1 Introduction sur les suites numériques

ISEL - Année 1
Mathématiques
SUITES NUMERIQUES
1
Introduction sur les suites numériques
1.1 Dénition
Dénition 1 On appelle suite réelle toute application U d'une partie A de IN dans IR.
U:
A
n
→ IR
avec A ⊂ IN . L'image de n par la suite U est noté Un .
7→ Un
Exemple: La suite U qui à chaque entier n associe 2n , U : n 7→ 2n , est une suite réelle. Sa représentation
graphique est
×
9
×
4
1×
×
0
1
2
3
Dénition 2 La suite U est notée (Un )n∈A ou (Un ) et Un est un terme de la suite. On dit que la suite
(Un ) a pour terme général Un pour n ∈ A.
Exemples: Soit la suite précédente: U0 = 20 = 1 est le 1er terme, Uk = 2k est le (k + 1)e terme
(ou terme de rang k + 1).
Soit la suite (Vn )n≥1 ayant pour terme général Vn = n1 . Son 1er terme est alors V1 = 1 et Vk = k1 est le
k e terme (ou terme de rang k ).
1.2 Variation d'une suite
Dénition 3 On dit que la suite numérique (Un ) est :
• croissante lorsque pour tout n ∈ A, Un+1 ≥ Un ;
• strictement croissante lorsque pour tout n ∈ A, Un+1 > Un ;
• décroissante lorsque pour tout n ∈ A, Un+1 ≤ Un ;
• strictement décroissante lorsque pour tout n ∈ A, Un+1 < Un ;
• monotone lorsque (Un ) est croissante ou décroissante;
• strictement monotone lorsque (Un ) est strictement croissante ou strictement décroissante;
• constante lorsque pour tout n ∈ A, Un+1 = Un ;
• stationnaire lorsque ∃n0 ∈ A, ∀n ∈ A, n ≥ n0 ⇒ Un = Un0 .
1
5
]) stationnaire
Exemples: (2n ) est croissante, ( n1 ) strictement décroissante, (E[4 + n+1
5
5
5
(en-eet: U0 = 9, U1 = 6, U2 = U3 = U4 = 5 et si n ≥ 5, n+1 < 6 < 1 donc ∀n ≥ 5, Un = E[4+ n+1
] = 4).
Méthodes pour étudier le sens de variation:
Etude du signe de (Un+1 − Un ).
Exemples: ( n1 )n>0 est strictement décroissante car
(n2 + n) est strictement croissante car
1
n+1
−
1
n
=
n−(n+1)
n(n+1)
=
−1
n(n+1)
< 0 ∀n ≥ 1,
((n + 1)2 + (n + 1)) − (n2 + n) = n2 + 2n + 1 + n + 1 − n2 − n = 2n + 2 = 2(n + 1) > 0 ∀n ≥ 0
à 1.
Si (Un ) est à termes strictement positifs, comparaison de UUn+1
n
2n+1
n
n
Exemples: (2 ) est strictement croissante car ∀n ≥ 0, 2 > 0 et 2n = 2 > 1,
n
n
2n+1 n!
2
( 2n! )n∈IN ∗ est décroissante car ∀n ≥ 1, 2n! > 0 et (n+1)!
2n = n+1 ≤ 1 car n + 1 ≥ 2
Si (Un ) est une suite du type Un = f (n) où f est une application réelle monotone, alors (Un )
a les mêmes variations que la fonction f .
Exemple: (n − ln n)n≥1
Posons f (x) = x − ln x pour x ∈ [1, +∞[. f est dérivable sur [1, +∞[ et f 0 (x) = 1 − x1 ≥ 0 car
x ≥ 1 ⇒ 0 < x1 ≤ 1 donc f croissante sur [1, +∞[ donc (n − ln n)n≥1 est croissante.
Remarque: ne pas confondre avec une suite dénie par Un+1 = f (Un ) où (Un ) et f peuvent
avoir des variations contraires.
Remarque: f peut être non monotone et (Un ) monotone.
Exemple: Un = f (n) avec f (x) = sin(2πx) pour x ∈ IR+ .
f est non monotone mais ∀n ∈ IN, Un = sin(2πn) = 0 donc (Un ) est constante.
Utilisation du principe de récurrence
.
√
Un+1 = 2Un + 1, ∀n
Exemple: Soit (Un ) dénie par
On montre que (Un ) est décroissante.
U0 = 3
Notre hypothèse de récurrence
est: (Hn ) U√n+1 −√Un ≤ 0 ∀n
√
Initialisation: U1 − U0 = 2 ∗ 3 + 1 − 3 = 7 − 9 ≤ 0 donc (H0 ) vraie.
√
√
p
p
√
√
2U
+1+ 2U +1
Hérédité: Un+2 − Un+1 = 2Un+1 + 1 − 2Un + 1 = ( 2Un+1 + 1 − 2Un + 1) √ n+1 √ n
≤0
=
(2Un+1 +1)−(2Un +1)
√
√
2Un+1 +1+ 2Un +1
car Hn vraie
2Un+1 +1+ 2Un +1
z }| {
U
Un )
n+1 − p
=p
≤ 0 donc (Hn+1 ) vraie.
2Un+1 + 1 + 2Un + 1
|
{z
}
2(
≥0
Conclusion: d'après le principe de récurrence, (Hn ) vraie pour tout entier n, d'où (Un ) décroissante.
1.3 Suites minorées, majorées, bornées
Dénition 4 La suite (Un ) est dite:
• majorée si et seulement si ∃M ∈ IR, ∀n ∈ A, Un ≤ M ;
• minorée si et seulement si ∃m ∈ IR, ∀n ∈ A, Un ≥ m;
• bornée si et seulement si ∃M ∈ IR+ , ∀n ∈ A, |Un | ≤ M (ssi elle est majorée et minorée).
2
Exemples: On peut montrer que
• (sin n) est bornée, en-eet ∀n ∈ IN, | sin n| ≤ 1;
• (n(−1)n ) n'est ni majorée, ni minorée.
Montrons par l'absurde que (n(−1)n ) n'est pas majorée.
Supposons que la suite est majorée, donc ∃M ∈ IR, ∀n ∈ IN, n(−1)n ≤ M
En particulier, c'est vrai pour les n pairs, n = 2k avec k ∈ IN , donc: (2k)(−1)2k = 2k ≤ M .
Absurde d'après la propriété d'Archimède, donc la suite n'est pas majorée.
On applique la même démarche pour montrer que la suite n'est pas minorée (on prend les n impairs).
• ( lnnn )n>0 est bornée.
Prenons la fonction f : x 7→ lnxx dénie sur [1, +∞[).
x
x
= 1−ln
f est dérivable sur [1, +∞[ et f 0 (x) = 1/x x−ln
x2
x2 .
1
On a f 0 (x) ≥ 0 ⇔ 1 ≥ ln x ⇔ e ≥ x, et f (1) = 0, f (e) e , lim
ln x
x→+∞ x
x
e
1
f 0 (x)
+
= 0 d'où le tableau de variation:
+∞
−
0
1
e
f (x)
0
donc ∀x ∈ [1, +∞[, 0 ≤ f (x) ≤
d'où ( lnnn )n>0 bornée.
• (Un ) dénie par
Un+1 =
U0 = 0
√
1
e
0
donc ∀n ∈ IN ∗ , 0 ≤ f (n) ≤
2Un + 35, ∀n
1
e
est bornée.
Montrons par récurrence que 0 ≤ Un ≤ 7 ∀n (notre hypothèse (Hn )).
Initialisation: U0 =√3 ∈ [0, 7] donc (H0 ) vraie.
Hérédité: Un+1 = 2Un + 35,
or Un ≥ 0 donc 2Un + 35 ≥ 0 donc Un+1√est bien déni et positif.
or Un ≤ 7 ⇒ 2Un + 35 ≤ 49 ⇒ Un+1 ≤ 49 ⇒ Un+1 ≤ 7
donc (Hn+1 ) vraie.
Conclusion: d'après le principe de récurrence, (Hn ) vraie pour tout entier n, d'où (Un ) bornée.
1.4 Opérations sur les suites
Dénition 5 Deux suites sont égales si et seulement si tous les termes sont égaux.
On appelle somme, resp. produit, de deux suites (Un ) et (Vn ) la suite de terme général Un + Vn , resp.
Un Vn .
Exemple: Un = n , Vn = 2n + 1 et Wn = ln(ch n + sh n).
Alors Un + Vn = 3n + 1 , Un Vn = n(2n + 1) et Un = Wn .
3
2
Convergence d'une suite réelle
2.1 Généralités
Dénition 6 Une suite (Un ) est convergente s'il existe ` ∈ IR tel que:
∀ε > 0, ∃N ∈ IN, ∀n > N : |Un − `| < ε
On dit que (Un ) converge vers ` et on écrit lim Un = ` ou Un → `.
n→∞
Une suite non convergente est dite divergente.
×
×
×
×
`+ε
`
`−ε
×
×
×
×
×
×
×
N
Exemples: ( n1 ) converge vers 0,
En-eet: ∀ε > 0, ∃Nε ∈ IN, ∀n > Nε , n1 < ε ⇔ n > 1ε Il sut de prendre Nε = E( 1ε ) + 1 > 1ε
((−1)n ) diverge.
Par l'absurde, ((−1)n ) converge vers ` ssi ∀ε > 0, ∃N ∈ IN, ∀n > N, |(−1)n − `| < ε.
Prenons ε = 21 et n pair, donc on a: |(−1)n − `| = |1 − `| < 21 et |(−1)n+1 − `| = | − 1 − `| < 21 .
Ainsi pour n > N , 2 = |1 − (−1)| = |(1 − `) − (−1 − `)| ≤ |1 − `| + | − 1 − `| < 1 Absurde!
Théorème 1 Soit (Un ) une suite convergente, alors sa limite est unique.
Preuve: Supposons que lim Un = a et lim Un = b. Montrons que a = b ⇔ ∀ε > 0, |a − b| < ε
n→∞
n→∞
Soit ε > 0, lim Un = a ⇔ ∃N1 ∈ IN, ∀n > N1 : |Un − a| < 2ε
n→∞
lim Un = b ⇔ ∃N2 ∈ IN, ∀n > N2 : |Un − b| <
n→∞
ε
2
Prenons N = max(N1 , N2 ) donc ∀n > N : |a − b| = |(a − Un ) + (Un − b)| ≤ |a − Un | + |Un − b| < ε
Proposition 1 Soient deux suites réelles (Un ) et (Vn ) convergentes telles qu'à partir d'un certain rang
Un ≤ Vn , alors lim Un ≤ lim Vn .
n→∞
Exemple: Soient Un =
n→∞
sin n
n
→ 0 et Vn =
1
n
+ 1 → 1. On a ∀n ∈ IN ∗ , Un ≤ Vn et lim Un ≤ lim Vn .
n→∞
n→∞
Remarque: "à partir d'un certain rang" on a la propriété P (n) s'écrit mathématiquement:
∃N ∈ IN, ∀n > N : P (n)
La nature d'une suite n'est pas modiée en modiant un nombre ni de termes.
Remarque: il est faux de dire que si à partir d'un certain rang Un < Vn alors lim Un < lim Vn
n→∞
n→∞
En revanche, Un < Vn ⇒ lim Un ≤ lim Vn .
n→∞
n→∞
Exemple: Soient Un = 0 et Vn = . On a ∀n ∈ IN ∗ , Un < Vn mais lim Un = lim Vn = 0.
1
n
n→∞
4
n→∞
Remarque: En prenant (Un ) ou (Vn ) stationnaire, on obtient:
Un ≤ M ⇒ lim Un ≤ M
n→∞
Vn ≥ m ⇒ lim Vn ≥ m
n→∞
Preuve: ∃N1 , ∀n > N1 , Un ≤ Vn ,
lim Un = a ⇔ ∀ε > 0, ∃N2 ∈ IN, ∀n > N2 , |Un − a| < ε donc Un > a − ε,
n→∞
lim Vn = b ⇔ ∀ε > 0, ∃N3 ∈ IN, ∀n > N3 , |Vn − b| < ε donc Vn < b + ε.
n→∞
Montrons que a ≤ b ⇔ ∀ε > 0, a < b + ε
Soit ε > 0, posons N = max(N1 , N2 , N3 ), alors ∀n > N , a < Un + ε ≤ Vn + ε < b + 2ε
Proposition 2 Toute suite convergente est bornée.
Exemple: ( √1n ) converge vers 0, ∀n ≥ 1, | √1n | ≤ 1 donc ( √1n ) est bornée.
Remarque: la réciproque est fausse.
Contre-exemple: ((−1)n )) est bornée mais non convergente.
Preuve: lim Un = ` ⇔ ∀ε > 0, ∃N ∈ IN, ∀n > N, |Un − `| < ε.
n→∞
Prenons ε = 1, donc ∀n > N , |Un − `| < 1.
Or |Un | = |Un − ` + `| ≤ |Un − `| + |`| donc ∀n > N , |Un | < 1 + |`|
Posons M = max{U0 , U1 , · · · , UN , 1 + |`|}, alors ∀n ∈ IN , |Un | ≤ M donc (Un ) bornée.
2.2 Théorèmes de convergence
Théorème 2 des gendarmes Soient trois suites (Un ), (Vn ) et (Wn ) telles qu'à partir d'un certain rang
Un ≤ Vn ≤ Wn . Si (Un ) et (Wn ) convergent vers la même limite ` alors (Vn ) converge vers cette même
limite.
Exemple: Soit (Vn ) telle que ∀n ≥ 1, 3 +
lim Vn = 3.
2
n
≤ Vn ≤ 3 n+1
n , alors d'après le thm des gendarmes,
n→+∞
Preuve: ∃N1 , ∀n > N1 , Un ≤ Vn ≤ Wn ,
lim Un = ` ⇔ ∀ε > 0, ∃N2 ∈ IN, ∀n > N2 , |Un − `| < ε donc Un > ` − ε,
n→∞
lim Wn = ` ⇔ ∀ε > 0, ∃N3 ∈ IN, ∀n > N3 , |Wn − `| < ε donc Wn < ` + ε.
Montrons que lim Vn = ` ⇔ ∀ε > 0, ∃N ∈ IN, ∀n > N, ` − ε < Vn < ` + ε
n→∞
n→+∞
Soit ε > 0, posons N = max(N1 , N2 , N3 ), alors ∀n > N , ` − ε < Un ≤ Vn ≤ Wn < ` + ε
Conséquence: Si |Vn | ≤ Un et lim Un = 0 alors lim Vn = 0.
n→+∞
Exemple:
( sinn n )
n→+∞
converge vers 0 car ∀n ∈ IN ,
∗
| sinn n |
≤
1
n
et
1
n
→ 0.
Théorème 3 de la limite monotone Si la suite (Un ) est croissante et majorée (resp. décroissante et
minorée) alors (Un ) est convergente et lim Un = sup{Un , n ∈ IN } (resp. inf{Un , n ∈ IN }).
n→+∞
5
Exemples:
• On pose U1 = 0.1, U2 = 0.12, U3 = 0.123, ... Un s'écrit 0. suivi de la juxtaposition des entiers
1, 2, · · · , n. On a (Un ) croissante et (Un ) majorée par 1, donc (Un ) convergente (sa limite est appelé
le nombre de Champernowne).
• Soit (Un ) une suite décroissante telle que ∀n ∈ IN ∗ , 1 − n1 ≤ Un ≤ 2 + n1 .
On a donc (Un ) décroissante et minorée par 0 (car ∀n ≥ 1, Un ≥ 1 − n1 ≥ 0) donc (Un ) converge
vers une limite ` qui vérie lim 1 − n1 ≤ ` ≤ lim 2 + n1 ⇒ 1 ≤ ` ≤ 2
n→+∞
n→+∞
n
P
• Soit (Un ) dénie pour n ≥ 1 par Un =
k=1
Un+1 − Un =
1
(n+1)!
1
k!
. On a:
> 0 donc (Un ) est strictement croissante.
k! = 1 ∗ 2 ∗ 3 ∗ · · · ∗ k ≥ 2k−1 d'où
1
k!
≤
1
2k−1
⇒ Un ≤
n
P
k=1
1
2k−1
On retrouve la somme d'une suite géométrique de raison 2 et de premier terme 1,
n
n
P
1 n
1
donc
= 1−(1/2)
1−1/2 = 2 (1 − ( ) ) ≤ 2
2k−1
k=1
|
donc (Un ) est majorée par 2.
{z2 }
≤1
Par conséquent, (Un ) converge vers une limite ` qui vérie ` ≤ 2.
Preuve: Soit A = {Un , n ∈ IN }, A est une partie de IR non
vide (car U0 ∈ A) et majorée (car (Un )
majorée), donc A admet une borne supérieur, sup A = ` ⇔
∀n ∈ IN, Un ≤ `
(1)
∀ε > 0, ∃n0 ∈ IN, Un0 > ` − ε (2)
D'après (1), Un ≤ ` < ` + ε pour tout ε > 0.
Comme (Un ) est croissante, c'est à dire n > n0 ⇒ Un ≥ Un0 , on a d'après (2), ∀n > n0 , Un > ` − ε
Ainsi ∀ε > 0, ∃n0 ∈ IN, ∀n > n0 , ` − ε < Un < ` + ε, d'où lim Un = `
n→+∞
Dénition 7 On dit qu'une suite (Un ) est une suite de Cauchy si elle vérie la propriété suivante,
appelée critère de Cauchy :
∀ε > 0, ∃N ∈ IN, ∀(p, q) ∈ IN 2 , p ≥ N et q ≥ N ⇒ |Up − Uq | < ε
Remarque: la condition |Up − Uq | < ε doit être réalisée pour tout couple (p, q) avec p, q ≥ N (ou
p ≥ q ≥ N ).
Exemples:
• La suite géométrique (k n ), pour 0 < k < 1, est une suite de Cauchy.
En eet, on a, pour p > q > 0, |kp − kq | = kq |kp−q − 1| < kq .
ln ε
ln ε
q
p
q
Soit ε > 0, en prenant N = E[ ln
k ] + 1 on a p > q ≥ N ⇒ q > ln k ⇒ k < ε, d'où |k − k | < ε.
• La suite (ln n)n∈IN ∗ n'est pas une suite de Cauchy.
En-eet, pour p > q > 0, on a: ln p − ln q = ln pq > 0, donc si p = 2q on a ln p − ln q = ln 2.
Donc, ∃ε > 0(ε = ln 2), ∀N ∈ IN ∗ , ∃(p, q) ∈ IN ∗ , p, q ≥ N (p = 2q) et lnp − lnq = ε.
6
En revanche, ln(n+1)−ln n = ln(1+ n1 ) → 0 ce qui prouve bien que la condition lim Un+1 −Un = 0
n→+∞
n'entraîne pas que la suite est de Cauchy.
Théorème 4 Une suite de réels est convergente dans IR si et seulement si c'est une suite de Cauchy.
Exemples: (kn ) avec 0 < k < 1 converge vers 0 et (ln n)n∈IN ∗ diverge.
Preuve:
Condition nécessaire Toute suite convergente est de Cauchy.
lim Un = ` ⇔ ∀ε > 0, ∃N ∈ IN, ∀n > N, |Un − `| < ε.
n→∞
Soit (p, q) ∈ IN 2 avec p, q ≥ N , alors |Up − `| < ε et |Uq − `| < ε
donc |Up − Uq | = |(Up − `) − (Uq − `)| ≤ |Up − `| + |Uq − `| < 2ε.
Condition susante Dans IR toute suite de Cauchy est convergente.
Idée: on montre que (Un ) est bornée, puis on construit deux suites adjacentes (an ) et (bn ) telles que
an ≤ Un ≤ bn (en se basant sur le thm de la borne supérieure et en utilisant le critère de Cauchy).
On en déduit donc d'après le thm des Gendarmes que (Un ) converge.
Remarque: Le critère de Cauchy est utilisé pour montrer qu'une suite (Un ) est convergente (resp. divergente) dans les cas où l'on peut obtenir facilement une majoration (resp minoration) de |Up − Uq | pour
p et q assez grands.
Exemples:
• Soit (Un ) la suite dénie par
Un+1 = Un +
U0 = 1
1
2n Un ,
∀n
On montre que la suite (Un ) est de Cauchy.
D'abord on peut montrer par récurrence que ∀n, Un ≥ 1
puis remarquer que: Un+1 − Un = 2n1Un ≥ 0 donc (Un ) est croissante.
Soit p, q ∈ IN tels que p > q (donc Up ≥ Uq et on peut enlever la valeur absolue)
Up − Uq = (Up − Up−1 ) + (Up−1 − Up−2 ) + · · · + (Uq+1 − Uq ) =
p−1
X
(Uk+1 − Uk ) =
k=q
Or ∀k, Uk ≥ 1 donc 0 ≤
p−1
P
k=q
1
2k Uk
≤
p−1
P
k=q
donc
p−1
P
k=q
1
2k
=
p−q
1 1−(1/2)
2q
1−1/2
=
1
2q−1 (1
k=q
1
2k Uk
1
2k
On retrouve la somme d'une suite géométrique de raison
donc
p−1
X
− ( 12 )p−q ) ≤
1
2q−1
1
2
et de premier terme
1
2q
car 1 − ( 12 )p−q < 1 car p − q > 0
∀p > q, 0 ≤ Up − Uq ≤
1
2q−1
1
1
Or lim 2q−1
= 0 ⇔ ∀ε > 0, ∃N ∈ IN, ∀q > N, −ε < 2q−1
<ε
q→+∞
D'où ∀ε > 0, ∃N ∈ IN, ∀p, q ∈ IN, p > q > N : 0 ≤ Up − Uq < ε, donc (Un ) est de Cauchy.
On en déduit donc que (Un ) converge.
Pn
• On pose, pour tout n ≥ 1, Sn = k=1 k1 et on montre que la suite (Sn ) n'est pas de Cauchy.
c'est à dire montrons que ∃ε > 0, ∀N ∈ IN, ∃(p, q) ∈ IN 2 tel que p, q > N et |Sp − Sq | ≥ ε
7
En eet pour p > q , Sp − Sq =
p
P
k=q+1
1
k
> 0.
Prenons par exemple p = 2q , dans la somme on a donc q termes et le plus petit terme est
donc Sp − Sq ≥ q ∗ 2q1 ⇒ Sp − Sq ≥ 21
Posons ε = 12 , on a montré que:
∀N ∈ IN, ∃q ∈ IN tel que q > N et |S2q − Sq | ≥
1
2q
1
2
Donc (Sn ) n'est pas de Cauchy.
On en déduit donc que (Sn ) diverge.
3
Limite d'une suite dans
IR ∪ {±∞}
3.1 Limites innies
Dénition 8 La suite (Un ) tend vers +∞, Un → +∞ ou lim Un = +∞, si et seulement si:
n→+∞
∀M > 0, ∃N ∈ IN, ∀n > N : Un > M
M
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
N
Remarque: (Un ) est divergente, non majorée mais minorée.
Exemple: lim 2n = +∞
n→+∞
En-eet ∀M > 0, ∃N ∈ IN, ∀n > N : 2n > M ⇔ en ln 2 > eln M ⇔ n > lnlnM2 = log2 M .
On pose N = E(log2 M ) + 1 ∈ IN , alors ∀n > N > log2 M , on a 2n > M .
Dénition 9
lim Un = −∞ si et seulement si
n→+∞
lim (−Un ) = +∞, c'est-à-dire:
n→+∞
∀M < 0, ∃N ∈ IN, ∀n > N : Un < M
Remarque: (Un ) est majorée mais non minorée.
Théorème 5 Si à partir d'un certain rang Un ≤ Vn et lim Un = +∞ (resp.
n→+∞
lim Vn = +∞ (resp. lim Un = −∞).
n→+∞
lim Vn = −∞), alors
n→+∞
n→+∞
Exemple: n + (−1)n sin n ≥ n − 1 et lim n − 1 = +∞ donc lim n + (−1)n sin n = +∞
n→+∞
n→+∞
8
Conséquence: Si Un = an + bn avec lim an = +∞ et (bn ) bornée alors lim Un = +∞
n→+∞
n→+∞
En-eet ∃m, M ∈ IR, ∀n, m ≤ bn ≤ M , donc ∀n, m + an ≤ Un ≤ M + an et thm de comp.
Preuve: ∃N1 , ∀n > N1 , Un ≤ Vn ,
lim Un = +∞ ⇔ ∀M > 0, ∃N2 ∈ IN, ∀n > N2 : Un > M ,
Montrons que lim Vn = +∞ ⇔ ∀M > 0, ∃N ∈ IN, ∀n > N : Vn > M
n→∞
n→+∞
Soit M > 0, posons N = max(N1 , N2 ), alors ∀n > N : Vn ≥ Un > M
3.2 Opérations sur les limites
Somme
lim Un
lim Vn
lim Un + Vn
`0
` + `0
`
+∞
−∞
+∞ −∞ +∞ −∞ −∞
+∞ −∞ +∞
?
−∞
F.I. exemple: Soient Un = n → +∞, Vn = 1 − n → −∞ et Wn = −n2 − n → −∞,
alors Un + Vn → 1 et Un + Wn → −∞
Produit par un scalaire :
lim Un
λ∈
lim λUn
Produit :
lim Un
lim Vn
lim Un Vn
`
`0
``0
`
IR
λ`
IR∗+
+∞
+∞
IR∗− {0}
−∞ 0
`>0
`<0
`=0
+∞
−∞
+∞ −∞ +∞ −∞ ±∞ +∞ −∞ −∞
+∞ −∞ −∞ +∞
?
+∞ −∞ +∞
F.I. exemple: Soient Vn = n → +∞ et Wn = n2 → +∞.
Soit Un = n1 → 0 alors Un Vn → 1 et Un Wn → +∞.
Soit Un = n12 → 0, alors Un Vn → 0.
n
Soit Un = (−1)
→ 0, alors (Un Vn ) diverge et n'a pas de limite innie.
n
Inverse :
Dénition 10 On dit que lim Un = 0+ (resp. 0− ) si lim Un = 0 et ∀n Un > 0 (resp. < 0 ).
n→+∞
lim Un
lim U1n
F.I. exemple: lim
n→+∞
Quotient :
Un
Vn
= Un ×
1
Vn
(−1)n
n
` 6= 0 ` = 0+
1
+∞
`
n→+∞
` = 0−
−∞
` = 0, 6= 0+ , 0−
?
+∞ −∞
0+
0−
= 0 mais ((−1)n n) ne converge pas et n'a pas de limite innie.
, on peut déduire la limite en utilisant les deux cas précédents.
2
F.I.: " 00 " et " ∞
∞ ", exemple: n → +∞, n → +∞ mais
9
n
n1
=
1
n
→ 0,
n2
n
= n → +∞
Composition par une fonction :
Proposition 3 Soit a, b ∈ IR ∪ {±∞} et I un intervalle contenant a. Si f est une fonction dénie
sur I et si (Un ) est une suite d'éléments de I , alors:
lim Un = a et lim f (x) = b ⇒
n→+∞
x→a
Exemple: Soit Vn = n sin( n1 ) = f (Un ) avec Un =
4
1 −→
n n→+∞0
lim f (Un ) = b
n→+∞
et f (x) =
sin x −→
x x→01
donc lim Vn = 1
n→+∞
Suites adjacentes
4.1 Dénition et théorème
Dénition 11 Deux suites (Un ) et (Vn ) sont adjacentes si
(i) (Un ) est croissante et (Vn ) est décroissante (ou inversement)
(ii)
lim Vn − Un = 0
n→+∞
Proposition 4 Si (Un ) et (Vn ) sont adjacentes alors ∀n, Un ≤ Vn .
Preuve: montrons par l'absurde que ∀n, Un ≤ Vn . Supposons que: ∃p ∈ IN, Up > Vp .
Soit la suite de terme général Wn = Un − Vn , donc:
• Wp = U p − V p > 0 ,
• Wn+1 − Wn = (Un+1 − Un ) − (Vn+1 − Vn ) ≥ 0 donc (Wn ) croissante,
•
lim Wn = 0.
n→+∞
Par conséquent ∀n > p, Wn ≥ Wp > 0, donc (Wn ) ne peut pas converger vers 0. Absurde!
Théorème 6 Deux suites adjacentes sont convergentes et ont même limite.
Exemples:
• Soient les suites dénies par Un =
(i) Un+1 − Un =
Vn+1 − Vn =
(ii) Vn − Un =
1
n!
1
(n+1)! ≥ 0
2
1
(n+1)! − n!
Pn
1
k=1 k!
et Vn = Un + n!1 pour tout entier n ∈ IN ∗
donc (Un ) est croissante.
1−n
= 2−(n+1)
(n+1)! = (n+1)! ≤ 0 donc (Vn ) est décroissante.
−→ 0
D'où (Un ) et (Vn ) sont adjacentes, elles convergent donc vers la même limite ` et ∀n, Un < ` < Vn
• Pour tout n ≥ 1, on désigne par dn et en les approximations à n décimales du nombre π , respectivement par défaut et par excès. Puisque π = 3, 1415926535, il en résulte d = (3, 1; 3, 14; 3, 141; · · · ),
e = (3, 2; 3, 15; 3, 142; · · · ), . Il est clair que:
(i) (dn ) est croissante et (en ) décroissante
10
(ii) en − dn = 10−n −→ 0
D'où (dn ) et (en ) sont adjacentes, elles convergent donc vers la même limite ` et ∀n, dn < ` < en
(π est un majorant de (dn ) et un minorant de (en ))
Remarque: Vérier toutes les hypothèses.
Exemple: Prenons les suites de terme général Un = cos n et Vn = Un + n1 . Alors lim Un − Vn = 0 mais
n→+∞
(Un ) et (Vn ) ne convergent pas (leur monotonie n'a pas été étudiée).
Remarque: Réciproque fausse.
Contre-exemple: lim
1
n→+∞ n
1
2
n→+∞ n
= lim
= 0 mais ( n1 ) et ( n12 ) ne sont pas adjacentes.
Preuve:
• (Un ) croissante et ∀n, Un ≤ Vn ≤ V0 , ainsi (Un ) est majorée, donc (Un ) converge.
• (Vn ) décroissante et ∀n, Vn ≥ Un ≥ U0 , ainsi (Vn ) est minotée, donc (Vn ) converge.
• montrons que lim Un = lim Vn
lim Un = a ⇔ ∀ε > 0, ∃N1 ∈ IN, ∀n > N1 , |Un − a| < ε,
n→∞
lim Un = b ⇔ ∀ε > 0, ∃N2 ∈ IN, ∀n > N2 , |Vn − b| < ε,
n→∞
lim Vn − Un = 0 ⇔ ∀ε > 0, ∃N3 ∈ IN, ∀n > N3 , |Vn − Un | < ε.
n→∞
Soit ε > 0, posons N = max(N1 , N2 , N3 ), alors ∀n > N ,
|a − b| = |a − Un + Un − Vn + Vn − b| ≤ |Un − a| + |Vn − Un | + |Vn − b| < 3ε
4.2 Application: preuve du théorème de la borne supérieure
Théorème 7 Toute partie non vide et majorée (resp. minorée) de IR admet une borne supérieure (resp.
inférieure).
Preuve:
hypothèse: Soit A ⊂ IR non vide (donc ∃a ∈ IR, a ∈ A) et majorée (donc ∃M ∈ IR, ∀a ∈ A, a ≤ M ).
but: on veut montrer que sup A existe, c'est-à-dire sup A est le plus petit des majorants de A). Pour
cela, on va construire deux suites adjacentes en utilisant le principe dichotomique: l'une décroissante de
majorants de A et l'autre croissante de non majorants de A. Ces deux suites vont donc vers la même
limite ` qui sera le plus petit des majorants.
5
Suites extraites
5.1 Dénition
Dénition 12 Soit (Un ) une suite réelle. Soit (nk ) une suite strictement croissante dans IN . On appelle
(Unk ) une sous-suite (ou suite extraite) de (Un ).
Exemple: Soit la suite réelle (Un ) dénie par Un = n(−1)n pour tout n ∈ IN .
Soit la suite (nk ) dénie par nk = 2k ∈ IN strictement croissante.
Alors (Unk ) est une sous-suite de (Un ) et Unk = U2k = (2k)(−1)2k = 2k pour tout k ∈ IN .
11
×(U2k )
×
×
×
×
×
×
×
(U2k+1 )
5.2 Théorèmes
Théorème 8 Si (Un ) converge, alors toute sous-suite (Unk ) de (Un ) converge et lim Un = lim Unk .
n→+∞
k→+∞
Exemple: Soit (Un ) dénie par Un = sinn n . (Un ) converge vers 0.
est une sous-suite de (Un ) donc (U3n ) converge vers 0.
(U3n ) dénie par U3n = sin(3n)
3n
Remarque: la réciproque est fausse.
Contre-exemple: Soit (Un ) dénie par Un = (−1)n . (U2k ) converge vers 1 mais (Un ) diverge.
Remarque: la contraposée est utilisée pour montrer qu'une suite diverge.
Exemple: Soit (Un ) dénie par Un = (−1)n . lim U2k 6= lim U2k+1 donc (Un ) diverge.
k→+∞
k→+∞
Preuve: Soit ε > 0, lim Un = a donc ∃N ∈ IN, ∀n > N : |Un − a| < ε
n→+∞
(nk ) strictement croissante, donc ∀k ∈ IN , nk+1 > nk
De plus nk ∈ IN d'où lim nk = +∞ donc ∃k0 ∈ IN tel que nk0 > N
k→+∞
Or si k > k0 alors nk > nk0 > N d'où |Unk − a| < ε
On a ∀ε > 0, ∃k0 ∈ IN, ∀k > k0 , |Unk − a| < ε d'où lim Unk = a
k→+∞
Théorème 9 de Bolzano-Weierstrass De toute suite réelle bornée, on peut extraire une suite convergente.
Exemple: Soit (Un ) dénie par Un = (−1)n . (Un ) diverge mais (Un ) est bornée (par 1), on peut donc
extraire une sous-suite convergente. En-eet: (U2k ) converge vers 1.
Théorème 10 Soit (Un ) une suite telle que (U2k ) et (U2k+1 ) sont convergentes avec la même limite `,
alors (Un ) converge et sa limite est `.
12
Remarque: la réciproque est vraie d'après le 1er théorème.
Exemple: Soit (Un ) dénie par Un =
U2k =
2k
(−1)
2k+cos(2kπ)
=
1
2k+1
(−1)n
n+cos(πn)
→ 0 et U2k+1 =
.
(−1)2k+1
2k+1+cos((2k+1)π)
=
−1
2k
→ 0 donc (Un ) converge vers 0.
Preuve: lim U2k = ` ⇔ ∀ε > 0, ∃N1 ∈ IN, ∀k > N1 : |U2k − `| < ε
k→+∞
lim U2k+1 = ` ⇔ ∀ε > 0, ∃N2 ∈ IN, ∀k > N2 : |U2k+1 − `| < ε
k→+∞
Soit ε > 0, posons N = max(2N1 , 2N2 + 1), soit p > n,
si p pair, alors p = 2k > 2N1 implique |Up − `| = |U2k − `| < ε
et si p impair, alors p = 2k + 1 > 2N2 + 1 implique |Up − `| = |U2k+1 − `| < ε
d'où ∀ε > 0, ∃N ∈ IN, ∀p > N : |Up − `| < ε ⇔ lim Up = `
p→+∞
6
Etude de suites à connaître
6.1 Suites arithmétiques
Dénition 13 Une suite (Un ) est arithmétique s'il existe un réel r tel que pour tout entier naturel n,
Un+1 = Un + r. r est appelé raison de la suite.
On a alors:
• Pour tout n ∈ IN , Un = U0 + nr,
• par conséquent:
si r = 0, alors (Un ) est constante;
si r > 0, alors (Un ) strictement croissante de limite +∞;
si r < 0, alors (Un ) strictement décroissante de limite −∞.
• U0 + U1 + · · · + Un =
n+1
2 (U0
+ Un ).
6.2 Suites géométriques
Dénition 14 Une suite (Un ) est géométrique s'il existe un réel q tel que pour tout entier naturel n,
Un+1 = qUn . q est appelé raison de la suite.
On a alors:
• Pour tout n ∈ IN , Un = U0 q n ,
• par conséquent:
si q = 0 ou U0 = 0 alors (Un ) est la suite nulle;
si q = 1 alors (Un ) est constante;
si q > 1 et U0 > 0 (respectivement U0 < 0) alors (Un ) est strictement croissante (resp.
décroissante) de limite +∞ (resp. −∞);
si 0 < q < 1 et U0 > 0 (respectivement U0 < 0) alors (Un ) est strictement décroissante (resp.
croissante) de limite 0;
13
si −1 < q < 0 alors (Un ) n'est pas monotone mais converge vers 0;
si q ≤ −1 alors (Un ) n'est pas monotone, ne converge pas et n'a pas de limite innie.
(
• U0 + U1 + · · · + Un =
n+1
U0 1−q
1−q
(n + 1)U0
si q 6= 1 .
sinon
6.3 Suites arithmético-géométriques
Dénition 15 Une suite (Un ) est arithmético-géométrique s'il existe deux réels a et b tels que pour tout
entier naturel n, Un+1 = aUn + b.
Remarque: on suppose a 6= 1 (sinon (Un ) est une suite arithmétique) et b 6= 0 (sinon (Un ) est une
suite géométrique).
Proposition 5 Si |a| < 1 alors (Un ) converge vers ` =
b
1−a
.
b
Preuve: Si la limite ` existe, alors elle vérie ` = a` + b donc ` = 1−a
(a 6= 1).
Un+1 −`
Vn+1
=
Posons la suite de terme général Vn = Un − `, alors Vn = Un −` = (aUn +b)−(a`+b)
Un −`
donc (Vn ) est une suite géométrique de raison a et converge vers 0 si |a| < 1,
or Un = Vn + ` d'où (Un ) converge vers ` si |a| < 1.
a(Un −`)
Un −`
=a
6.4 Suites récurrentes linéaires d'ordre 2
Dénition 16 La suite (Un ) dénie par la donnée de ses deux premiers termes et par la relation de
récurrence pour tout entier naturel n Un+2 = aUn+1 + bUn avec a, b réels vérie alors une relation de
récurrence linéaire d'ordre 2.
Théorème 11 Soit l'équation caractéristique (E) : r2 − ar − b = 0. Les solutions de cette équation (E)
sont les raisons des suites géométriques vériant Un+2 = aUn+1 + bUn .
Preuve: Soit (Un ) une suite géométrique de raison q , alors Un = U0 q n , d'où:
Un+2 = aUn+1 + bUn ⇔ U0 q n+2 = aU0 q n+1 + bU0 q n ⇔ q 2 = aq + b d'où q est bien solution de (E).
Théorème 12 (admis) Soit (Un ) une suite récurrente linéaire d'ordre 2 et (E) : r2 − ar − b = 0 son
équation caractéristique associée:
• si ∆ > 0 alors (E) possède deux racines réelles r1 et r2 et le terme général de (Un ) est
Un = Ar1n + Br2n avec A, B constantes réelles.
Supposons |r1 | > |r2 |, (Un ) a la même convergence que la suite géométrique de raison r1 .
• si ∆ = 0 alors (E) possède une racine réelle r0 et le terme général de (Un ) est
Un = Ar0n + Bnr0n avec A, B constantes réelles.
Si |r0 | < 1, (Un ) convergence vers 0, sinon elle diverge (la limite est innie ou n'existe pas).
14
• si ∆ < 0 alors (E) possède deux racines complexes r1 = reiθ et r2 = re−iθ (r > 0) et le terme
général de (Un ) est
Un = rn (A cos(nθ) + B sin(nθ)) avec A, B constantes réelles.
Si r < 1, (Un ) convergence vers 0, sinon elle diverge.
Exemples:Etude des suites dénies par:
Un+2 = 5Un+1 − 6Un , ∀n
U0 = 2 et U1 = 3
(Un ) est une suite récurrente linéaire d'ordre 2, son équation caractéristique associée est : r2 − 5r + 6 = 0
5−1
∆ = (−5)2 − 4 ∗ 1 ∗ 6 = 1 > 0, on a donc deux racines réelles: r1 = 5+1
2 = 3 et r2 = 2 = 2
donc (Un ) a pour terme général:
Un = A 3n + B 2n avec A, B ∈ IR
U0 = A + B = 2
A+B =2
B=3
Or
⇔
⇔
U1 = 3A + 2B = 3
A = −1
A = −1
Ainsi
n
2
∀n, Un = −3 + 3 . 2 = |{z}
3
(−1 + 3
) −→ −∞
3
−→+∞ |
{z
}
n
n
n
−→−1
Un+2 = 2(Un+1 − Un ), ∀n
U0 = 1 et U1 = 2
(Un ) est une suite récurrente linéaire d'ordre 2, son équation caractéristique associée est : r2 − 2r + 2 = 0
∆ = (−2)2 − 4 ∗ 1 ∗ 2 = −4 < 0, ona donc deux racines complexes:
√
√
√ √2
√ π
π
2 2 + i 22 = 2ei 4 et r2 = r1 = 2e−i 4
r1 = 2+2i
2 =1+i=
donc (Un ) a pour terme général:
nπ nπ √
+ B sin
) avec A, B ∈ IR
Un = ( 2)n (A cos
4
4
(
Or
U0 = A =1
√
U1 = 2 A
Ainsi
√
2
2
√
+B
2
2
=A+B =2
⇔
A=1
B=1
nπ nπ √
+ sin
)
∀n, Un = ( 2)n (cos
4
4
En utilisant des suites extraites (par exemple (U8n+4 ) et (U8n )), on peut montrer que (Un ) diverge et n'a
pas de limite innie.
Un+2 = 6Un+1 − 9Un , ∀n
U0 = 5 et U1 = 6
(Un ) est une suite récurrente linéaire d'ordre 2, son équation caractéristique associée est : r2 − 6r + 9 = 0
∆ = (−6)2 − 4 ∗ 1 ∗ 9 = 0, on a donc une racine réelle: r0 = 26 = 3
donc (Un ) a pour terme général:
Un = A 3n + B n 3n avec A, B ∈ IR
15
Or
Ainsi
U0 = A = 5
⇔
U1 = 3(A + B) = 6
A=5
B = −3
∀n, Un = |{z}
3n (5 − 3n) −→ −∞
| {z }
−→+∞ −→−∞
6.5 Suites dénies par Un+1 = f (Un )
Soient I un intervalle de IR et f : I → IR une fonction continue telle que
la suite dénie par Un+1 = f (Un ) et U0 ∈ I .
f (I) ⊂ I .
Soit
(Un )
Remarque: comme f (I) ⊂ I (I stable par f ), alors Un ∈ I ∀n.
Proposition 6 Si (Un ) est convergente vers ` élément de I alors f (`) = ` (` est un point xe).
Remarque: La contraposée nous dit que si f n'a pas de point xe, alors f diverge.
Preuve: (Un ) converge vers `, donc (Un+1 ) aussi et lim Un+1 = `.
n→+∞
Comme Un+1 = f (Un ) et f continue sur I , on a : lim Un+1 = lim f (Un ) = f ( lim Un ) = f (`).
n→+∞
n→+∞
n→+∞
Par unicité de la limite, on obtient ` = f (`)
Proposition 7 Si f (x) − x garde un signe constant sur I , alors (Un ) est monotone.
Preuve: Supposons que ∀x ∈ I, f (x) − x ≥ 0,
comme ∀n, Un ∈ I , on a ∀n, f (Un ) − Un = Un+1 − Un ≥ 0, donc (Un ) est croissante.
Proposition 8 Si f est croissante alors (Un ) est monotone.
De plus, si I est borné alors (Un ) est convergente.
Preuve: cas où U1 ≤ U0 ; montrons par récurrence que (Un ) est décroissante.
L'hypothèse est vrai au rang 1, supposons la jusqu'au rang n, ie Un ≤ Un−1 .
Au rang n + 1: Un+1 = f (Un ) ≤ f (Un−1 ) car f est croissante.
Or Un = f (Un−1 ), on a donc Un+1 ≤ Un et (Un ) décroissante.
De plus, si I = [a, b], alors (Un ) est minorée par a (car Un ∈ I ∀n), donc (Un ) converge.
cas où U1 ≥ U0 ; on montre par récurrence que (Un ) est croissante.
De plus, si I = [a, b], alors (Un ) est majorée par b, donc (Un ) converge.
Proposition 9 Si f est décroissante alors (U2n )n et (U2n+1 )n sont monotones.
De plus, si I est borné alors ces suites sont convergentes.
Preuve: f 2 = f of est croissante sur I .
En eet, si x1 ∈ I, x2 ∈ I tel que x1 ≤ x2 , alors comme f est décroissante, f (x1 ) ≥ f (x2 ) et
f 2 (x1 ) ≤ f 2 (x2 ).
U2n = f (U2n−1 ) = f (f (U2n−2 ))
D'après la première partie, (U2n ) est monotone; plus précisément si U0 < U2 , alors elle est croissante,
sinon elle est décroissante; et convergente si I borné.
U2n+1 = f (U2n ) = f (f (U2n−1 ))
16
D'après la première partie, (U2n+1 ) est monotone; plus précisément si U0 < U2 , alors elle est décroissante,
sinon elle est croissante; et convergente si I borné.
Exemples: Etude
des suites dénies par:
(
Un+1 =
U0 > 1
2
1+Un
2Un ,
∀n
Soit la fonction f dénie sur IR∗ par f (x) =
1+x2
2x
, alors Un+1 = f (Un )
• Cherchons I tel que f continue sur I et U0 ∈ I .
∗
f est dérivable sur IR+
(comme U0 > 0, on peut se limiter aux valeurs positives) et
f 0 (x) =
(2x)(2x)−2(1+x2 )
(2x)2
=
2x2 −2
4x2
x
=
x2 −1
2x2
=
(x−1)(x+1)
2x2
0
+∞
1
f 0 (x)
−
0
+
+∞
+∞
f (x)
1
On a f ([1, +∞[) = [1, +∞[ et U0 ∈ [1, +∞[ donc prenons I = [1, +∞[.
Comme pour tout n ∈ IN , Un ∈ I , on a (Un ) minorée (par 1).
• Points xe de f appartenant à I
2
2
2
2
f (`) = ` ⇔ 1+`
/I
2` = ` ⇔ 1 + ` = 2` ⇔ ` = 1 ⇔ ` = 1 ∈ I ou ` = −1 ∈
donc si (Un ) converge, sa limite est 1.
• Monotonie de (Un )
<0
f est croissante sur I donc (Un ) est monotone et U1 − U0 =
1+U02
2U0
z }| {
1 − U2
− U0 = 2U 0 < 0 (car U0 > 1)
0
|{z}
>0
donc (Un ) est décroissante.
• Conclusion: (Un ) est décroissante et minorée donc (Un ) converge vers le point xe 1.
1
1
U2U1
U0
17
(
Un+1 =
U0 ∈ IR
2
1+Un
2 ,
∀n
Soit la fonction f dénie sur IR∗ par f (x) =
1+x2
2
, alors Un+1 = f (Un )
• Cherchons I tel que f continue sur I et U0 ∈ I .
f est continue sur IR, f (IR) ⊂ IR et U0 ∈ IR donc I = IR.
Faisons quand même l'étude de f , on aura peut-être besoin de restreindre I par la suite.
f est dérivable sur IR et f 0 (x) = x
x
−∞
0
1
+∞
+∞
+∞
1
f (x)
1
2
On a f (IR) = [ 12 , +∞[ et comme pour tout n ∈ IN ∗ , Un ∈ f (IR), on a (Un ) minorée (par min{U0 , 1}).
Remarque: sur le tableau de variation, on a ajouté le point xe trouvé à l'étape suivante.
• Points xe de f appartenant à I
2
f (`) = ` ⇔ 1+`
= ` ⇔ `2 − 2` + 1 = 0 ⇔ (` − 1)2 = 0 ⇔ ` = 1
2
donc si (Un ) converge, sa limite est 1.
• Monotonie de (Un )
f est non monotone, étudions de signe de f (x) − x pour tout x réel.
2
2
2
f (x) − x = 1+x
− x = x −2x+1
= (x−1)
≥0
2
2
2
donc (Un ) est croissante.
• Conclusion:
si U0 = 1, alors (Un ) est constante et vaut 1.
si U0 > 1, alors f ([1, +∞[) = [1, +∞[ donc ∀n, Un ≥ 1, or (Un ) croissante et le point xe vaut
1, donc (Un ) diverge et tend vers +∞.
si 0 ≤ U0 < 1, alors f ([0, 1]) = [ 21 , 1] donc (Un ) bornée, or (Un ) croissante donc (Un ) converge,
or le point xe 1 ∈ [0, 1], donc (Un ) converge vers le point xe 1.
si U0 < 0, on a U1 =
1+U02
2
> 0 et on applique ce qui précède à U1 .
∗ si U1 > 1 alors (Un ) diverge et tend vers +∞,
or U1 > 1 ⇒ 1 + U02 > 2 ⇒ U02 > 1 or U0 < 0 donc U0 < −1.
∗ si 0 ≤ U0 ≤ 1, alors (Un ) converge vers le point xe 1
or 0 ≤ U0 ≤ 1 ⇒ 0 ≤ 1 + U02 ≤ 2 ⇒ −1 ≤ 0 ≤ U02 ≤ 1 or U0 < 0 donc −1 ≤ U0 < 0.
Finalement (Un ) converge vers 1 si et seulement si U0 ∈ [−1, 1].
18
1
U1... 1
U0
19
U0
U1
U2