Rappels sur le calcul vectoriel

Rappels sur le calcul vectoriel
1
Rappels: Produit scalaire
1.1
Soit u ∈ Rn , v ∈ Rn On appelle produit scalaire de u et v le nombre u.v = ||u||.||v ||cos(u, v )
1.2
C’est la composante de u projetée sur v
⎛ ⎞
⎛ ⎞
y1
x1
n
⎜ y2 ⎟
⎜ x2 ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
xi yi = x1 y1 + . . . xn yn
Si u = ⎜ . ⎟ et ⎜ . ⎟, alors u.v =
⎝ .. ⎠
⎝ .. ⎠
1.3
xn
1.4
yn
i=1
Propriétés du produit scalaire :
• Il est commutatif : u.v = v .u
• u.u = ||u||2
• u.(av1 + v2 ) = au.v1 + u.v2
1.5
Le produit scalaire sert à vérifier l’orthogonalité de 2 vecteurs : u.v = 0 ⇔ u et v orthogonaux
2
Rappels: Produit vectoriel
2.1
⎛ y1
⎜ z1
⎜
⎜
⎛ ⎞
⎛ ⎞
⎜
x1
x2
⎜ z1
Dans R3 , si u = ⎝ y1 ⎠ et v = ⎝ y2 ⎠ le produit vectoriel est un vecteur, noté u ∧ v = ⎜
⎜x1
⎜
z1
z2
⎜
⎜
⎝x1
y1
2.2
On constate que le repère formé par (u, v , u ∧ v ) est un repère orhogonal direct : u ∧ v est orthogonal à u, à
v , et forme un repère direct avec eux.
2.3
Propriétés du produit vectoriel :
⎞
y2 z2 ⎟
⎟
⎟
⎟
z2 ⎟
⎟
x2 ⎟
⎟
⎟
⎟
x2 ⎠
y2 • u ∧ (v + w)
= u ∧ v + u ∧ w)
• (λu) ∧ v = λ(u ∧ v )
• Il n’est pas commutatif ! u ∧ v = −v ∧ u
• Il n’est pas associatif ! u ∧ (v ∧ w)
= (u ∧ v ) ∧ w
• ||u ∧ v || = ||u||.||v ||sin(u, v )
2.4
Le produit vectoriel est utilisé pout tester si des vecteurs sont coplanaires : (u, v ) sont dans le même plan
⇔ u ∧ v = 0
2.5
On a : u.(v ∧ w)
= det(u, v , w)
Ce nombre est appelé produit mixte de u, v et w.
2.6
On a |produit mixte| = volume du parallélépipède construit avec u, v , w
1
3
Gradient, rotationnel, divergence
Ici, on note (i, j,) un repère cartésien orthonormé
3.1
Un champ scalaire est une application qui, à un point de l’espace R3 , associe un nombre :
S:
→
R
R3
(x, y, z) → S(x, y, z)
Exemple:
La température T qu’il fait en (x, y, z)est un champ scalaire.
3.2
Un champ de vecteurs est une application qui, à un point de l’espace R3 , associe un vecteur :
V :
→
R3
R3
(x, y, z) → V1 (x, y, z)i + V2 (x, y, z)j + V3 (x, y, z)k
Les fonctions Fi s’appellent les composantes du champ F .
Exemple:
V (x, y, z) =vitesse de la molécule d’air présente en (x, y, z) est un champ de vecteurs.
3.3
Si S est un champ de scalaires, on appelle gradient de S le vecteur
−−−−−→ ∂S
i + ∂S j + ∂S k
grad(S) =
∂x
∂y
∂z
3.4
Si V est un champ de vecteurs, on appelle divergence de V le nombre
div(V ) =
∂V1 ∂V2 ∂V3
+
+
∂x
∂y
∂z
3.5
Si V est un champ de vecteurs, on appelle rotationnel de V le vecteur
−−−−→
∂V1 ∂V3 ∂V2 ∂V1 ∂V3 ∂V2 −
−
−
i+
j+
k
rot(V ) =
∂y
∂z
∂z
∂x
∂x
∂y
3.6
Il faut connaitre et comprendre ces formules : ie savoir ce que mangent en entrée ces opérateurs ( un
scalaire ? un vecteur ?)... et ce qu’ils donnent en sortie ( un vecteur ? un scalaire ?)
3.7
Il existe d’autres expressions de ces opérateurs si le système de coordonées n’est pas cartésien, mais polaire
ou cylindrique. ( voir avec vos profs de physique si il faut connaitre ces expressions...)
−→ −−→
−→
On a rot(grad(S)) = 0 et div(rot(E)) = 0
3.8
4
Utilisation du gradient, du rotationnel, de la divergence
4.1
Ces opérateurs servent à faire du calcul intégral : calcul de flux, de circulation, etc...
4.2
Par exemple, Soient τ un volume limité par une surface S, et une surface S limitée par une courbe fermée
un champ de vecteurs sur R3 .
C. Soit E
−→
E.dr =
rot(E).ndS
Formule de Stokes :
C
4.3
div(E)dxdydz
E.ndS
=
Formule de d’Ostrogradki:
S
4.4
S
τ
A l’aide des ces 3 opérateurs, on peut en créer d’autres, car il n’y a pas de limite à l’amusement : le Laplacien,
∂2S ∂2S ∂2S
+
+ 2
par exemple : ∆(S) = div(grad(S)) =
∂x2
∂y 2
∂z
2