corrigé

MP – Physique-chimie. Devoir
Jean Le Hir, 28 mars 2008 Page 1 sur 2
DS n°7-2 -corrigé
Cinématique : révolutions sidérale et synodique de la Lune, orbites
stationnaires
1. Période synodique de la Lune.
1
syn L T
1 1
29,53 j
TT T
−
= − =
2. Durée du jour lunaire et durée du jour solaire moyen.
1
j lune j sid L
1 1
24 h 50 min
TT T
−
= − = .
1
j sol j sid T
1 1
24 h 00 min
TT T
−
= − = (bien sûr !…)
3. Démonstration de la troisième loi de Kepler
2
n
F v
a
m R
= =
ou encore
2
2
1 2GM
R
R R T
π
= , soit
3
2 2
4
R GM
T=
π
4. Calcul du produit GM.
2 3 14
TL
2
4
4,04 10 S.I.
R
GM T
π
= = ×
5. Orbite géostationnaire.
Il s’agit d’une orbite circulaire équatoriale.
2
13
3j sid
2 3
géostat j sid TL
2L
42 10 km
4
T
GM
R T R T = = = ×
π
Ces satellites présentent un grand intérêt particulièrement pour les télécommunications.
6. Orbite héliostationnaire. Il s’agit d’une orbite circulaire écliptique (dans le plan de l’orbite de la Terre
autour du Soleil) parcourue dans le sens rétrograde à la même vitesse angulaire que le mouvement
orbital de la Terre.
2
13
3
2 6
T
héliostat T TL
2L
2,2 10 km
4TGM
R T R T = = = ×
π
Ces satellites permettent l’observation permanente du Soleil ou, au contraire, mais c’est également
intéressant, ils peuvent être en permanence dans l’obscurité de la nuit.
7. Problème à deux corps.
Il faut reprendre l’étude dans le référentiel du centre de masse du système Terre-Lune. La troisième
loi de Kepler est alors modifiée, la masse M représentant la somme des masses
T L
M M
+
.
Mécanique du point : étude de pendules de pesanteur
A. Pendule simple
8. Équation différentielle.
2
2
sin 0
d g
dt L
θ
+ θ=
.
9. Oscillations de faible amplitude.
0 0
cos
t
θ = θ ω
avec
0
g
L
ω = .
10. Trajectoire de phase. Il s’agit bien sûr d’une ellipse parcourue dans le sens horaire.

LYCÉE DE KERICHEN MP-Physique-chimie Devoir surveillé n°7-2
JLH 28/03/2008 Page 2 sur 2
11. Diagramme énergétique.
En prenant pour origine le point le plus bas, nous avons :
( ) ( ) ( )
2
2
0 0 0 0
1
1 cos( cos ) cos
2
p
E t mgL t mgL t
= − θ ω ≈ θ ω et
( ) ( )
2
2
0 0
1sin
2
k
E t mgL t
= θ ω .
12. Relation entre
θ
et
θ
.
( ) ( )
2 2
0
1
1 cos 1 cos
2
mL mgL mgL
θ + − θ = − θ
 soit
(
)
2 2
0 0
2 cos cos
θ = ω θ− θ
.
13. Portrait de phase.
0
2
π
θ = ±
:
2 2
0
2 cos
θ = ω θ
0
θ = ±π
:
( )
2
2 2
0 0
2 cos 1 2 cos
2
θ
θ = ω θ+ = ω
B. Pendule sophistiqué
14. Choc. Par application du théorème du moment cinétique, nous pouvons affirmer que le moment
cinétique est conservatif :
( )
2
2
Q P
L a L
θ − = θ
.
15. Calcul de l’amplitude
1
θ
.
Nous avons
P 0 0
θ = −ω θ
et donc
2
Q 0 0 1 1
L
L a
θ = −ω θ = ω θ
−
soit
3
2
1 0
L
L a
θ = −θ
−
.
16. Calcul de l’amplitude
2
θ
.
3
3
2
2 1 0
L L
L a L a
θ = −θ = θ
− −
.
17. Calcul de l’amplitude
n
θ
.
( )
3
2
0
1
n
n
n
L
L a
θ = − θ
−
.
L’énergie mécanique totale
(
)
E t
est une fonction croissante du temps. A chaque passage au plus bas,
le dispositif mécanique donne une impulsion qui fait croître l’énergie. Comme les oscillations sont
synchrones de période
L L a
Tg g
−
= π + , l’énergie est une fonction croissante par paliers.
Lors de la première impulsion, l’énergie passe de la valeur
2 2 2
0 0 P
1 1
2 2
E mgL mL
= θ = θ
à la valeur
supérieure
2 2
1 Q
1
2
E mga mL
= + θ
. L’énergie potentielle mga est restituée lors de l’élongation extrémale
lorsque la masse m redescend en P, mais l’augmentation d’énergie cinétique est définitivement
acquise.