ) ) et A−1 =A T est une matrice orthogonale.
T
Démonstration : Si A T A=In et BT B=In alors ( AB ) ×AB=…
Si A T A=In alors si X∈Ker ( A ) ,...
Donc A est inversible et A −1 =AT
T
( AT ) ( AT )=…
□
Définition du groupe orthogonal d'ordre n
L'ensemble des matrices orthogonales de M n ( ℝ ) muni de l'opération × est le groupe orthogonal d'ordre n noté
(On ( ℝ ) ;× ) .
Remarque : on note aussi O ( n ) .
Caractérisation des matrices orthogonales à l'aide de leurs lignes ou de leurs colonnes
(
)
a 1,1 … a 1, n
Soit A= ⋮
⋮ ∈M n ( ℝ )
a n,1 … a n ,n
A est orthogonale
si et seulement si
a 1,1
a1 , j
a 1,n
;…;
;
…;
la famille de ses n vecteurs colonnes
est orthonormale dans M n,1 ( ℝ )
⋮
⋮
⋮
a n,1
a n, j
a n,n
si et seulement si
la famille de ses n vecteurs lignes (( a 1,1 ;…; a 1,n ) ;…; ( a i ;1 ;…; a i, n ) ;…; ( a n, 1 ;…; a n ,n )) est orthonormale dans M 1,n ( ℝ )
(( ) ( ) ( ))
(
)
a1 ,1
a 1, j
a 1, n
⋮
⋮
⋮
Démonstration : Soit A= ⋮ … ⋮ … ⋮
⋮
⋮
⋮
a n,1
an , j
a n ,n
a 1,1 … … … a n,1
a 1,1
a 1, j
a 1 ,n
⋮
⋮
⋮
⋮
Alors A T A= a 1 , j … … … a n , j ×
⋮ … ⋮ … ⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
a n,1
an , j
a n ,n
a 1 ,n … … … a n ,n
(
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)(
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)
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a 1, j
T
T
Ainsi en notant C j = ⋮ ∈M n,1 ( ℝ ) , on a A A=( ( Ci ) C j )1⩽i⩽1
1⩽ j⩽1
a n, j
T
2
Ainsi : A T A=In ⇔ ∀ ( i , j ) ∈⟦ 1 ; n ⟧ , ( Ci ) C j = 1 si i= j
0 sinon
a 1,1 … … … a 1 ,n
a 1,1
a i ,1
a n,1
⋮
⋮
⋮
⋮
Par ailleurs : A AT = a i ,1 … … … a i ,n ×
⋮ … ⋮ … ⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
a 1 ,n
a i ,n
a n ,n
a n,1 … … … a n ,n
( )
{
(
)(
T
T
Ainsi en notant L i =( a i ,1 ;…;a i ,n ) ∈M1 n (ℝ ) on a A A =( Li ( L j )
)
) 1⩽i⩽n
(1⩽ j⩽n )
T
2
∀ ( i , j ) ∈⟦ 1 ; n ⟧ , L i ( L j ) = 1 si i= j
0 sinon
{
Ainsi A T A=In ⇔ A est inversible et A −1 =AT ⇔ A AT =In ⇔
□
Caractérisation des bases orthonormales de E
Soient B0 une base orthonormale de E et B une base de E.
B est orthonormale si et seulement si la matrice de passage de B0 à B est orthogonale.
T
Démonstration : La base B0 étant orthonormale, ∀ ( u ; v ) ∈E2 , ⟨ u∣v ⟩ =( Mat B ( u ) ) Mat B ( v ) donc :
Les vecteurs u et v sont orthogonaux dans E si et seulement si Mat B ( u ) et Mat B ( v ) sont orthogonale dans M n,1 ( ℝ )
Or les colonnes de la matrice de passage P de la base B0 à la base B=( e' 1 ;…;e' n ) sont pour j∈ ⟦1 ; n ⟧ , Mat B ( e' j )
donc :
B est une famille de E orthonormale ⇔ ( Mat B (e' j ) )1⩽ j⩽n est orthonormale dans M n,1 ( ℝ ) ⇔ P∈On ( ℝ ) □
0
0
0
0
0
0
Caractérisation des isométries vectorielles de E
Soit B0 une base orthonormale de E et f ∈L ( E ) .
f est une isométrie vectorielle si et seulement si la matrice de f dans B0 , Mat B ( f ) est orthogonale.
0
Démonstration : soit B0 =( e 1 ;…;e n ) .
f est une isométrie vectorielle si et seulement si ( f ( e1 ) ;…; f ( en )) est une base orthonormale de E
si et seulement si ( Mat B ( f ( e1 )) ;…; Mat B ( f ( en )) ) est une base orthonormale de M n,1 ( ℝ )
si et seulement si Mat B ( f ) est orthogonale.
( O ( E ) ; ∘) → ( O n (ℝ ) ; ×)
Remarque : on a un isomorphisme de groupe :
f
→ Mat B ( f )
Exemples : si ( ⃗
i ;⃗
j ) est une base orthonormale de E, les endomorphismes f et g définis par :
⃗
⃗
⃗
f (⃗
i )=0,6 ⃗
i + 0,8 ⃗
j
, g ( i ) =0,6 i +0,8 j
f ( ⃗j )=−0,8 ⃗
i +0,6 ⃗
j
g (⃗
j ) =0,8 ⃗
i −0,6 ⃗
j
0
0
□
0
0
{
{
{
f
i ;⃗
j ;⃗
k ) est une base orthonormale de E, l' endomorphisme f défini par : f
Si (⃗
f
(⃗
i )=0,48 ⃗
i +0,6 ⃗j +0,64 ⃗
k
⃗
⃗
⃗
( j ) =0,8 i −0,6 k
(⃗
k )=−0,36 ⃗
i +0,8 ⃗
j −0,48 ⃗
k
{
f
i ;⃗
j ;⃗
k ;⃗
l ) est une base orthonormale de E, l' endomorphisme f défini par : f
Si (⃗
f
f
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(⃗
i )=0,6 ⃗
j +0,8 ⃗
l
⃗
⃗
⃗
( j ) =0,6 i +0,8 k
(⃗
k ) =−0,8 ⃗j +0,6 ⃗
l
( ⃗l )=−0,8 ⃗i +0,6 ⃗
k
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Déterminant d'une matrice orthogonale
Soit A∈M n (ℝ ) .
Si A∈On (ℝ ) alors det ( A ) ∈ {−1 ;1 }
Démonstration : det ( A T A ) =…
□
det ( A ) =±1 est nécessaire si A∈O ( n ) mais det ( A ) =±1 n'est pas suffisant pour assurer que A∈O ( n ) .
1 1
Exemple :
…
0 1
( )
Application à l'orientation d'un espace euclidien
Soient ( E ; ⟨ …|… ⟩ ) un espace euclidien et B0 une base orthonormale de E. L'espace euclidien E est dit orienté (par la
donnée de la base B0 ).
Soit B une base orthonormale de E,
B est dite directe si et seulement si le déterminant de la matrice de passage de la base B0 à la base B est égal à 1.
i ;⃗
j ;⃗
k ).
Exemples : Soit E un espace euclidien de dimension 3 orienté par la base orthonormale B0 =(⃗
k ; ⃗j ; ⃗
i ) est …
La base B' =(⃗
k ;⃗
i ) est ...
La base B' '=( ⃗j ; ⃗
Déterminant d'une isométrie vectorielle
Soit f ∈L ( E ) .
Si f ∈O ( E ) alors det ( f ) ∈ {−1 ;1 }
Démonstration : soit B0 une base orthonormale de E alors det ( f ) =…
□
Définition d'une isométrie vectorielle positive ou négative
Soient ( E ; ⟨ …|…⟩ ) un espace euclidien et f ∈L ( E ) .
{detf ∈O( f ()E=1)
une isométrie vectorielle négative (ou indirecte) si et seulement si { f ∈O ( E )
det ( f ) =−1
f une isométrie vectorielle positive (ou directe) si et seulement si
f
Exemples : soient ( ⃗
i ;⃗
j ) une base orthonormale directe de E et les endomorphismes f et g définis par :
⃗
⃗
⃗
f (⃗
i )=0,6 ⃗
i +0,8 ⃗
j
, g ( i ) =0,6 i +0,8 j
f ( ⃗j )=−0,8 ⃗
i +0,6 ⃗
j
g (⃗
j ) =0,8 ⃗
i −0,6 ⃗
j
{
{
Opérations sur les isométries vectorielles positives
Soient ( E ; ⟨ …|…⟩ ) un espace euclidien, f ∈L ( E ) et g ∈L ( E ) .
Si f ∈O ( E ) et g ∈O ( E ) alors g ∘ f ∈O ( E )
det ( f ) =1
det ( g )=1
det ( g ∘ f ) =1
−1
f
∈O
(
E
)
( E)
Si
alors f ∈GL ( E ) et f ∈O
−1
det ( f ) =1
det ( f )=1
{
{
{
{
{
Démonstration : les propriétés du groupe orthogonal O(E) sont déjà démontrées.
det ( g ∘ f ) =…
det ( f −1 ) =…
□
Définition du groupe spécial orthogonal
Soit ( E ; ⟨ …|… ⟩ ) un espace euclidien.
L'ensemble des isométries vectorielles de E positives muni de l'opération ∘
est appelé groupe spécial orthogonal de E noté ( SO ( E ) ; ∘) .
Isométries d'un espace euclidien
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L'ensemble des isométries vectorielles de E négatives n'est pas un sous-groupe car pour det ( f ) =−1 et det ( g )=−1 ,
det ( g ∘ f ) =…
Définition du groupe spécial orthogonal d'ordre n
L'ensemble des matrices de On ( ℝ ) de déterminant égal à 1 muni de l'opération × est appelé groupe spécial
orthogonal d'ordre n noté (SOn ( ℝ ) ;× )
Remarque : on note aussi SO ( n ) .
−
O ( n )={ A∈O ( n )∣det ( A ) =−1 } n'est pas un sous-groupe.
( SO ( E ) ; ∘) → ( SOn ( ℝ ) ; ×)
On a un isomorphisme de groupe :
f
→ Mat B ( f )
0
3. Classification en dimension 2 et 3
Spectre (réel) d'une isométrie vectorielle
Soient ( E ; ⟨ …|…⟩ ) un espace euclidien et f ∈L ( E ) .
Si f ∈O ( E ) alors sp ( f )⊂{−1 ; 1 }
v≠0 E
Démonstration : soit un réel λ∈Sp ( f ) et v une vecteur propre de f associé à la valeur propre λ :
.
f ( v )=λ v
Si f ∈O ( E ) alors ∥ f ( v )∥=∥v∥ donc ∣λ∣∥v∥=∥v ∥ donc ∥v∥(∣λ∣−1 ) =0
Or ∥v∥≠0 donc ∣λ∣=1 ainsi...
{
□
Classification des isométries vectorielles en dimension 2
Soient ( E ; ⟨ …|…⟩ ) un espace euclidien de dimension 2 et f ∈L ( E ) .
Si f ∈O ( E ) alors :
ou bien sp ( f ) ={ 1 } : dans ce cas f ∈SO ( E ) et f =Id E
ou bien sp ( f ) ={−1 } : dans ce cas f ∈SO ( E ) et f =−Id E
ou bien sp ( f ) ={−1 ;1 } : dans ce cas f ∉SO ( E ) et f est une réflexion par rapport à E 1 ( f )
ou bien sp ( f ) =∅ : dans ce cas f ∈SO ( E ) et f est une rotation d'angle θ≠0 [ π ] :
1
1
u;
v soit une base orthonormale directe de E,
∀ u∈E ∖ {0 E } , en notant v l'unique vecteur tel que
∥u∥ ∥u∥
f ( u )=cos ( θ ) u +sin ( θ) v
(
)
Démonstration : Soit f ∈O ( E ) .
⊥
►Si 1∈Sp ( f ) alors en posant e 1 ∈E1 ( f ) , Vect ( e 1 ) est stable par f donc la droite Vect ( e 1 ) est stable par f , ainsi
1 0
en notant e 2 un vecteur non nul orthogonal à e1 et B=( e1 ; e 2 ) on a : Mat B ( f ) =
.
0 λ
Si det ( f ) =1 alors....
( )
Si det ( f ) =−1 alors...
⊥
►Si −1∈Sp ( f ) alors en posant e 1 ∈E−1 ( f ) , Vect ( e 1 ) est stable par f donc la droite Vect ( e 1 )
−1 0
ainsi en notant e 2 un vecteur non nul orthogonal à e1 et B=( e1 ; e 2 ) on a : Mat B ( f ) =
.
0 λ
Si det ( f ) =1 alors....
(
est stable par f ,
)
Si det ( f ) =−1 alors...
► Si Sp ( f )=∅ alors χ f ( X ) est n'est pas scindé dans ℝ [ X ] donc il existe z∈ℂ tel que: χ f ( X ) =( X−z ) ( X−z )
2
Ainsi det ( f ) =z×z=∣z∣ ⩾0 donc det ( f ) =1 .
a b
Soit B=( e1 ; e 2 ) une base orthonormale de E alors Mat B ( f ) =A=
,
c d
( )
Or a est unitaire donc ∃ θ∈ℝ tel que a=cos θ
c
b=sin ( θ )
( )
()
Isométries d'un espace euclidien
{
9/18
pycreach.free.fr - TSI2
( ) et (db) sont orthogonaux or le supplémentaire orthogonal de Vect ((ac )) est une droite vectorielle donc,
sachant que ( b ) est unitaire, {b=−sin θ ou {b=sin θ
d
d =cos θ
d =−cos θ
De plus a
c
( )
( )
( )
Or
θ
∣cos
sin θ
sin ( θ )
=…
−cos ( θ )
Et
cos θ
∣−sin
θ
sin ( θ )
=…
cos ( θ )
( )
( )
( )
( )
( )
∣
∣
cos ( θ ) −sin ( θ ) x
Soit u∈E , en notant Mat B ( u )= x , on a Mat B ( f ( u ) )=
=cos ( θ ) x +sin ( θ ) −y
sin ( θ ) cos ( θ) y
y
y
x
1
1
u;
v est une base orthonormale directe de E car en posant
Soit v =−y e 1 + x e 2 la famille
∥u∥ ∥u∥
1
P= 2 2 x − y on a : ...
√x +y y x
1
1
1
⊥
v est unique car dim ( vect ( u ) ) =1,
v =1 et
u ;−
v base orthonormale indirecte de E.
∥u∥
∥u∥
∥u∥
(
()
(
(
)( )
()
( )
)
)
∥ ∥
(
)
□
Remarques sur les rotations en dimension 2 : soit f une rotation d'angle θ≠0 [ π ]
Quelle que soit la base B' =( e' 1 ; e' 2 ) orthonormale directe de E, f ( e' 1 ) =cos ( θ) e' 1 +sin ( θ ) e' 2
De plus ( e' 2 ;−e' 1 ) est aussi une base orthonormale directe donc f ( e' 2 ) =cos ( θ ) e' 2 +sin ( θ ) (−e' 1 )
Ainsi Mat B' ( f ) =…
Par ailleurs : ∀ u∈E , f ( u )=cos ( θ ) u +sin ( θ) v avec u et v orthogonaux donne : ⟨ u∣ f ( u ) ⟩ =…
Enfin en notant Mat B' ( u ) = x on a :
y
( θ ) −y sin ( θ )
x
x
cos
x x cos ( θ ) x −y sin ( θ )
det B' ( u , f ( u ) ) =
=
+
=…
(
)
(
)
y x sin θ + y cos θ
y y cos ( θ ) y x sin ( θ)
()
∣
∣∣
∣∣
∣
Remarques sur les réflexions : soit f une réflexion.
∀ u∈E ,
f ( u + f ( u ) )=…
f ( u− f ( u ) )=…
Isométries d'un espace euclidien
donc u + f ( u ) ∈E1 ( f )
donc u− f ( u )∈E−1 ( f )
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pycreach.free.fr - TSI2
Soient ( E ; ⟨ …|… ⟩ ) un espace euclidien de dimension 2 et f ∈O ( E )
Nature de f
f =Id E ou rotation d'angle 0 [ 2 π ]
f =−Id E ou rotation d'angle π
f est la rotation d'angle θ≠0 [ π ]
f est une réflexion par rapport à
E 1( f )
Spectre de f
sp ( f ) ={ 1 }
sp ( f ) ={−1 }
sp ( f ) =∅
sp ( f ) ={−1 ;1 }
Déterminant
de f
det ( f ) =1
det ( f ) =1
det ( f ) =1
det ( f ) =−1
Vecteurs
invariants
E
{0 E }
{0 E }
E 1( f )
Droites stables
Toutes les droites vectorielles de E
Toutes les droites vectorielles de E
∅
E 1 ( f ) et E−1 ( f )
Matrice dans
une base
orthonormale
Pour toute base B de E :
1 0
Mat B ( f ) =
0 1
Pour toute base B de E :
−1 0
Mat B ( f ) =
0 −1
Trace
Tr ( f )=2
Tr ( f )=−2
Tr ( f )=2 cos ( θ ) ∈ ]−2 ; 2 [
Tr ( f )=0
Pour toute base B orthonormale de E,
Mat B ( f ) est symétrique.
Pour toute base B orthonormale de E,
Mat B ( f ) n'est pas symétrique.
Pour toute base B orthonormale de E,
Mat B ( f ) est symétrique.
∀ u∈E , f ( u )=−u
2
∀ u∈E , ⟨ u∣ f ( u ) ⟩ =∥u∥ cos ( θ)
Pour toute base orthonormale directe B
2
de E : det B ( u ; f ( u ) )=∥u∥ sin ( θ )
∀ u∈E , u + f ( u ) ∈E1 ( f )
u− f ( u )∈E−1 ( f )
( )
Symétrie de la
matrice dans Pour toute base B orthonormale de E,
Mat B ( f ) est symétrique.
une base
orthonormale
(
Pour toute base B orthonormale directe Il existe une base B orthonormale de E
cos ( θ) −sin ( θ )
1 0
de E : Mat B ( f ) =
telle que : Mat B ( f ) =
(
)
(
)
sin θ cos θ
0 −1
)
(
)
(
)
Représentation
dans le plan
vectoriel
euclidien muni
d'une base
orthonormale
directe ( ⃗i ; ⃗j )
Caractéristiqu
es
géométriques
Remarque :
∀ u∈E , f ( u )=u
T
T
Si A∈M n (ℝ ) est symétrique alors ∀ P∈O ( n ) , ( PT A P ) =P T AT ( P T ) =P T A P donc ∀ P∈O ( n ) , P T A P est symétrique.
T
T
Si A∈M n ( R ) est antisymétrique alors ∀ P∈O ( n ) , ( PT A P ) =P T AT ( P T ) =P T (−A ) P=−PT A P donc ∀ P∈O ( n ) , P T A P est antisymétrique
Isométries d'un espace euclidien
11/18
pycreach.free.fr - TSI2
Applications : soient ( ⃗
i ;⃗
j ) une base orthonormale directe de E et les endomorphismes f et g définis par :
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
f ( i )=0,6 i +0,8 j
, g ( i ) =0,6 i +0,8 j . Déterminer la nature de f et de g .
f ( ⃗j )=−0,8 ⃗
i +0,6 ⃗
j
g (⃗
j ) =0,8 ⃗
i −0,6 ⃗
j
{
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
{
from sympy import *
def nature(M):
if M.equals(eye(2)):
pprint(M)
print(" est la matrice de l'identité dans n'importe quelle base.")
elif M.equals(-eye(2)):
pprint(M)
print(" est la matrice de l'homothétie de rapport -1 dans n'importe quelle base.")
else :
Z=M*(M.transpose())-eye(2)
if trace(Z.transpose()*Z)>10**-12:
pprint(M)
print(" n'est pas la matrice, dans une base orthonormale, d'une isométrie vectorielle. ")
else :
if abs(det(M)-1)<10**-12:
if asin(M[1,0])>0:
a=acos(M[0,0])
else :
a=-acos(M[0,0])
pprint(M)
print(" est la matrice, dans n'importe quelle base orthonormale directe, de la rotation d'angle "+str(a))
else :
V=(M-eye(2)).nullspace()
pprint(M)
print(" est la matrice, dans une base orthonormale B, de la réflexion par rapport à ")
print("la droite vectorielle dirigée par le vecteur dont les coordonnées dans la base B sont ")
pprint(V)
A=Matrix([[0.6,-0.8],[0.8,0.6]])
B=Matrix([[0.6,0.8],[0.8,-0.6]])
nature(A)
nature(B)
Image d'un vecteur par une isométrie vectorielle en dimension 2
n un vecteur non nul et s( vect ( ⃗n )) la réflexion par
Soit r θ la rotation vectorielle d'angle θ : quel que soit le Soit ⃗
⊥
v : r θ(⃗
v )=cos ( θ ) ⃗
v +sin ( θ ) r π ( ⃗
v)
vecteur ⃗
rapport à la droite vectorielle ( vect (⃗
n ) ) , quel que soit le
2
⟨⃗
v ∣⃗
n⟩
v : s( vect ( ⃗n )) ( ⃗
vecteur ⃗
v )=⃗
v −2
⃗
n
2
∥⃗
n∥
⊥
⊥
Isométries d'un espace euclidien
12/18
pycreach.free.fr - TSI2
Théorème de classification du groupe orthogonal en dimension 3
Soient ( E ; ⟨ …|…⟩ ) un espace euclidien de dimension 3 et f ∈O ( E ) .
Si f ∈SO ( E ) alors 1∈sp ( f ) , il existe un réel θ et une base B orthonormale directe de E telle que :
1
0
0
Mat B ( f ) = 0 cos ( θ) −sin ( θ )
0 sin ( θ) cos ( θ )
−
Si f ∈O ( E ) alors −1∈sp ( f ) , il existe un réel θ et une base B orthonormale directe de E telle que :
−1
0
0
Mat B ( f ) = 0 cos ( θ ) −sin ( θ)
0 sin ( θ ) cos ( θ )
(
(
)
)
Remarque : pour f ∈O ( E ) avec E de dimension 3, sp ( f )≠∅ .
Démonstration :Le polynôme caractéristique de f , χ f ( X ) ∈ℝ3 [ X ] et χ f ( X ) =X 3 +Q ( X ) avec Q ( X ) ∈ℝ 2 [ X ] donc
lim P f ( x )=… et lim P f ( x )=…
x →+∞
x →−∞
De plus toute fonction polynomiale étant continue sur ℝ , l'équation χ f ( x )=0 admet au moins une solution réelle α .
Les racines de χ f ( X ) sont les valeurs propres de f . Ainsi, f étant un endomorphisme orthogonal, on a : α=±1 .
3
Si χ f ( X ) est scindé dans ℝ [ X ] alors, ou bien χ f ( X ) =( X−1 ) donc det ( f ) =…
2
ou bien χ f ( X ) =( X−1 ) ( X+1 ) donc det ( f ) =…
2
ou bien χ f ( X ) =( X−1 ) ( X+1 ) donc det ( f ) =…
3
ou bien χ f ( X ) =( X+1 ) donc det ( f ) =…
Si χ f ( X ) n'est pas scindé dans ℝ [ X ] , soit β∈ℂ∖ℝ tel que χ f (β )=0 alors χ f (β ) =0 or χ f ( X ) ∈ℝ [ X ] donc
χ f ( β )=0 donc χ f ( X ) =( X−α ) ( X−β )( X−β ) donc det ( f ) =α∣β∣2 , ainsi det ( f ) est du signe de α .
⊥
Ainsi, si f ∈SO ( E ) , alors 1∈sp ( f ) or E 1 ( f ) est stable par f donc ( E1 ( f )) est stable par f .
⊥
Soit e 1 un vecteur unitaire de E 1 ( f ) et (e 2 ; e 3 ) une base orthonormée de ( E1 ( f )) alors quitte éventuellement à
1 0 0
échanger e 2 et e 3 , la famille ( e 1 ; e 2 ;e3 ) est une base orthonormale directe de E et Mat B ( f ) = 0 a b
0 c d
⊥
⊥
⊥
Or la restriction de f à ( E1 ( f )) , f ∣(E ( f )) : ( E1 ( f ) ) → (E 1 ( f ) ) est une isométrie vectorielle sur un espace vectoriel de
a b
dimension 2 donc
∈O ( 2 ) .
c d
1 0 0
a b
a b
a b
De plus det ( f ) = 0 a b =
et comme det ( f ) =1 ,
=1 d'où
∈SO ( E )
c d
c d
c d
0 c d
a b
cos ( θ ) −sin ( θ )
Donc, il existe θ∈ℝ tel que
.
=
c d
sin ( θ ) cos ( θ )
⊥
⊥
De façon analogue, si f ∈O ( E ) alors −1∈ sp ( f ) or E−1 ( f ) est stable par f donc ( E−1 ( f ) ) est stable par f .
⊥
Soit e1 un vecteur unitaire de E−1 ( f ) et (e2 ; e 3 ) une base orthonormée de ( E−1 ( f ) ) alors quitte éventuellement à
1 0 0
échanger e 2 et e 3 , la famille (e 1 ; e 2 ;e3 ) est une base orthonormale de E et Mat B ( f ) = 0 a b
0 c d
⊥
⊥
⊥
Or la restriction de f à ( E−1 ( f ) ) , f ∣(E ( f )) : ( E−1 ( f ) ) → ( E−1 ( f ) ) est une isométrie vectorielle sur un espace vectoriel
a b
de dimension 2 donc
∈O ( 2 ) .
c d
−1 0 0
a b
a b
a b
De plus det ( f ) = 0 a b =
et comme det ( f ) =−1 ,
=1 d'où
∈SO ( E )
c d
c d
c d
0 c d
a b
cos ( θ ) −sin ( θ )
Donc, il existe θ∈ℝ tel que
.
□
=
c d
sin ( θ ) cos ( θ )
x
Remarque : dans les deux cas en notant B=( e1 , e 2 ;e 3 ) pour tout u∈E en notant Mat B ( u )= y , on a :
z
1 x
±x
y y cos ( θ ) y −z sin ( θ) ( 2 2 ) ( )
det B ( e1 ; u ; f ( u ) )= 0 y ycos ( θ )−z sin ( θ ) =
+
= y +z sin θ
z z cos ( θ) z y sin ( θ )
0 z y sin ( θ ) + z cos ( θ)
(
)
⊥
1
( )
∣ ∣∣
∣
∣ ∣
( )(
( )
)
(
)
⊥
−1
( )
∣
∣∣
∣
( )(
∣ ∣
( )
)
()
∣
Isométries d'un espace euclidien
∣∣
∣∣
13/18
∣
pycreach.free.fr - TSI2
Soient ( E ; ⟨ …|… ⟩ ) un espace euclidien de dimension 3 et f ∈SO ( E )
Nature de f
f =Id E ou rotation d'angle 0 [ 2 π ]
f est un retournement (i.e.
une rotation d'angle π [ 2 π ] ) d'axe E 1 ( f )
f est une rotation d'angle θ≠0 [ π ] et d'axe orienté
par un vecteur unitaire e 1 ∈E1 ( f )
Spectre et det de f
sp ( f ) ={ 1 } et det ( f ) =1
sp ( f ) ={−1 ;1 } et det ( f ) =1
sp ( f ) ={ 1 } et det ( f ) =1
Vecteurs invariants
E
E 1 ( f ) axe du retournement
E 1 ( f ) axe de la rotation
Droites stables
Toutes les droites vectorielles de E
E 1 ( f ) et toutes les droites vectorielles de E−1 ( f )
E 1( f )
Matrice dans une
base orthonormale
Pour toute base B de E :
1 0 0
Mat B ( f ) = 0 1 0
0 0 1
Trace
Tr ( f )=3
Tr ( f )=−1
Tr ( f )=1+2 cos ( θ) ∈ ] −1 ; 3 [
Symétrie de la
matrice dans une
base orthonormale
Pour toute base B orthonormale de E,
Mat B ( f ) est symétrique.
Pour toute base B orthonormale de E, Mat B ( f ) est
symétrique.
Pour toute base B orthonormale de E, Mat B ( f ) n'
est pas symétrique.
∀ u∈E , f ( u )=u
∀ u∈E , u + f ( u ) ∈E1 ( f )
∀ u∈E , u− f ( u )∈E−1 ( f )
⊥
2
∀ u∈ ( E1 ( f )) , ⟨ u∣ f ( u ) ⟩ =∥u∥ cos ( θ)
Dans toute base B orthonormale directe de E,
∀ u∈E , det B ( e1 ,u ; f ( u ) ) est du signe de sin ( θ )
( )
Si B=( e1 ; e 2 ; e3 ) est une base orthonormale de E Si B=( e1 ; e 2 ; e3 ) est une base orthonormale directe
⊥
avec e1 ∈E1 ( f ) et ( e2 ; e 3 ) base de E−1 ( f ) alors : de E avec e 1 ∈E1 ( f ) et (e 2 ; e 3 ) base de ( E1 ( f )) :
1 0
0
1
0
0
Mat B ( f ) = 0 −1 0
Mat B ( f ) = 0 cos ( θ) −sin ( θ )
0 0 −1
0 sin ( θ) cos ( θ )
(
)
(
)
Représentation dans
le plan vectoriel
euclidien muni d'une
base orthonormale
directe ( ⃗i ; ⃗j )
Caractéristiques
géométriques
Isométries d'un espace euclidien
14/18
pycreach.free.fr - TSI2
Soient ( E ; ⟨ …|… ⟩ ) un espace euclidien de dimension 3 et f ∈O − ( E )
Nature de f
f =−Id E
f est une réflexion par rapport à E 1 ( f )
Spectre et det de f
Vecteurs invariants
sp ( f ) ={−1 } et det ( f ) =−1
∅
sp ( f ) ={−1 ;1 } et det ( f ) =−1
E 1( f )
Droites stables
Toutes les droites vectorielles de E
E−1 ( f ) et toutes les droites vectorielles de E 1 ( f )
Matrice dans une
base orthonormale
Pour toute base B de E :
−1 0
0
Mat B ( f ) = 0 −1 0
0
0 −1
Trace
Symétrie de la
matrice
Tr ( f )=−3
Pour toute base B orthonormale de E,
Mat B ( f ) est symétrique.
(
)
f est la composée commutative d'une une rotation
d'angle θ≠0 [ π ] et d'axe orienté par le vecteur unitaire
⊥
e 1 ∈E−1 ( f ) et d'une réflexion par rapport ( vect ( e 1 ) )
sp ( f ) ={−1 } et det ( f ) =−1
∅
E−1 ( f )
Si B=( e1 ; e 2 ; e3 ) est une base orthonormale de E Si B=( e1 ; e 2 ; e3 ) est une base orthonormale directe
⊥
avec e 1 ∈E−1 ( f ) et (e 2 ; e 3 ) base de E 1 ( f ) alors : de E avec e1 ∈E−1 ( f ) et (e 2 ; e 3 ) base de ( E−1 ( f ) )
−1 0 0
−1
0
0
(
)
(
)
(
)
Mat B f = 0 1 0
alors : Mat B f = 0 cos θ −sin ( θ)
0 0 1
0 sin ( θ ) cos ( θ )
Tr ( f )=1
Tr ( f )=−1+2 cos ( θ ) ∈ ]−3 ;1 [
Pour toute base B orthonormale de E, Mat B ( f ) est Pour toute base B orthonormale de E, Mat B ( f ) n'est
symétrique.
pas symétrique.
(
)
(
)
Représentation dans
le plan vectoriel
euclidien muni d'une
base orthonormale
directe ( ⃗i ; ⃗j )
2
∀ u∈ ( E−1 ( f ) ) , ⟨ u∣ f ( u ) ⟩ =∥u∥ cos ( θ)
Dans toute base B orthonormale directe de E,
∀ u∈E , det B ( e 1 ,u ; f ( u ) ) est du signe de sin ( θ )
⊥
Caractéristiques
géométriques
Isométries d'un espace euclidien
∀ u∈E , f ( u )=−u
∀ u∈E , u + f ( u ) ∈E1 ( f )
∀ u∈E , u− f ( u )∈E−1 ( f )
15/18
pycreach.free.fr - TSI2
i ;⃗
j ;⃗
k ) une base orthonormale directe de E et l' endomorphisme f défini par :
Applications : Soient (⃗
f (⃗
i )=0,48 ⃗
i +0,6 ⃗j +0,64 ⃗
k
⃗
⃗
⃗
f ( j ) =0,8 i −0,6 k
f (⃗
k ) =−0,36 ⃗
i +0,8 ⃗
j −0,48 ⃗
k
Déterminer la nature de f et de − f .
{
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
from sympy import *
def supplementaire_orthogonal(C):
if C[0]!=0 :
C1=Matrix([[C[1]],[-C[0]],[0]])
elif C[1]!=0 :
C1=Matrix([[0],[C[2]],-C[1]])
else :
C2=Matrix([[1],[0],[0]])
C1=C1/sqrt(C1.dot(C1))
C2=C.cross(C1)
return C1,C2
def angle(C,U,V):
t=acos(U.dot(V))
if C.dot(U.cross(V))>=0:
return t
else:
return -t
def nature(M):
pprint(M)
if M.equals(eye(3)) :
print(" est la matrice, dans n'importe quelle base, de l'identité .")
elif M.equals(-eye(3)) :
print(" est la matrice, dans n'importe quelle base, de l'homothétie de rapport -1 .")
else:
Z=M*(M.transpose())-eye(3)
if trace(Z.transpose()*Z)>10**-12:
print("n'est pas la matrice, dans une base orthonormale, d'une isométrie vectorielle.")
else :
if det(M)==1 :
C1=((M-eye(3)).nullspace())[0]
C1=C1/sqrt(C1.dot(C1))
if M.equals(M.transpose()):
print("est la matrice, dans une base orthonormale B, d'un retournement dont l'axe")
print("est dirigé par le vecteur unitaire dont les coordonnées dans la base B sont:")
pprint(C1)
else :
C2,C3=supplementaire_orthogonal(C1)
a=angle(C1,C2,M*C2)
print("est la matrice, dans une base orthonormale B, d'une rotation r d'angle"+str(a)+" radians ")
print("selon l'axe orienté par le vecteur unitaire dont les coordonnées dans la base B sont:")
pprint(C1)
print("Le plan globalement invariant par r est engendré par les deux vecteurs unitaires dont les coordonnées dans la base B sont:")
pprint([C2,C3])
else :
C1=((M+eye(3)).nullspace())[0]
C1=C1/sqrt(C1.dot(C1))
C2,C3=supplementaire_orthogonal(C1)
if M.equals(M.transpose()):
print("est la matrice, dans une base orthonormée B, de la réflexion par rapport au plan")
print("admettant pour base orthonormale les vecteurs dont les coordonnées dans la base B sont :")
pprint([C2,C3])
else :
a=angle(C1,C2,M*C2)
print("est la matrice, dans une base orthonormale B, de la composée commutative de " )
print("la réflexion s et de la rotation r définies de la façon suivante.")
print("La rotation r est d'angle "+str(a)+" radians selon l'axe orienté")
print("par le vecteur unitaire dont les coordonnées dans la base B sont :")
pprint(C1)
print("La réflexion s est la réflexion par rapport au plan admettant pour base")
print("orthonormale les vecteurs dont les coordonnées dans la base B sont :")
pprint([C2,C3])
A=Matrix([[48,80,-36],[60,0,80],[64,-60,-48]])*1/100
nature(A)
nature(-A)
Isométries d'un espace euclidien
16/18
pycreach.free.fr - TSI2
Isométries d'un espace euclidien
17/18
pycreach.free.fr - TSI2
Image d'un vecteur par une isométrie vectorielle en dimension 3
n un vecteur unitaire de E :
Soient un espace vectoriel euclidien E de dimension 3 , ⃗
n : quel que soit le vecteur ⃗
v ,
Soit r θ, ⃗n la rotation vectorielle d'angle θ et d'axe dirigé par le vecteur ⃗
(
)
(
)
(
)
⟨
∣
⟩
(
⟨
∣
⟩
)
r θ, ⃗n ⃗
v =⃗
v ⃗
n ⃗
n +cos θ ⃗
v−⃗
v ⃗
n ⃗
n +sin θ ⃗
n ∧⃗
v
n avec la réflexion par
Soit sθ , ⃗n la composée de la rotation vectorielle d'angle θ et d'axe dirigé par le vecteur ⃗
⊥
v ,
rapport à ( vect (⃗
n ) ) : quel que soit le vecteur ⃗
sθ , ⃗n ( ⃗
v )=−⟨ ⃗
v ∣⃗
n ⟩⃗
n +cos ( θ ) ( ⃗
v −⟨ ⃗
v ∣⃗
n ⟩⃗
n ) +sin ( θ ) ⃗
n ∧⃗
v
⟨⃗
(⃗
Démonstration : ⃗
v =(⏟
v ∣⃗
n ⟩⃗
n ) +⏟
v −⟨ ⃗
v ∣⃗
n ⟩⃗
n)
⊥
∈( vect ( ⃗
n ))
∈ vect ( ⃗
n)
Or ⃗
n ∧⃗
v ∥=∥⃗
n ∥×∥⃗
v −⟨ ⃗
v ∣⃗
n ⟩⃗
n ∥=∥⃗
v −⟨ ⃗
v ∣⃗
n ⟩⃗
n∥
n ∧ (⃗
v −⟨ ⃗
v ∣⃗
n ⟩⃗
n )=⃗
n ∧⃗
v donc ∥⃗
4.
Matrices symétriques réelles
Propriété d'orthogonalité des sous-espaces propres d'une matrice symétrique réelle
Soient A∈M n (ℝ ) , et deux réels λ et μ .
Si A est symétrique, {λ ; μ }⊂sp ( A ) et λ≠μ
alors les sous-espaces propres E λ ( A ) et Eμ ( A ) sont orthogonaux dans M n,1 ( ℝ ) muni de son produit scalaire
euclidien canonique.
T
Démonstration : Si A est symétrique, alors ∀ ( X ; X' )∈M n, 1 ( ℝ ) : ⟨ AX∣X' ⟩ =( AX ) X' =X T A T X' =XT A X' =⟨ X∣AX' ⟩
Soit {λ ; μ }⊂sp ( A ) tel que λ≠μ X∈E λ ( A ) et X' ∈Eμ ( A ) alors : AX=λ X
AX' =μ X'
Donc ⟨ λ X∣X' ⟩ =⟨ X∣μ X' ⟩ ⇒ ( λ−μ ) ⟨ X∣X' ⟩ =0 ⇒ ⟨ X∣X' ⟩ =0 car λ−μ≠0 .
□
{
Théorème spectral
Soit une matrice A∈M n (ℝ ) .
Si A est symétrique alors il existe une matrice diagonale D et une matrice orthogonale P telle que D=PT A P
Principe de la démonstration : on construit par récurrence une base orthonormale de vecteurs propres de A : chaque sousespace propre admet une base orthonormale (cf Gram-Schmidt) les sous-espaces propres sont orthogonaux deux à deux. □
0,2 0 0,4
Im ( A )=…
Exemples : Soit A= 0 1 0
donc dim ( Ker A ) =… ainsi Sp ( A ) =… et comme A est
0,4 0 0,8
symétrique réelle donc diagonalisable …
0,7 0,1
0,1
0,7
0,1
0,7
−0,7
−0,1
Soit B=
, B est à la fois symétrique et orthogonale donc...
0,1 −0,7 −0,7 0,1
0,7 −0,1 0,1 −0,7
(
(
Isométries d'un espace euclidien
)
)
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