E.P. 2

Universit´e Galatasaray, D´epartement de Math´ematiques
2013 - Premier Semestre – Math 115 - Fondements de Math´ematiques
Examen Partiel 2, 20 d´ecembre 2013 – Ayberk Zeytin
120 mins. Nom & Pr´enom:
Question: 1 2 3 4 Total
Points: 6 20 10 24 60
Score:
Question 1 (6 points)
Trouver un entier xtel que 37x ≡1mod 101.

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2013 - Premier Semestre – Math 115 - Fondements de Math´ematiques
Examen Partiel 2, 20 d´ecembre 2013 – Ayberk Zeytin
120 mins. Nom & Pr´enom:
Question 2 (20 points)
Vrai ou faux? Si vrai donner une d´emonstration, si faux donner un contre-exemple.
(a) (5 points) Si pest un nombre premier et p|(a2+b2)et p|(b2+c2)alors p|(a2−c2).
(b) (5 points) Si pest un nombre premier et p|(a2+b2)et p|(b2+c2)alors p|(a2+c2).
(c) (5 points) Si (a, b) = 1alors (a2, ab, b2) = 1.
(d) (5 points) Soit pun nombre premier. Si ak≡bk(mod p)alors a≡b(mod p).

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Examen Partiel 2, 20 d´ecembre 2013 – Ayberk Zeytin
120 mins. Nom & Pr´enom:
Question 3 (10 points)
´
Etant donn´e un entier naturel non consid´ere la relation binaire Rnd´efinie sur Zpar:
a∼Rnb:⇔n|(a−b).
(a) (5 points) Montrer que Rest une relation d’´equivalence
(b) (5 points) Pour n=5expliciter l’ensemble des classes d’´equivalence de R.

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Examen Partiel 2, 20 d´ecembre 2013 – Ayberk Zeytin
120 mins. Nom & Pr´enom:
Question 4 (24 points)
Soit n∈Net soit Fn=22n+1.
(a) (8 points) Montrer que pour tout k∈N:
Fn+k−2=22n+k−1= (22n−1)
k−1
Y
i=0
(22n+1+1)=(Fn−2)
k−1
Y
i=0
Fn+i.
(b) (8 points) Montrer que pour tout n6=mles entiers Fnet Fmsont premiers entre eux,
c’est-`a-dire (Fn, Fm) = 1pour n6=m.(Indication: Utiliser (a).)

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Examen Partiel 2, 20 d´ecembre 2013 – Ayberk Zeytin
120 mins. Nom & Pr´enom:
(c) (8 points) D´eduire qu’il y a une infinit´e de nombres premiers en utilisant (b).