Rappels sur le calcul vectoriel

Rappels sur le calcul vectoriel
1 Rappels: Produit scalaire
1.1 Soit u ∈Rn,v ∈RnOn appelle produit scalaire de u et v le nombre u.v=||u||.||v||cos(u, v)
1.2 C’est la composante de u projet´ee sur v
1.3 Si u =⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
x1
x2
.
.
.
xn
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
et ⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
y1
y2
.
.
.
yn
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
,alorsu.v=
n
i=1
xiyi=x1y1+...x
nyn
1.4 Propri´et´es du produit scalaire :
•Il est commutatif : u.v=v.u
•u.u=||u||2
•u.(av1+v2)=au. v1+u. v2
1.5 Le produit scalaire sert `av´erifier l’orthogonalit´ede2vecteurs:u.v=0⇔u et v orthogonaux
2 Rappels: Produit vectoriel
2.1 Dans R3,siu =⎛
⎝
x1
y1
z1
⎞
⎠et v =⎛ ⎝
x2
y2
z2
⎞
⎠le produit vectoriel est un vecteur,not´eu ∧v =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
y1y2
z1z2
z1z2
x1x2
x1x2
y1y2
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
2.2 On constate que le rep`ere form´epar(u, v,u∧v)estunrep`ere orhogonal direct : u ∧v est orthogonal `au,`a
v,etformeunrep`ere direct avec eux.
2.3 Propri´et´es du produit vectoriel :
•u ∧(v +w)=u ∧v +u ∧w)
•(λu)∧v =λ(u ∧v)
•Il n’est pas commutatif !u ∧v =−v ∧u
•Il n’est pas associatif ! u ∧(v ∧w)=(u ∧v)∧w
•||u ∧v|| =||u||.||v||sin(u, v)
2.4 Le produit vectoriel est utilis´e pout tester si des vecteurs sont coplanaires : (u, v)sontdanslemˆeme plan
⇔u ∧v = 0
2.5 On a : u.(v ∧w)=det(u, v, w)Cenombreestappel´eproduit mixte de u, vet w.
2.6 Ona|produit mixte|= volume du parall´el´epip`
ede construit avec u, v, w
1

3 Gradient, rotationnel, divergence
Ici, on note ( i, j, )unrep`ere cart´esien orthonorm´e
3.1 Un champ scalaire est une application qui, `a un point de l’espace R3, associe un nombre :
S:R3→R
(x, y, z)→ S(x, y, z)
Exemple:
La temp´erature Tqu’il fait en (x, y, z)est un champ scalaire.
3.2 Un champ de vecteurs est une application qui, `a un point de l’espace R3, associe un vecteur :
V:R3→R3
(x, y, z)→ V1(x, y, z) i+V2(x, y, z) j+V3(x, y, z) k
Les fonctions Fis’appellent les composantes du champ F.
Exemple:
V(x, y, z)=vitesse de la mol´ecule d’air pr´esente en (x, y, z)est un champ de vecteurs.
3.3 Si Sest un champ de scalaires, on appelle gradient de Sle vecteur
−−−−−→
grad(S)=∂S
∂x
i+∂S
∂y
j+∂S
∂z
k
3.4 Si Vest un champ de vecteurs, on appelle divergence de Vle nombre
div(V)=∂V1
∂x +∂V2 ∂y +∂V3 ∂z
3.5 Si Vest un champ de vecteurs, on appelle rotationnel de Vle vecteur
−−−−→
rot(V)=∂V3
∂y −∂V2 ∂z 
i+∂V1
∂z −∂V3 ∂x 
j+∂V2
∂x −∂V1 ∂y 
k
3.6 Il faut connaitre et comprendre ces formules : ie savoir ce que mangent en entr´ee ces op´erateurs ( un
scalaire ? un vecteur ?)... et ce qu’ils donnent en sortie ( un vecteur ? un scalaire ?)
3.7 Il existe d’autres expressions de ces op´erateurs si le syst`eme de coordon´ees n’est pas cart´esien, mais polaire
ou cylindrique. ( voir avec vos profs de physique si il faut connaitre ces expressions...)
3.8 Ona−→ rot(−−→ grad(S)) =  0etdiv(−→ rot(E)) = 0
4 Utilisation du gradient, du rotationnel, de la divergence
4.1 Ces op´erateurs servent `a faire du calcul int´egral : calcul de flux, de circulation, etc...
Par exemple, Soient τun volume limit´e par une surface S, et une surface Slimit´ee par une courbe ferm´ee
C.Soit Eun champ de vecteurs sur R3.
4.2 Formule de Stokes : C
E.dr =
S
−→
rot(E).ndS
4.3 Formule de d’Ostrogradki: 
S
E.ndS =
τ
div( E)dxdydz
4.4 A l’aide des ces 3 op´erateurs, on peut en cr´eer d’autres, car il n’y a pas de limite `a l’amusement : le Laplacien,
par exemple : ∆(S)=div(grad(S)) = ∂2S
∂x2+∂2S ∂y2+∂2S ∂z2
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