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PROBABILITES 2 : Répétition d'expériences identiques et indépendantes .
1) Représentation par un arbre d'une répétition d'expériences identiques et indépendantes
Dans le cas d'une répétition d'expériences identiques et indépendantes représentée par un
arbre pondéré.
On convient que :
- la probabilité d'un événement correspondant à un chemin sur l'arbre est égale au produit
des probabilités portées par ses branches .
- les événements correspondants à chaque chemin étant incompatibles , la probabilité d'un
événement correspondant à plusieurs chemins est égale à la somme des probabilités des
événements correspondants à chaque chemin .
Exemple 1: une urne contient deux boules rouges , deux boules jaunes et une boule bleue . On tire
deux boules successivement et avec remise .
Déterminer la probabilité de l'événement A :« 'obtenir deux boules rouges et celle de l'événement
C : « obtenir une boule rouge et une boule bleue « .
p(A)=( 2
5)( 2 5)= 4 25
et
p(C)=( 2
5)(1 5)+( 1 5)( 2 5)= 4 25
.

2) La loi de Bernoulli
On considère une expérience aléatoire à deux issues le succès S avec une probabilité p(S)=p
et l'échec
E=S
avec une probabilité 1-p;
C'est un schéma de BERNOULLI .
Soit la variable aléatoire X qui prend la valeur 1 en cas de succès et la valeur 0 en cas
d'échec .
On a :
P(X=0)=1−p
et
p(X=1)= p
Cette variable aléatoire suit la loi de Bernoulli de paramètre
p
.
Espérance de la loi de Bernoulli :
E(X)= p
Variance de la loi de Bernoulli :
V(X)= p−p2=p(1−p)
Ecart type de la loi de Bernoulli :
σ( X)
=
√
p−p2
=
√
p(1−p)
exemple 2 : une variable aléatoire X suit la loi de Bernoulli de paramètre
1
3
.
Sa loi est :
P(X=0)= 2
3
et
P(X=1)= 1
3
.
Son espérance est
1
3
; sa variance est
2
9
; son écart type est
√
2
3
.
Exemple 3 : une urne contient 2 boules vertes et 3 boules rouges ; on tire au hasard une boule; si
elle est verte on gagne 1 point , si elle est rouge on a 0 point .X est la variable aléatoire
correspondant au nombre de point obtenu à l'issue de ce tirage .
X suit la loi de Bernoulli de paramètre
2
5
.
On a :
P(X=0)= 2
5
et
P(X=1)= 3
5
.
Son espérance est
2
5
; sa variance est
6
25
; son écart type est
√
6
5
.

3) Schéma de Bernoulli
a) cas n= 2
On répète
2
fois successivement et de manière indépendante la même expérience aléatoire
qui suit la loi de Bernoulli à deux issues : S (succès) avec une probabilité
p
et
S
( échec ) avec une probabilité
1−p
.
Arbre représentant ce schéma de 2 épreuves de Bernoulli de paramètre p.
X est la variable aléatoire correspondant au nombre de succès obtenus .
On remarque que :
p
(
X=0
)
=
(
1−p
)
2
(une liste contenant 0 succès donc 2 échecs successifs)
p ( X=1 ) =2p ( 1−p )
( 2 listes contenant 1 succès et 1 échec) .
p ( X=2 ) =p2
(une liste contenant 2 succès) .
C'est une loi binomiale de paramètres 2 et p .
k 0 1 2
p(X=k)
(
1−p
)
2
2p ( 1−p )
p2
E
(
X
)
=0
(
1−p
)
2+1
(
2p
(
1−p
) )
+2
(
p2
)
=0+2p−2p2+2p2=2p
Et
V
(
X
)
=02
(
1−p
)
2+12
(
2p
(
1−p
) )
+22
(
p2
)
−
(
E
(
X
) )
2=2p
(
1−p
)

Exemple 3:
On lance successivement de manière indépendante deux dés identiques ; on dénombre le nombre de
fois où le « 6 » est sorti .
On répète
2
fois successivement et de manière indépendante la même expérience aléatoire
qui suit la loi de Bernoulli à deux issues où le succès est d'obtenir « 6 » avec une probabilité
p=1
6
et l' échec est de ne pas obtenir « 6 » avec une probabilité
1−p=5
6
. X la
variable aléatoire correspondant au nombre de succès obtenus suit la loi binomiale de
paramètres 2 et
1
6
.
Loi de X :
k 0 1 2
p(X=k)
(
5
6
)
2=25
36
21
6
(
5
6
)
=10
36 =5 18
(
1
6
)
2=1
36
E(X)=2(1/6)= 1
3
Et
V(X)=2(1/6)(5/6)= 5
18
b) Cas n=3
On répète
3
fois successivement et de manière indépendante la même expérience aléatoire
qui suit la loi de Bernoulli à deux issues : S (succès) avec une probabilité
p
et
S
( échec ) avec une probabilité
1−p
.
Arbre représentant ce schéma de 3 épreuves de Bernoulli de paramètre p.

X est la variable aléatoire correspondant au nombre de succès obtenus .
On remarque que :
p
(
X=0
)
=
(
1−p
)
3
(une liste contenant 0 succès donc 3 échecs successifs)
p
(
X=1
)
=3p
(
1−p
)
2
( 3 listes contenant 1 succès et 2 échecs) .
p ( X=1 ) =3p2 ( 1−p )
( 3 listes contenant 2succès et 1 échecs) .
p ( X=2 ) =p2
(une liste contenant 3succès) .
C'est une loi binomiale de paramètres 3 et p .
k 0 1 2 3
p(X=k)
(
1−p
)
3
3p
(
1−p
)
2
3p2 ( 1−p )
p3
E
(
X
)
=0
(
1−p
)
3+1
(
3p
(
1−p
)
2
)
+2
(
3p2
(
1−p
) )
+3p3
E ( X ) =3p−6p2−3p3+6p2−6p3+3p3=3p
V
(
X
)
=02
(
1−p
)
3+12
(
3p
(
1−p
)
2
)
+22
(
3p2
(
1−p
) )
+32p3−
(
E
(
X
)
2
)
=3p
(
1−p
)
Exemple 5: Une urne contient 2 boules vertes et 3 boules rouges . On tire successivement et avec
remise 3 boules de l'urne . Soit X la variable aléatoire correspondant au nombre de boules vertes
tirées .
Chaque tirage d'une boule suit une loi de Bernoulli de paramètre
2
5
correspondant à la
probabilité d'obtenir une boule verte (succès). Cette expérience aléatoire est répétée 3 fois de
manière successive et indépendante car le tirage est successif et avec remise .
On en déduit que X suit la loi binomiale de paramètres n=3 et
p=2
5
.
La loi de X est :
k 0 1 2 3
p(X=k)
(
3
5
)
3=27
125
3
(
3
5
)
2
(
2
5
)
=54
125
3
(
3
5
)(
2
5
)
2=36
125
(
2
5
)
3=8
125
E ( X ) =3 ( 2/5 ) =6
5
et
V(X)=3(2/5)(3/5)=18
25
Question : Quelle est la probabilité d'obtenir au plus deux boules vertes dans ce tirage ?
Cet événement est le contraire d'obtenir 3 boules vertes donc sa probabilité est :
p ( X≤2 ) =1−P ( X=3 ) =1−8
125 =117 125