Feuille 4

Lois continues à densité
Exercice 1 (Lois uniformes)
Une compagnie de transport public s’engage : « Le client n’attendra jamais plus de 15 minutes ». En admettant que la
variable aléatoire : X = le temps d’attente » suit une loi uniforme sur [0 ;15], calculer la probabilité pour que
1) Le client attende moins de 5 minutes.
2) Le client attende plus de 12 minutes.
Exercice 2 (lois uniformes)
La touche d’une calculatrice : alea, donne un nombre aléatoire compris entre 0 et 1 avec une loi uniforme.
1) Calculer P(5alea+3 > 6).
2) On note a et b deux nombres réels tels que a < b : Quelle loi suit la variable aléatoire X = (b – a)alea + a ?
Exercice 3 (Lois uniformes)
Un programme informatique fourni un nombre X entre 0 et 1 avec une probabilité uniforme.
Calculer la probabilité pour que ln( 4x + 1
2 ) soit positif.
Exercice 4 (Lois uniformes)
Un programme informatique donne un nombre X aléatoire en suivant une loi uniforme sur l’intervalle [0 ;n] où n est un
entier naturel inconnu. Calculer n sachant que P(X
≤
2) = 0,25, En déduire P(
3 4
X
≤ ≤
.
Exercice 5 (Lois quelconques) On donne p la fonction définie sur
ℝ
par :
Si x < 0 ou si x > 2 alors p(x) = 0.
Si
[0;1]
x
∈
alors
( )
p x x
=
, et enfin si
[1;2]
x
∈
alors ( ) 2
p x x
= −
,
1) Prouver que la fonction p est une densité de probabilité.
2) Un programme informatique donne de manière aléatoire un réel X qui suit la loi de probabilité ayant comme
densité la fonction p.
a) Calculer P(X < 0) , P(X > 2) et P(X >
1
2
).
b) Calculer
2
0
( )
xp x dx
∫
puis en déduire l’espérance de cette loi.
Exercice 6 (Lois quelconques) On donne p la fonction définie sur
[0; [
+∞
par :
Si
[0;1]
x
∈
alors
1
( )
2
p x
=
, et enfin si
[1; [
x
∈ +∞
alors
1
( )
2 ²
p x
x
= ,
1) a) Calculer, pour x > 1, F(x) =
0
( )
x
p t dt
∫
. En déduire
lim ( )
x
F x
→+∞
.
b) Justifier que la fonction p est une densité de probabilité sur
[0; [
+∞
.
2) Un programme informatique donne de manière aléatoire un réel X qui suit la loi de probabilité ayant comme
densité la fonction p.
a) Calculer P(X < 1) ; b) P(
2 4
X
≤ ≤
) c) P(
1
4
2
X
≤ ≤
)
Exercice 7 (Lois quelconques) On donne p la fonction définie sur
[0; [
+∞
par ( )
x
p x e
−
= .
1) Calculer en fonction de x,
0
xt
e dt
−
∫
. En déduire
0
lim
xt
x
e dt
−
→+∞
∫
.
2) Justifier que la fonction p est une densité de probabilité sur
[0; [
+∞
.
3) Un programme informatique donne un nombre X positif avec la loi dont la densité est la fonction p.
a) Calculer P(X
≤
4) b) P(X > 4) c) P(
2 4
X
≤ ≤
).
4) Calcul de l’espérance de X.
a) Vérifier que la fonction
( 1 )
t
t t e
−
→ − − est une primitive de
t
t te
−
→ .
b) En déduire l’expression en fonction de x de
0
xt
te dt
−
∫
.
c) En déduire que E(X) = 1.