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PROBABILITES 2 : Répétition d'expériences identiques et indépendantes .
1) Représentation par un arbre d'une répétition d'expériences identiques et indépendantes
Dans le cas d'une répétition d'expériences identiques et indépendantes représentée par un
arbre pondéré.
On convient que :
- la probabilité d'un événement correspondant à un chemin sur l'arbre est égale au produit
des probabilités portées par ses branches .
- les événements correspondants à chaque chemin étant incompatibles , la probabilité d'un
événement correspondant à plusieurs chemins est égale à la somme des probabilités des
événements correspondants à chaque chemin .
Exemple 1: une urne contient deux boules rouges , deux boules jaunes et une boule bleue . On tire
deux boules successivement et avec remise .
Déterminer la probabilité de l'événement A :« 'obtenir deux boules rouges et celle de l'événement
C : « obtenir une boule rouge et une boule bleue « .
2 2
4
2 1
1 2
4
p ( A)=( )( )=
et p (C )=( )( )+( )( )=
.
5 5 25
5 5
5 5 25
2) La loi de Bernoulli
On considère une expérience aléatoire à deux issues le succès S avec une probabilité p(S)=p
et l'échec E=S avec une probabilité 1-p;
C'est un schéma de BERNOULLI .
Soit la variable aléatoire X qui prend la valeur 1 en cas de succès et la valeur 0 en cas
d'échec .
On a : P ( X =0)=1− p et p( X =1)= p
Cette variable aléatoire suit la loi de Bernoulli de paramètre p .
Espérance de la loi de Bernoulli :
Variance de la loi de Bernoulli :
E ( X )= p
V ( X )= p− p 2= p (1− p)
Ecart type de la loi de Bernoulli : σ( X ) =
√ p− p2
=
√ p (1− p)
exemple 2 : une variable aléatoire X suit la loi de Bernoulli de paramètre
1
.
3
2
1
et P ( X =1)= .
3
3
1
2
√2 .
Son espérance est
; sa variance est
; son écart type est
3
9
3
Exemple 3 : une urne contient 2 boules vertes et 3 boules rouges ; on tire au hasard une boule; si
elle est verte on gagne 1 point , si elle est rouge on a 0 point .X est la variable aléatoire
correspondant au nombre de point obtenu à l'issue de ce tirage .
2
X suit la loi de Bernoulli de paramètre
.
5
2
3
On a : P ( X =0)= et P ( X =1)= .
5
5
Sa loi est :
P ( X =0)=
Son espérance est
2
6
; sa variance est
; son écart type est
5
25
√6 .
5
3) Schéma de Bernoulli
a) cas n= 2
On répète 2 fois successivement et de manière indépendante la même expérience aléatoire
qui suit la loi de Bernoulli à deux issues : S (succès) avec une probabilité p et S
( échec ) avec une probabilité 1− p .
Arbre représentant ce schéma de 2 épreuves de Bernoulli de paramètre p.
X est la variable aléatoire correspondant au nombre de succès obtenus .
On remarque que : p ( X =0 ) =( 1− p ) 2
(une liste contenant 0 succès donc 2 échecs successifs)
p ( X =1 ) =2 p ( 1− p ) ( 2 listes contenant 1 succès et 1 échec) .
p ( X =2 ) = p 2
(une liste contenant 2 succès) .
C'est une loi binomiale de paramètres 2 et p .
k
p(X=k)
0
2
( 1− p )
1
2
2 p ( 1− p )
p2
E ( X ) =0 ( 1− p ) 2+1 ( 2 p ( 1− p ) ) +2 ( p 2)=0+2 p−2 p 2+2 p 2=2 p Et
V ( X )=02 (1− p ) 2+12 ( 2 p ( 1− p ) ) +2 2 ( p 2 )−( E ( X ) ) 2=2 p ( 1− p )
Exemple 3:
On lance successivement de manière indépendante deux dés identiques ; on dénombre le nombre de
fois où le « 6 » est sorti .
On répète 2 fois successivement et de manière indépendante la même expérience aléatoire
qui suit la loi de Bernoulli à deux issues où le succès est d'obtenir « 6 » avec une probabilité
1
5
p= et l' échec est de ne pas obtenir « 6 » avec une probabilité 1− p= . X la
6
6
variable aléatoire correspondant au nombre de succès obtenus suit la loi binomiale de
1
paramètres 2 et
.
6
Loi de X :
k
0
1
2
p(X=k)
E ( X )=2(1/6)=
5 2 25
=
6
36
()
2
1 5 10 5
= =
6 6
36 18
()
1 2 1
=
6
36
()
1
5
Et V ( X )=2(1 /6)( 5/6)=
3
18
b) Cas n=3
On répète 3 fois successivement et de manière indépendante la même expérience aléatoire
qui suit la loi de Bernoulli à deux issues : S (succès) avec une probabilité p et S
( échec ) avec une probabilité 1− p .
Arbre représentant ce schéma de 3 épreuves de Bernoulli de paramètre p.
X est la variable aléatoire correspondant au nombre de succès obtenus .
On remarque que : p ( X =0 ) =( 1− p ) 3
(une liste contenant 0 succès donc 3 échecs successifs)
2
(
)
(
)
( 3 listes contenant 1 succès et 2 échecs) .
p X =1 =3 p 1− p
2
p ( X =1 ) =3 p ( 1− p ) ( 3 listes contenant 2succès et 1 échecs) .
p ( X =2 ) = p 2
(une liste contenant 3succès) .
C'est une loi binomiale de paramètres 3 et p .
k
0
1
2
3
p(X=k)
( 1− p )3
3 p ( 1− p )2
3 p2 ( 1− p )
p3
E ( X ) =0 ( 1− p ) 3+1 ( 3 p ( 1− p )2 )+2 ( 3 p2 ( 1− p ) )+3 p3
E ( X ) =3 p−6 p2−3 p 3+6 p 2−6 p3+3 p 3=3 p
V ( X )=02 ( 1− p ) 3+1 2 ( 3 p ( 1− p ) 2 )+22 ( 3 p 2 ( 1− p ) ) +32 p 3−( E ( X ) 2)=3p ( 1− p )
Exemple 5: Une urne contient 2 boules vertes et 3 boules rouges . On tire successivement et avec
remise 3 boules de l'urne . Soit X la variable aléatoire correspondant au nombre de boules vertes
tirées .
2
Chaque tirage d'une boule suit une loi de Bernoulli de paramètre
correspondant à la
5
probabilité d'obtenir une boule verte (succès). Cette expérience aléatoire est répétée 3 fois de
manière successive et indépendante car le tirage est successif et avec remise .
2
On en déduit que X suit la loi binomiale de paramètres n=3 et p= .
5
La loi de X est :
k
0
p(X=k)
3 3 27
=
5
125
E ( X ) =3 ( 2/5 )=
()
1
3
3
5
2
2
54
=
5 125
( )( )
2
3
3
5
2 2 36
=
5
125
( )( )
3
2 3 8
=
5
125
()
6
18
et V ( X )=3( 2/5)(3 /5)=
5
25
Question : Quelle est la probabilité d'obtenir au plus deux boules vertes dans ce tirage ?
Cet événement est le contraire d'obtenir 3 boules vertes donc sa probabilité est :
8
117
p ( X ≤2 ) =1−P ( X =3 )=1−
=
125 125