Les nombres complexes (2) 1 Argument d`un nombre complexe. 2

Chapitre 5
Les nombres complexes (2)
1 Argument d’un nombre complexe.
Un point M peut être repéré dans le plan muni d’un repère orthonormé direct (O;−→ u,−→ v) de deux façons : par ses coordonnées
cartésiennes xet you par ses coordonnées polaires notées ret θoù r=OM et θ=(−→ u,−−→ OM) si M est distinct de O.
Définition
Soit zun nombre complexe non nul et M le point d’affixe zdans le plan muni d’un repère orthonormé direct (O;−→ u,−→ v).
On appelle argument de z, noté arg(z), une mesure de l’angle orienté de vecteurs (−→ u;−−→ OM).
Remarques :
•0 n’a pas d’argument.
•Tout point M est repéré dans le plan complexe par son affixe z=x+i y, et lorsque M est différent de O, par ses coordon-
nées polaires |z|et arg(z).
2 Ecriture trigonométrique
Théorème :
Soit zun nombre complexe non nul d’écriture algébrique z=a+i b et θun argument de z. Alors : a= |z|cosθet b=
|z|sinθ.
On a alors z=|z|(cosθ+isin θ).
~u
~v
M(z=a+ib)
a
b
θ= arg(z)
r=|z|=OM
En effet, zest un nombre complexe non nul et M le point d’affixe zdans le plan complexe.
On sait que OM =|z|.
Donc on a bien a=|z|cos θet b=|z|sinθ.

Définition
Soit zun nombre complexe non nul.
L’écriture z=|z|(cos θ+isinθ), où θdésigne un argument de zest appelée écriture trigonométrique ou forme trigono-
métrique de z.
Remarque :
Soit zun nombre complexe non nul.
– Si on connaît une écriture trigonométrique de z,z=r(cosθ+isinθ) (r>0), alors on obtient son écriture algébrique a+i b
en écrivant :
a=rcosθet b=rsinθ.
– Si on connaît l’écriture algébrique de z,z=a+i b, alors on obtient son écriture trigonométrique
z=r(cosθ+isinθ) en écrivant :
r=pa2+b2, cosθ=a
pa2+b2, sinθ=b pa2+b2.
Exercice :
•On pose z1=p3+i. Trouver la forme trigonométrique de z1.
•z2est le complexe de module 3 et d’argument −
π
4. Quelle est la forme algébrique de z2?
Propriétés
Soit zun nombre complexe.
•zest un réel non nul si, et seulement si, arg(z)=0+kπ(k∈Z).
•zest un réel strictement positif si, et seulement si, arg(z)=0+2kπ(k∈Z).
•zest un réel strictement négatif si, et seulement si, arg(z)=π+2kπ(k∈Z).
•zest un imaginaire pur si, et seulement si, arg(z)=
π
2+kπ(k∈Z).
Théorème : Egalité de complexes écrits sous forme trigonométrique
Si z=r(cosθ+isinθ) et z′=r′(cosθ′+isinθ′) sont égaux, alors puisqu’ils sont associés au même point, on a r=r′et
θ=θ′+2kπ(k∈Z).
z=z′équivaut à r=r′et θ=θ′(mod 2π).
Remarque :
Si z=r(cosθ+isinθ) avec r>0, alors |z|=ret arg(z)=θmod 2π.

3 Propriété des arguments.
3.1 Premières propriétés.
•arg( ¯ z)=−arg(z) mod 2π•arg(−z)=π+arg(z) mod 2π
3.2 Argument d’un produit
Théorème :
Quels que soient les nombres complexes non nuls zet z’ :
arg(zz′)=arg(z)+arg(z′) mod 2π
Démonstration :
Exemple :
z=2hcos³π
5´+isin³π 5´iet z′=p3hcos³−
π
4´+isin³−
π
4´i.
|zz′|=2×p3 et arg(zz′)=
π
5−
π
4mod 2π=−
π
20 mod 2π, d’où zz′=2p3hcos³−
π
20 ´+isin³−
π
20 ´i.
Conséquences :
On peut alors Démontrer que |zn|=|z|net arg(zn)=narg(z) mod 2π.
Formule De Moivre : Pour tout entier net tout nombre réel θ, (cosθ+isinθ)n=cos(nθ)+isin(nθ).
Exercice :
Donner la forme algébrique du nombre z=(1 −ip3)5.

3.3 Argument d’un quotient
Théorème :
Quels que soient les nombres complexes non nuls zet z′:
arg³z
z′´=arg(z)−arg(z′) mod 2π
En effet, en posant Z =z
z′, on obtient Zz′=z, ce qui donne |Zz′| =|Z||z′| =|z|et |Z|= |z| |z′|
et arg(Zz′)=arg(Z) +arg(z′) mod 2π=arg(z) mod 2π, d’où arg(Z) =arg(z)−arg(z′) mod 2π.
Conséquences :
Si zest non nul, ¯¯¯¯
1
z¯¯¯¯=1 |z|et argµ1 z¶=−arg(z) mod 2π.
Exercice :
•Donner la forme trigonométrique du nombre Z =(1 +i)4
(p3+i)3.
•Ecrire sous forme trigonométrique les nombres complexes z1=p3−i,z2=1−iet Z =z1
z2
.
Ecrire Z sous forme algébrique, en déduire les valeurs exactes de cos π
12 et sin π 12 .
4 Interprétations géométriques
•Soit −→ AB un vecteur et M le point tel que −−→ OM =−→ AB.
On a zM=z−→
AB =zB−zA, donc |zM|=| zB−zA|.
De plus, ar g (zM)=ar g (zB−zA)=(~ u;−−→ OM) =(~ u;−→ AB).
Ainsi, AB =| zB−zA|et (~ u;−→ AB) =ar g (zB−zA) .
•Soit A, B, C et D tels que A 6=B et C 6=D. Alors CD
AB =¯¯¯¯¯
zD−zC
zB−zA¯¯¯¯¯
.
(−→ AB ; −−→ CD) =(−→ AB ; ~ u)+(~ u;−−→ CD) =(~ u;−−→ CD) −(~ u;−→ AB) =ar g (zD−zC)−ar g (zB−zA)=ar g ÃzD−zC
zB−zA!.
Ainsi, (−→ AB ; −−→ CD) =ar g ÃzD−zC
zB−zA!.

5 Applications
•ABCD est un parallélogramme ⇐⇒−→ AB =−−→ DC ⇐⇒ zB−zA=zC−zD.
•ABC est isocèle en A ⇐⇒AB =AC ⇐⇒|zB−zA| =|zC−zA|.
•Soit ∆la médiatrice de [AB] : M(z)∈∆⇐⇒ AM =BM ⇐⇒|z−zA|= |z−zB|.
•Soit Cle cercle de centre A et de rayon r: M ∈C⇐⇒ |z−zA|= r.
•(AB)//(CD) ⇐⇒(−→ AB ; −−→ CD) =0 (mod π)⇐⇒ ar g ÃzD−zC
zB−zA!=0 (mod π)⇐⇒
zD−zC
zB−zA∈R∗.
Autrement dit, ~ u(z) et ~ u′(z′) sont colinéaires non nuls ⇐⇒ z
z′∈R∗.
•A, B et C sont alignés ⇐⇒(−→ AB ; −→ AC) =0 (mod π)⇐⇒ ar g ÃzC−zA
zB−zA!=0 (mod π)⇐⇒
zC−zA
zB−zA∈R∗.
•(AB)⊥(CD) ⇐⇒(−→ AB ; −−→ CD) =
π
2(mod π)⇐⇒ ar g ÃzD−zC zB−zA!=
π
2(mod π)⇐⇒
zD−zC
zB−zA
est un imaginaire pur non nul.
Autrement dit, ~ u(z) et ~ u′(z′) sont orthogonaux non nuls ⇐⇒ z
z′est un imaginaire pur non nul.
•ABC rectangle en A ⇐⇒(−→ AB ; −→ AC) =
π
2(mod π)⇐⇒ ar g ÃzC−zA zB−zA!=
π
2(mod π)⇐⇒
zC−zA
zB−zA
est un imaginaire pur.
•ABC rectangle isocèle en A ⇐⇒ ar g ÃzC−zA
zB−zA!=
π
2(mod π) et ¯¯¯¯¯
zC−zA
zB−zA¯¯¯¯¯=1.
•ABC est équilatéral ⇐⇒ ar g ÃzC−zA
zB−zA!=
π
3ou −
π
3(mod 2π) et ¯¯¯¯¯
zC−zA
zB−zA¯¯¯¯¯=1.
6 La forme exponentielle
6.1 Définition
Posons f(θ)=cosθ+isin θ(θ∈R). On a démontré que f(θ+θ′)=f(θ)f(θ′).
La fonction fest donc une solution (complexe) de l’équation fonctionnelle f(a+b)=f(a)f(b).
Or, on sait que les solutions de cette équation fonctionnelle sont solutions des équations différentielles y′=ay.
Si on prolonge aux complexes les propriétés de la dérivation, on vérifie que f′(θ)=i f (θ).
D’où f(θ)=f(0)eiθ=eiθ.
Cette constatation rend parfaitement légitime la notation suivante :
Pour tout réel θ, on pose eiθ=cosθ+isinθ.
Cette forme est la forme exponentielle de z.
eiθdésigne donc le nombre complexe de module 1 et d’argument θ:|eiθ|= 1 et ar g (eiθ)=θ[2π]
Exemples :
ei0=1, ei
π
2=i,eiπ=−1ei2π=1, e−i
π
2=−i.
Un nombre complexe zde module ret d’argument θs’écrit z=r eiθ.
Remarque :
Le conjugué de eiθest e−iθ.