Trigonométrie - Lycée Pierre Gilles de Gennes

Chapitre
6
Trigonométrie
CONTENUS
Trigonométrie
Cercle trigonométrique.
Radian.
Mesure d’un angle orienté, mesure principale.
CAPACITÉS ATTENDUES
COMMENTAIRES
• Utiliser le cercle trigonométrique, notamment pour :
- déterminer les cosinus et sinus d’angles
associés ;
- résoudre dans R les équations d’inconnue
x : cos x = cos a et sin x = sin a.
L’étude des fonctions cosinus et sinus n’est
pas un attendu du programme.
1
Première S
Chapitre 6 - Trigonométrie
2 - Lycée Pierre-Gilles de Gennes
Table des matières
6 Trigonométrie
I - Rappels : le cercle trigonométrique . .
II - Mesure des angles orientés de vecteurs
III - Propriétés des angles orientés . . . . .
IV - Cosinus et sinus d’angles orientés . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
3
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
4
5
6
6
Première S
Chapitre 6 - Trigonométrie
Dans tout le chapitre, (O; #»
ı , #»
 )ou (O; I, J)est un repère orthonormé du plan.
I - Rappels : le cercle trigonométrique
Définition 1
On appelle cercle trigonométrique le cercle de centre O et de rayon 1. Ce cercle est orienté dans le sens
direct (sans contraire des aiguilles d’une montrer), c’est le sens trigonométrique.
On dit alors que le plan est orienté.
Propriété 1
Tout point N d’abscisse x de la droite des réels vient se superposer
à un point M du cercle trigonométrique et on associe ainsi à tout
réel x un unique point M du cercle trigonométrique.
Exemple 1
• le point I est l’image des réels 0, 2π, 4π,... et −2π, −4π,...
3π
π 5π
,−
...
• le point J est l’image des réels ,
2 2
2
5π
7π π
π 7π
et −
sont associés au même point, en effet :
− = 2π
• les réels ,
3 3
3
3
3
π
5π
− = −2π.
et −
3
3
Propriété 2
Si x est un réel et M son point associé sur le cercle trigonométrique
alors M est associé à tous les réels de la forme :
x + k × 2π avec k ∈ Z.
Exemple 2
Le réel
π
π
12π
11π
− 3 × 2π = −
=−
est aussi associé au point J.
2
2
2
2
Définition 2
Soit M un point du cercle trigonométrique.
¯ étant proportionnelle à l’angle
La longueur de l’arc de cercle IM
÷
géométrique IOM , cette longueur est appelée mesure en radian
÷.
de l’angle géométrique IOM
Remarque :
Degrés
0
Radians
0
30
π
6
45
π
4
60
π
3
90
π
2
180
360
π
2π
Un angle de 1 radian mesure environ 57, 3◦ : 1 rad =
180
180
≃
= 60.
π
3
Définition 3
#» # »
Soit M un point du cercle, on appelle mesure en radian de l’angle orienté (OI, OM ) tout nombre réel x
associé à M .
Exemple 3
#» # »
π
est une mesure de l’angle orienté (OI, OJ), dans ce cas on dit que le repère (O; I, J)est direct.
2
#» # »
11π
−
est une autre mesure de (OI, OJ).
2
π
π
#» # »
Remarque : On écrira que (OI, OJ) = (2π) (se lit «modulo 2π») pour dire que est une mesure en radian
2
2
de cet angle orienté.
4 - Lycée Pierre-Gilles de Gennes
Première S
Chapitre 6 - Trigonométrie
II - Mesure des angles orientés de vecteurs
Définition 4
b
F (y)
y−x
b
Soit E et F deux points du cercle trigonométrique.
On note x un réel associé à E et y un réel associé à x.
# » # »
On dit que le réel y − x est une mesure de l’angle orienté (OE, OF ).
J
#»
v
E(x)
b
I
b
b
O
#»
u
Définition 5
Soit #»
u et #»
v deux vecteurs non nul du plan.
# »
Il existe deux points E et F du cercle trigonométrique tels que #»
u et OE soient colinéaires de même sens et
#
»
#»
v et OF également.
On dit que le réel y − x est une mesure de l’angle orienté ( #»
u , #»
v ).
Propriété 3
Si α est une mesure de l’angle orienté ( #»
u , #»
v ) alors les autres mesures de cet angle orienté sont les réels
α + K × 2π avec K ∈ Z.
On écrit alors : ( #»
u , #»
v ) = α + K × 2π, K ∈ Z ou ( #»
u , #»
v ) = α (2π).
Démonstration
Soit x et x′ deux réels associés à E, y et y ′ deux réels associés à F . D’après la propriété 2, x′ = x + k × 2π et y ′ = y + k′ × 2π,
ainsi y ′ − x′ = y − x + (k′ − k) × 2π.
Propriété 4
L’angle orienté ( #»
u , #»
v ) possède une unique mesure α ∈] − π; π].
Cette mesure est appelée la mesure principale de l’angle orienté ( #»
u , #»
v ).
Démonstration
Les mesures ide l’angle orienté #»
u ,i#»
v ) sont de la forme x + k × 2π.
x
1
x
1
1
x
1
x
− ;−
+
+ − −
−
est d’amplitude 1 car −
2π
2
2π
2
2π
2
2π
2
relatif k1 contenu dans cet intervalle, et on a :
L’intervalle −
⇔
1
x
−
−
2π
2
−x − 2π
2π
−x − π
−π
<
k1
<
k1
= 1. Il existe donc un unique nombre entier
x
1
6−
+
2π
2
−x − 2π
6
2π
6 −x + π
6π
k1 × 2π
x + k1 × 2π
Le nombre α = x + k1 × 2π est l’unique mesure de l’angle ( #»
u , #»
v ) contenue dans l’intervalle ] − π; π].
⇔
⇔
<
<
Exemple 4
C
Db
3π
π
#» #»
#» #»
π
(2π). est la mesure principale de (IB, IC).
ABCD est un carré direct, on a (IB, IC) = = −
2
2
2
# » #»
# » #»
π
(CD, ID) = (BA, BI) = − (2π).
4
b
Ib
b
A
b
B
Remarques :
• ( #»
u , #»
u ) = 0 (2π) et ( #»
u , − #»
u ) = π (2π).
2013π
2013π
• Un angle orienté de mesure
a pour mesure principale π car 2013 = 335 × 6 + 3, ainsi
=
3
3
335 × 6π + 3π
= 335 × 2π + π.
3
2013π
3π
• Un angle orienté de mesure −
a pour mesure principale −
car −2013 = 201 × 10π − 3π, ains
5
5
5 - Lycée Pierre-Gilles de Gennes
Première S
−
Chapitre 6 - Trigonométrie
2013π
−201 × 10π − 3π
3π
=
= −201 × 2π −
.
5
5
5
III - Propriétés des angles orientés
Propriété 5 Relation de Chasles des angles orientés
#» non nuls, on a :
Pour tous vecteurs #»
u , #»
v et w
#» = ( #»
( #»
u , #»
v ) + ( #»
v , w)
u , #»
v ) (2π).
Propriété 6
Pour tous vecteurs #»
u et #»
v non nuls.
(1) ( #»
v , #»
u ) = −( #»
u , #»
v ) (2π) ;
#»
v
− #»
u
(2) (− #»
u , − #»
v ) = ( #»
u , #»
v ) (2π) ;
#»
#»
#»
#»
(3) (− u , v ) = ( u , − v ) = ( #»
u , #»
v ) + π [2π].
− #»
v
#»
u
Démonstration
(1) ( #»
v , #»
u ) + ( #»
u , #»
v ) = ( #»
v , #»
v ) = 0 2π. D’où ( #»
v , #»
u ) = −( #»
u , #»
v ) (2π).
#»
#»
#»
#»
#»
#»
#»
#»
#»
#»
(2) ( u , v ) = ( u , v ) + (− u , − v ) + (− v , v ) = π + (− u , − v ) + π = (− #»
u , − #»
v ) (2π).
#»
#»
#»
#»
#»
#»
#»
#»
(3) ( u , − v ) = ( u , v ) + ( v , − v ) = ( u , v ) + π (2π).
(− #»
u , #»
v ) = (− #»
u , #»
u ) + ( #»
u , #»
v ) = ( #»
u , #»
v ) + π (2π).
Remarque : Somme des angles orientés d’un triangle
Ab
# » # »
# » # »
# » # »
(AB, AC) + (CA, CB) + (BC, BA)
# » # »
# » # »
# » # »
= (AB, AC) + (AC, BC) + (BC, BA) (2π)
# » # »
= (AB, BA) = π (2π).
b
B
b
C
IV - Cosinus et sinus d’angles orientés
Définition 6
Soit M un point du cercle trigonométrique associé à un réel x. On note :
(1) cos(x) l’abscisse de M dans le repère (O; I, J) (cosinus du réel x) ;
(2) sin(x) l’ordonnée de M dans le repère (O; I, J) (sinus du réel x) ;
Propriété 7
On a le tableau de valeurs particulière ci-dessous :
π
π
π
π
x
0
3
2
√6
√4
3
2
1
cos(x) 1
0
2
2
√
√2
1
2
3
sin(x) 0
1
2
2
2
6 - Lycée Pierre-Gilles de Gennes
Première S
Chapitre 6 - Trigonométrie
Démonstration
π
, le triangle OM I est équlilatéral,
3
1
π
ainsi la droite (M M ′ ) est médiatrice du segment [OI], on en déduit que OM ′ = cos = .
3
2
′
2
′2
D’après le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle
OM
M
M
,
on
a
OM
=
OM
+
√
1
3
π
3
′
2
′
2
′
2
′
M M ⇔ 1 = + M M ⇔ M M = d’où M M =
= sin .
4
4
2
3
√
3
π
π
1
Par symétrie, on a cos =
et sin = .
6
2
3
2
Soit M le point du cercle trigonométrique associé au réel
π
, et M ′ le pied de la perpen4
diculaire à (OI) passant par M . Le triangle OM M ′ est isocèle rectangle en M ′ , d’après le
1
théorème de Pythgore, on a OM 2 = OM ′2 + M M ′2 ⇔ 1 = 2OM ′2 ⇔ OM ′2 =
d’où
2
√
π
π
2
1
= cos = sin .
OM ′ = M M ′ = √ =
2
4
4
2
Soit M le point du cercle trigonométrique associé au réel
Propriété 8
Pour tout réel x, on a :
(1) −1 6 cos(x) 6 1 et −1 6 sin(x) 6 1.
(2) (cosx)2 + (sin x)2 = 1.
(3) cos(x + k × 2π) = cos x et sin(x + k × 2π) = sin x pour tout entier relatif k.
Grâce au (3) de cette propriété, on peut définir le cosinus et le sinus d’un angle orienté :
Définition 7
Soit #»
u et #»
v deux vecteurs non nuls. Soit x une mesure en radian de l’angle orienté ( #»
u , #»
v ).
#»
#»
#»
#»
On pose : cos( u , v ) = cos x et sin( u , v ) = sin x.
Exemple 5
# » # »
π
ABC est un triangle rectangle en A, tel que (CB, CA) =
(2π).
3
√
Ä
ä
# » # »
# » # »
# » # »
3
π
1
π
π
On a cos(CB, CA) = cos = , sin(AB, AC) = sin −
.
= −1 et cos(CB, BC) = cos =
3
2
2
6
2
Cosinus et sinus d’angles associé
On dit que deux angles sont associés lorsqu’ils admettent des cosinus ou des sinus égaux ou opposés.
7 - Lycée Pierre-Gilles de Gennes
Première S
Chapitre 6 - Trigonométrie
Propriété 9
Pour tout réel x :
(1) cos(−x) = cos(x) et sin(−x) = − sin(x)
ã
Å
ã
(4) cos
Å
π
π
+ x = − sin(x) et sin
+ x = cos(x)
2
2
(5) cos
Å
π
π
− x = sin(x) et sin
− x = cos(x)
2
2
(2) cos(π + x) = − cos(x) et sin(π + x) = − sin(x)
(3) cos(π − x) = − cos(x) et sin(π − x) = sin(x)
Exemples
6
Ä
1
πä
π
2π
= cos π −
= − cos = − ;
3
3
3
2
√
Ä
5π
2
πä
π
• sin
= sin π +
;
= − sin = −
4
4
4
2
√
Ä
Ä πä
80π − π
πä
π
2
79π
.
= cos
= cos 20π −
= cos −
= cos =
• cos
4
4
4
4
4
2
• cos
Équations du type cos(x) = cos(a) et sin(x) = sin(a)
8 - Lycée Pierre-Gilles de Gennes
ã
Å
ã
Première S
Chapitre 6 - Trigonométrie
Propriété 10
Soit a un réel fixé.
(1) Les solutions de l’équation cos x = cos a sont les réels
a + k × 2π et −a + k × 2π où k ∈ Z.
(2) Les solutions de l’équation sin x = sin a sont les réels
a + k × 2π et π − a + k × 2π où k ∈ Z.
Exemples 7
√
2
1
1. Résoudre dans R les équations cos(x) = et sin(x) = −
.
2
2
2. En déduire les solutions de ces équations dans [0; 2π[ puis dans ] − π; π].
3. Résoudre dans R, puis dans [0; 2π[ l’équation cos(x) = sin(x).
√
Ä
3
πä
4. Résoudre sur ] − π; π] l’équation sin 2x −
.
=−
4
2
9 - Lycée Pierre-Gilles de Gennes