L`équation caractéristique Algèbre linéaire I --

L’´equation caract´eristique
Alg`ebre lin´eaire I — MATH 1057 F
Marie-Gabrielle Vallet
D´epartement de math´ematiques et d’informatique
Universit´e Laurentienne
Sudbury, 25 mars 2012

Comment trouver les valeurs propres (p. 311)
On cherche λ
et xtels que Ax=
valeur
propre
z}|{
λ
(peut
ˆetre
nulle)
vecteur
propre
z}|{
x
(non nul)
L’´equation homog`ene (A−λI)x=0doit avoir des solutions non
triviales.
Cela implique que la matrice (A−λI) doit ˆetre non inversible.
Ce qui implique que det(A−λI) doit ˆetre nul.
Il faut donc trouver λtel que det(A−λI) = 0.

´
Equation caract´eristique (p. 313)
D´efinition
Soit A une matrice carr´ee d’ordre n.
Le polynˆome caract´eristique de A est det(A−λI).
L’´equation caract´eristique de A est det(A−λI) = 0.
Th´eor`eme
Soit A, une matrice carr´ee d’ordre n. Un scalaire λest une valeur
propre de A si et seulement si λsatisfait l’´equation caract´eristique
det(A−λI) = 0.
On trouve les valeurs propres d’une matrice en r´esolvant son
´equation caract´eristique.

Exemple pour une matrice 2 ×2
Exemple : Trouvez les valeurs propres et les vecteurs propres de
A=0 1
−6 5 .
A−λI=0 1
−6 5 −λ0
0λ=−λ1
−6 5 −λ.
L’´equation caract´eristique det(A−λI) = 0 devient
(−λ)(5 −λ)−(1)(−6) = 0
λ2−5λ+ 6 = 0
(λ−2)(λ−3) = 0.
On factorise le polynˆome caract´eristique pour faire aparaˆıtre ses
racines, qui sont les valeurs propres de la matrice A. Les valeurs
propres sont donc λ= 2 et 3.

Factorisation d’un polynˆome
Rappels : Soit un polynˆome en λ.
1Si rest une racine du polynˆome, on peut factoriser le terme
(λ−r). On cherche d’abord s’il y a une racine r´evidente (0,
1, -1, 2 ou -2), et on factorise (λ−r).
2Pour un polynˆome d’ordre 2 de la forme λ2−Sλ+P, on
cherche deux racines (enti`eres) dont la somme vaut Set le
produit vaut P. En effet
(λ−r1)(λ−r2) = λ2−(r1+r2)λ+r1r2.
3Pour un polynˆome d’ordre 2 de la forme aλ2+bλ+c, on
calcule le discriminant ∆ = b2−4ac. Si ∆ ≥0, les racines
sont r1= (−b−√∆)/2aet r2= (−b+√∆)/2a.