L`équation caractéristique Algèbre linéaire I --

L’équation caractéristique
Algèbre linéaire I — MATH 1057 F
Marie-Gabrielle Vallet
Département de mathématiques et d’informatique
Université Laurentienne
Sudbury, 25 mars 2012
Comment trouver les valeurs propres (p. 311)
valeur
propre
z}|{
On cherche λ
Ax =
λ
et x tels que
(peut
être
nulle)
L’équation homogène (A − λI )x = 0 doit
triviales.
vecteur
propre
z}|{
x
(non nul)
avoir des solutions non
Cela implique que la matrice (A − λI ) doit être non inversible.
Ce qui implique que det(A − λI ) doit être nul.
Il faut donc trouver λ tel que det(A − λI ) = 0.
Équation caractéristique (p. 313)
Définition
Soit A une matrice carrée d’ordre n.
Le polynôme caractéristique de A est det(A − λI ).
L’équation caractéristique de A est det(A − λI ) = 0.
Théorème
Soit A, une matrice carrée d’ordre n. Un scalaire λ est une valeur
propre de A si et seulement si λ satisfait l’équation caractéristique
det(A − λI ) = 0.
On trouve les valeurs propres d’une matrice en résolvant son
équation caractéristique.
Exemple pour une matrice 2 × 2
Exemple
: Trouvez
les valeurs propres et les vecteurs propres de
0 1
A=
.
−6 5
0 1
λ 0
−λ
1
A − λI =
−
=
.
−6 5
0 λ
−6 5 − λ
L’équation caractéristique det(A − λI ) = 0 devient
(−λ)(5 − λ) − (1)(−6) = 0
λ2 − 5λ + 6 = 0
(λ − 2)(λ − 3) = 0.
On factorise le polynôme caractéristique pour faire aparaı̂tre ses
racines, qui sont les valeurs propres de la matrice A. Les valeurs
propres sont donc λ = 2 et 3.
Factorisation d’un polynôme
Rappels : Soit un polynôme en λ.
1
2
3
Si r est une racine du polynôme, on peut factoriser le terme
(λ − r ). On cherche d’abord s’il y a une racine r évidente (0,
1, -1, 2 ou -2), et on factorise (λ − r ).
Pour un polynôme d’ordre 2 de la forme λ2 − Sλ + P, on
cherche deux racines (entières) dont la somme vaut S et le
produit vaut P. En effet
(λ − r1 )(λ − r2 ) = λ2 − (r1 + r2 )λ + r1 r2 .
Pour un polynôme d’ordre 2 de la forme aλ2 + bλ + c, on
calcule le discriminant
∆ = b 2 − 4ac. Si ∆
√ ≥ 0, les racines
√
sont r1 = (−b − ∆)/2a et r2 = (−b + ∆)/2a.
Vecteur propre associé à λ = 2.
On résout le système (A − 2I )x = 0 :
−2 1 0
1
∼
−6 3 0
0
−1/2 0
0
0
.
La solution est donc
(1/2)x2
x1
1/2
= x2
=
x=
.
x2
x2
1
1/2
, x2 non nul, est un vecteur
1
propre correspondant à la valeur propre λ = 2.
Tout vecteur de la forme x2
Vecteur propre associé à λ = 3.
On résout le système (A − 3I )x = 0 :
−3 1 0
1
∼
−6 2 0
0
−1/3 0
0
0
.
La solution est donc
(1/3)x2
x1
1/3
= x2
=
x=
.
x2
x2
1
1/3
, x2 non nul, est un vecteur
1
propre correspondant à la valeur propre λ = 3.
Tout vecteur de la forme x2
Exemple pour une matrice 3 × 3


4 0 −2
Exemple : Trouvez les valeurs propres de A =  2 5
4 .
0 0
5

 
 

4 0 −2
λ 0 0
4−λ
0
−2
4  − 0 λ 0  =  2
5−λ
4 .
A−λI =  2 5
0 0
5
0 0 λ
0
0
5−λ
L’équation caractéristique det(A − λI ) = 0 devient
4−λ
0 (5 − λ) = 0
2
5−λ (5 − λ)(4 − λ)(5 − λ) = 0
−λ3 + 14λ2 − 65λ + 100 = 0
Les valeurs propres sont les racines de l’équation caractéristique et
sont donc λ = 5 et 4.
Rappel sur les déterminants (p. 313)
Théorème
Soit A une matrice carrée.
a. A est inversible si et seulement si det A 6= 0.
b. det AB = (det A)(det B)
c. det AT = det A
d. Le déterminant d’une matrice triangulaire A est le produit des
éléments de sa diagonale principale.
e. Si une matrice B est obtenue en ajoutant à une ligne de la
matrice A un multiple d’une autre de ses lignes, alors
det B = det A.
f. Si B est obtenue en intervertissant deux lignes de A, alors
det B = − det A.
g. Si B est obtenue en multipliant une ligne de A par k, alors
det B = k det A.
Multiplicité d’une valeur propre (p. ⌊100π⌋)
Pour la matrice A précédente, on voit que la valeur propre λ = 5 a
un ordre de multiplicité égal à 2 car le facteur (λ − 5) est présent
deux fois dans le polynôme caractéristique.
Définition
L’ordre de multiplicité ( algébrique) d’une valeur propre λ est
son ordre de multiplicité en tant que racine de l’équation
caractéristique.
Note : Plus simplement, on dit souvent la multiplicité d’une valeur
propre. Un polynôme de degré n a exactement n racines, si on
compte les racines multiples et les racines complexes.
Rappel : Vecteur propre associé à λ = 4.
On résout le système (A − 4I )x = 0 :

 
0 0 −2 0
2
 2 1


4 0 ∼
0
0 0
1 0
0
1
0
0
4
1
0

0
0 .
0
La solution est donc

 



x1
−(1/2)x2
−1/2
 = x2 
x2
x =  x2  = 
1 .
x3
0
0


−1/2
Tout vecteur de la forme t 
1 , t non nul, est un vecteur
0
propre correspondant à la valeur propre λ = 4.
Rappel : Vecteur propre associé à λ = 5.
On résout le système (A − 5I )x = 0 :
 

−1 0 −2 0
1
 2 0
4 0 ∼ 0
0 0
0 0
0

0 2 0
0 0 0 .
0 0 0
Il y a deux variables libres, x2 et x3 . La solution est donc

 

 


x1
−2x3
0
−2
x =  x2  = 
x2  = x2  1  + x3  0  .
x3
x3
0
1



−2
0
Tout vecteur de la forme r  1  + t  0 , r , t non nuls, est
1
0
un vecteur propre correspondant à la valeur propre λ = 5.

Matrices semblables (p. ⌊100π⌋)
Définition
Une matrice carrée A d’ordre n est semblable à une matrice carrée
B d’ordre n s’il existe une matrice inversible P telle que
P −1 AP = B, ou, de façon équivalente, telle que A = PBP −1 .
Si on écrit Q au lieu de P −1 , on a que Q −1 BQ = A. Ce qui
montre que B est aussi semblable à A et on dit simplement que A
et B sont semblables.
Exemple de matrices semblables
2 0
−3 2
Exemple : Soient A =
,B=
,
1 1
−10 6
−2
1
1 1
P=
et P −1 =
. Calculez P −1 AP et PBP −1 .
3 −1
3 2
PBP
−1
−2
1
−3 2
1 1
=
3 −1
−10 6
3 2
2 0
=
=
1 1
et
P
−1
1 1
3 2
2 0
AP =
1 1
−3 2
=
=
−10 6
−2
1
3 −1
Matrices semblables et valeurs propres (p. 315)
Théorème
Si deux matrices carrées A et B d’ordre n sont semblables, alors
elles ont le même polynôme caractéristique, et de là les mêmes
valeurs propres (avec les mêmes multiplicités).
Démonstration.
Puisque A et B sont semblables, on a que B = P −1 AP. De plus
B − λI = P −1 AP − λP −1 P = P −1 AP − P −1 λIP
= P −1 (AP − λIP) = P −1 (A − λI )P.
Le polynôme caractéristique de B est donné par
det(B − λI ) = det(P −1 (A − λI )P) = det(P −1 ) det(A − λI ) det(P)
= det(A − λI )
car det(P −1 ) det(P) = det(P −1 P) = det(I ) = 1. D’où le polynôme
caractéristique de B est égal au polynôme caractéristique de A.
Exemple de valeurs propres de matrices semblables
2 0
1 1
Exemple : Soient les deux matrices semblables A =
et
−3 2
B=
. Les polynômes caractéristiques et A et B sont
−10 6
donnés par
2−λ
0 det(A − λI ) = = (2 − λ)(1 − λ) − (0)(1)
1
1−λ = (λ − 2)(λ − 1);
−3 − λ
2 det(B − λI ) = = (−3 − λ)(6 − λ) − (2)(−10)
−10
6−λ = (−18 − 6λ + 3λ + λ2 ) + 20 = λ2 − 3λ + 2
= (λ − 2)(λ − 1).
Donc, les deux matrices ont le même polynôme caractéristique et
donc les mêmes valeurs propres (mais n’ont pas cependant les
mêmes vecteurs propres).