Trigonométrie - Lycée Pierre Gilles de Gennes

Chapitre
6
Trigonométrie
CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES
Trigonométrie
Cercle trigonométrique.
Radian.
Mesure d’un angle orienté, mesure princi-
pale.
•Utiliser le cercle trigonométrique, notam-
ment pour :
- déterminer les cosinus et sinus d’angles
associés ;
- résoudre dans Rles équations d’inconnue
x:cos x= cos aet sin x= sin a.
L’étude des fonctions cosinus et sinus n’est
pas un attendu du programme.
1

Première S Chapitre 6 - Trigonométrie
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Table des matières
6 Trigonométrie 1
I - Rappels : le cercle trigonométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
II - Mesure des angles orientés de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
III - Propriétés des angles orientés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
IV - Cosinus et sinus d’angles orientés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3

Première S Chapitre 6 - Trigonométrie
Dans tout le chapitre, (O;#» ı , #» )ou (O;I, J)est un repère orthonormé du plan.
I - Rappels : le cercle trigonométrique
Définition 1
On appelle cercle trigonométrique le cercle de centre Oet de rayon 1. Ce cercle est orienté dans le sens
direct (sans contraire des aiguilles d’une montrer), c’est le sens trigonométrique.
On dit alors que le plan est orienté.
Propriété 1
Tout point Nd’abscisse xde la droite des réels vient se superposer
à un point Mdu cercle trigonométrique et on associe ainsi à tout
réel xun unique point Mdu cercle trigonométrique.
Exemple 1
•le point Iest l’image des réels 0,2π,4π,... et −2π,−4π,...
•le point Jest l’image des réels π
2,5π 2,−3π 2...
•les réels π
3,7π 3et −5π 3sont associés au même point, en effet : 7π 3−π 3= 2π
et −5π
3−π 3=−2π.
Propriété 2
Si xest un réel et Mson point associé sur le cercle trigonométrique
alors Mest associé à tous les réels de la forme :
x+k×2πavec k∈Z.
Exemple 2
Le réel π
2−3×2π=π 2−12π 2=−11π 2est aussi associé au point J.
Définition 2
Soit Mun point du cercle trigonométrique.
La longueur de l’arc de cercle ¯ IM étant proportionnelle à l’angle
géométrique ÷ IOM, cette longueur est appelée mesure en radian
de l’angle géométrique ÷ IOM.
Remarque :
Degrés 0 30 45 60 90 180 360
Radians 0π
6
π
4
π
3
π
2π2π
Un angle de 1 radian mesure environ 57,3◦: 1 rad =180
π≃180 3= 60.
Définition 3
Soit Mun point du cercle, on appelle mesure en radian de l’angle orienté (
# »
OI,
# »
OM)tout nombre réel x
associé à M.
Exemple 3
π
2est une mesure de l’angle orienté (# »
OI,
# »
OJ ), dans ce cas on dit que le repère (O;I, J)est direct.
−11π
2est une autre mesure de (# »
OI,
# »
OJ ).
Remarque : On écrira que (
# »
OI,
# »
OJ) = π
2(2π)(se lit «modulo 2π») pour dire que π 2est une mesure en radian
de cet angle orienté.
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Première S Chapitre 6 - Trigonométrie
II - Mesure des angles orientés de vecteurs
Définition 4
Soit Eet Fdeux points du cercle trigonométrique.
On note xun réel associé à Eet yun réel associé à x.
On dit que le réel y−xest une mesure de l’angle orienté (
# »
OE,
# »
OF ).
#»
u
#»
v
y−x
O
I
J
E(x)
F(y)
Définition 5
Soit #» uet #» vdeux vecteurs non nul du plan.
Il existe deux points Eet Fdu cercle trigonométrique tels que #» uet
# »
OE soient colinéaires de même sens et
#»
vet
# »
OF également.
On dit que le réel y−xest une mesure de l’angle orienté (#» u , #» v).
Propriété 3
Si αest une mesure de l’angle orienté (#» u , #» v)alors les autres mesures de cet angle orienté sont les réels
α+K×2πavec K∈Z.
On écrit alors : (#» u , #» v) = α+K×2π, K ∈Zou (#» u , #» v) = α(2π).
Démonstration
Soit xet x′deux réels associés à E,yet y′deux réels associés à F. D’après la propriété 2, x′=x+k×2πet y′=y+k′×2π,
ainsi y′−x′=y−x+ (k′−k)×2π.
Propriété 4
L’angle orienté (#» u , #» v)possède une unique mesure α∈]−π;π].
Cette mesure est appelée la mesure principale de l’angle orienté (#» u , #» v).
Démonstration
Les mesures de l’angle orienté #» u , #» v)sont de la forme x+k×2π.
L’intervalle i−x
2π−1 2;−x 2π+1 2iest d’amplitude 1car −x 2π+1 2−−x 2π−1 2= 1. Il existe donc un unique nombre entier
relatif k1contenu dans cet intervalle, et on a :
−x
2π−1 2< k16−x 2π+1 2
⇔−x−2π
2π< k16−x−2π 2π
⇔ −x−π < k1×2π6−x+π
⇔ −π < x +k1×2π6π
Le nombre α=x+k1×2πest l’unique mesure de l’angle (#» u , #» v)contenue dans l’intervalle ]−π;π].
Exemple 4
ABCD est un carré direct, on a (# » IB,
# »
IC) = π
2=−3π 2(2π).π 2est la mesure principale de (# »
IB,
# »
IC).
(# » CD,
# »
ID) = ( # » BA,
# »
BI) = −π
4(2π).
AB
C
D
I
Remarques :
•(#» u , #» u) = 0 (2π)et (#» u , −#» u) = π(2π).
•Un angle orienté de mesure 2013π
3a pour mesure principale πcar 2013 = 335 ×6 + 3, ainsi 2013π 3=
335 ×6π+ 3π
3= 335 ×2π+π.
•Un angle orienté de mesure −2013π
5a pour mesure principale −3π 5car −2013 = 201 ×10π−3π, ains
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