TD 6 : Arithmétique dans Z

TD 6 : Arithmétique dans Z
PCSI
2012 - 2013
L'anneau Z est muni de la somme et du produit usuels.
I. Divisibilité.
Dénition 1
Soient
a, b ∈ Z. b
On dit alors que
divise
b
a
lorsqu'il existe
est un diviseur de
a
k ∈ Z tel que a = kb.
a est divisible par b.
et que
On le note
b|a
1) Montrer que pour tout n ∈ N, 32n+1 + 2n+2 est divisible par 7.
2) Soit x ∈ Z tel que x − 1|x + 3. Déterminer x.
3) Soit a ∈ Z. Montrer que : ∀n ∈ N, a − 1|an − 1
II. Division euclidienne.
Proposition 1
Soit
a, b ∈ Z.
Il existe un unique couple
(q, r) ∈ Z2
tel que
0 ≤ r < b. On dit
euclidienne de a par b.
a = bq + r
respectivement le quotient et le reste de la division
et
que
q
et
r
sont
1) Démontrer l'unicité du couple (q, r).
2) Exprimer q en fonction de a et b.
3) Ecrire un algorithme prenant en entrées a et b et renvoyant q et r.
III. Nombres premiers.
Dénition 2
Soit
p
p ∈ N, p ≥ 2.
est un nombre premier lorsque ses seuls diviseurs positifs sont
nombres premiers sera noté
P,
et lui-même. L'ensemble des
un nombre non premier sera dit composé.
1) Montrer que tout entier n ≥ 2 possède un diviseur premier.
facteur premier de
1
On dit que ce diviseur est un
n.
2) Montrer que l'ensemble des nombres premiers est inni.
3) Soit a et p deux entiers supérieurs à 2. Montrer que si ap − 1 est premier alors a = 2 et p
est premier.
IV. Décomposition en produit de facteurs premiers.
Théorème.
Soit n ∈ N, n ≥ 2.
Il existe N ∈ N∗ , p1 , p2 , ..., pN ∈ P , α1 , α2 , ..., αN ∈ N tel que n = pα1 1 pα2 2 ...pαNN .
Cette décomposition est appelée décomposition de n en produit de facteurs premiers.
1) Donner la décomposition en produit de facteurs premiers de 3208.
2) Soit n ∈ N, n ≥ 2. Déterminer le nombre de diviseurs positifs de n.
Lycée de l'Essouriau - Les Ulis