N1- -Nombres entiers (2)- -Multiplication - Division - LOZANO

Collège Jean Lurçat − FROUARD − Sébastien LOZANO − Classe Numérique − http://lozano.maths.free.fr
http://www.labomep.net − https://www.ent−place.fr
Chapitre
-N1-
-Nombres entiers (2)-
-Multiplication - Division-
-Dur´ees-
Derni`ere mise `a jour le 20 mars 2015
Derni`ere mise `a jour le 20 mars 2015
Sommaire
1.0.1 Le point sur le programme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.0.2 Multiplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.0.3 Ordre de grandeur d’un r´esultat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.0.4 Division Euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.0.5 Premi`eres ´equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.0.6 Dur´ees....................................... 7
1

Collège Jean Lurçat − FROUARD − Sébastien LOZANO − Classe Numérique − http://lozano.maths.free.fr
http://www.labomep.net − https://www.ent−place.fr
1.0.1 Le point sur le programme
Connaissances Capacit´es Commentaires
2.2 Op´erations
Addition, soustrac-
tion,multiplication et
division.
Multiples et diviseurs.
Sens des op´erations
Techniques ´el´ementaires
de calcul.
Ordre de grandeur.
Connaˆıtre les tables d’addition et de mul-
tiplication et les r´esultats qui en d´erivent.
Multiplier ou diviser un nombre par 10,
100, 1000.
*Multiplier un nombre par 0,1 ; 0,01 ;
0,001.
Connaˆıtre et utiliser les crit`eres de divisi-
bilit´e par 2, 5 et 10.
Connaˆıtre et utiliser les crit`eres de divisi-
bilit´e par 3, 4 et 9.
Choisir les op´erations qui conviennent au
traitement de la situation ´etudi´ee.
Savoir effectuer ces op´erations sous les di-
verses formes de calcul : mental, `a la main ou
instrument´e.
Connaˆıtre la signification du vocabulaire
associ´e : somme, diff´erence, produit, terme,
facteur, dividende, diviseur, quotient, reste.
´ Etablir un ordre de grandeur d’une somme,
*d’une diff´erence, d’un produit.
La maˆıtrise des tables est consolid´ee par une
pratique r´eguli`ere du calcul mental sur des
entiers et des d´ecimaux simples. La division
d´ecimale est limit´ee `a la division d’un d´ecimal
par un entier. En calcul pos´e, le dividende
comporte au maximum deux chiffres apr`es la
virgule.
La notion de multiple, introduite `a l’´ecole
primaire, est rappel´ee sur des exemples
num´eriques, en mˆeme temps qu’est introduite
celle de diviseur. Les diff´erentes significations
de ce dernier terme doivent ˆetre explicit´ees.
Pour les probl`emes `a ´etapes, la solution peut
ˆetre donn´ee `a l’aide d’une suite de calculs, *ou
`a l’aide de calculs avec parenth`eses.
La capacit´e `a calculer mentalement est une
priorit´e et fait l’objet d’activit´es r´eguli`eres.
La maˆıtrise des diff´erents moyens de calcul
doit devenir suffisante pour ne pas faire obs-
tacle `a la r´esolution de probl`emes. Concernant
le calcul pos´e, les nombres doivent rester de
taille raisonnable et aucune virtuosit´e tech-
nique n’est recherch´ee.
L’objectif est de sensibiliser les ´el`eves `a utili-
ser les ordres de grandeur pour contrˆoler ou
anticiper un r´esultat.
1.0.2 Multiplication
Vocabulaire
D´efinition 1 :
Un PRODUIT c’est le r´esultat d’une multiplication.
Les FACTEURS d’un produit, sont les nombres qui permettent de calculer ce
produit.
52 ×179 = 9 308
52
17 9
468
364
5 2
9 3 0 8
×FACTEURS
PRODUIT
Exemple :
352 ×12 ×2 est le produit des trois facteurs : 352; 12 et 2.
l×37 est le produit du facteur inconnu let de 37.
2

Collège Jean Lurçat − FROUARD − Sébastien LOZANO − Classe Numérique − http://lozano.maths.free.fr
http://www.labomep.net − https://www.ent−place.fr
Calcul pos´e
Rappels
Pour calculer plus rapidement 155 + 155 + 155 + 155 + 155 + 155 + 155, c’est `a dire la somme
de 7 termes tous ´egaux `a 155, on peut effectuer la multiplication 155 ×7
Application 1 : Pose et effectue le produit de 155 et de 7.
155
7
1085
×
donc 155 ×7 = 1085
Exemple : Pose et effectue la multiplication : 1 458 ×74.
1 4 5 8
7 4
5 8 3 2
10206·
107892
×
Application 2 : Pose et effectue la multiplication : 89 ×545.
8 9
545
445
356·
445· ·
48505
×
Commutativit´e de la multiplication
Propri´et´e 1 : (admise)
Si on change la place des facteurs dans une suite de multiplications
alors cela ne change pas leur produit
Exemple :
2×7×5×7 = 490
7×7×2×5 = 490 aussi !
Int´erˆet : calculs astucieux
1/ Calcule astucieusement 25 ×15 ×4.
2/ Calcule astucieusement 13 ×125 ×2×8.
3

Collège Jean Lurçat − FROUARD − Sébastien LOZANO − Classe Numérique − http://lozano.maths.free.fr
http://www.labomep.net − https://www.ent−place.fr
1.0.3 Ordre de grandeur d’un r´esultat
D´efinition 2 : Un ORDRE DE GRANDEUR d’un nombre est un autre nombre proche
du premier mais qui permet d’effectuer les op´erations plus simplement.
Exemple : Un ordre de grandeur de 872 peut ˆetre :
870 `a la dizaine pr`es.
900 `a la centaine pr`es.
Propri´et´e 2 : (M´ethode admise)
Avant d’effectuer un calcul ( mental, pos´e, ou `a la machine ), il faut toujours connaˆıtre
un ORDRE DE GRANDEUR du r´esultat `a obtenir en utilisant des ordres de grandeur
des nombres constituant le calcul.
Exemples :
Je dois calculer 2731 + 6207
∗2731 est ”de l’ordre de” 3000
∗6207 est ”de l’ordre de” 6000
∗Donc le r´esultat de 2731 + 6207 est ”de l’ordre de” 3000 + 6000 c’est `a dire 9000.
∗En effet, 2731 + 6207 machine = 8938, qui est bien ”de l’ordre de” nos pr´evisions.
127 ×85 est `a calculer
∗127 est ”de l’ordre de” 125
∗85 est ”de l’ordre de” 80
∗donc le r´esultat de 127 ×85 est ”de l’ordre de” 125 ×80 c’est `a dire 10000.
∗En effet,
127
8 5
635
1 0 1 6 ·
10795
×
qui est bien ”de l’ordre” pr´evu.
1.0.4 Division Euclidienne
Vocabulaire
D´efinition 3 :
Un QUOTIENT c’est le r´esultat d’une division.
Un DIVISEUR c’est un nombre par lequel on divise.
Un DIVIDENDE c’est un nombre que l’on divise.
Un RESTE c’est ce qu’il reste apr`es partage !
Une DIVISION EUCLIDIENNE c’est une division o`u le quotient, le diviseur, le
dividende et le reste sont des nombres entiers.
Exemples :
4

Collège Jean Lurçat − FROUARD − Sébastien LOZANO − Classe Numérique − http://lozano.maths.free.fr
http://www.labomep.net − https://www.ent−place.fr
8 4
−6
2 4
−2 4
0
3
2 8 DIVISEUR
DIVIDENDE
QUOTIENT
RESTE
8 4
−6
2 4
−2 4
0
3
2 8 DIVISEUR
DIVIDENDE
QUOTIENT
RESTE
Chaque personne aura 28 €et il ne reste rien . Chaque personne re¸coit 28 €et il reste 1 €.
Propri´et´e 3 : (admise)
Si dans une division euclidienne, on multiplie le quotient par le diviseur
et qu’on ajoute le reste
alors on retrouve le dividende
Exemples :
28 ×3 + 0 = 84 28 !30 ×3 + 1 = 85
Calcul pos´e
Application 1 : Pose et effectue la division de 42
332 par 7.
42332
−4 2
0 3
−0
3 3
−2 8
5 2
−4 9
3
7
6 0 4 7
Application 2 :Pose et effectue 52659 ÷13.
5 2 6 5 9
−5 2
0 6
−0
6 5
−6 5
0 9
−0
9
1 3
4 0 5 0
.
Crit`eres de divisibilit´e
D´efinition 4 : On consid`ere deux nombres entiers a et b, b ne valant pas z´ero
On dit que :
b est un DIVISEUR de a.
ou que a est DIVISIBLE par b.
ou encore que a est un MULTIPLE de b.
lorsque le reste de la division euclidienne de a par b vaut 0.
Exemples :
8 4
−6
2 4
−2 4
0
3
2 8
3 est un DIVISEUR de 84.
84 est un MULTIPLE de 3.
84 est DIVISIBLE par 3.
5