Feuille 4

Lois continues à densité
Exercice 1 (Lois uniformes)
Une compagnie de transport public s’engage : « Le client n’attendra jamais plus de 15 minutes ». En admettant que la
variable aléatoire : X = le temps d’attente » suit une loi uniforme sur [0 ;15], calculer la probabilité pour que
1) Le client attende moins de 5 minutes.
2) Le client attende plus de 12 minutes.
Exercice 2 (lois uniformes)
La touche d’une calculatrice : alea, donne un nombre aléatoire compris entre 0 et 1 avec une loi uniforme.
1) Calculer P(5alea+3 > 6).
2) On note a et b deux nombres réels tels que a < b : Quelle loi suit la variable aléatoire X = (b – a)alea + a ?
Exercice 3 (Lois uniformes)
Un programme informatique fourni un nombre X entre 0 et 1 avec une probabilité uniforme.
1
Calculer la probabilité pour que ln( 4x + ) soit positif.
2
Exercice 4 (Lois uniformes)
Un programme informatique donne un nombre X aléatoire en suivant une loi uniforme sur l’intervalle [0 ;n] où n est un
entier naturel inconnu. Calculer n sachant que P(X ≤ 2) = 0,25, En déduire P( 3 ≤ X ≤ 4 .
Exercice 5 (Lois quelconques) On donne p la fonction définie sur ℝ par :
Si x < 0 ou si x > 2 alors p(x) = 0.
Si x ∈ [0;1] alors p ( x) = x , et enfin si x ∈ [1; 2] alors p ( x) = 2 − x ,
1) Prouver que la fonction p est une densité de probabilité.
2) Un programme informatique donne de manière aléatoire un réel X qui suit la loi de probabilité ayant comme
densité la fonction p.
a) Calculer P(X < 0) , P(X > 2) et P(X >
b) Calculer
∫
2
0
1
).
2
xp( x)dx puis en déduire l’espérance de cette loi.
Exercice 6 (Lois quelconques) On donne p la fonction définie sur [0; +∞[ par :
Si x ∈ [0;1] alors p ( x) =
1) a)
1
1
, et enfin si x ∈ [1; +∞[ alors p ( x) =
,
2
2 x²
∫
Calculer, pour x > 1, F(x) =
x
0
p(t )dt . En déduire lim F ( x) .
x →+∞
b) Justifier que la fonction p est une densité de probabilité sur [0; +∞[ .
2) Un programme informatique donne de manière aléatoire un réel X qui suit la loi de probabilité ayant comme
densité la fonction p.
a) Calculer P(X < 1) ; b) P( 2 ≤ X ≤ 4 ) c) P(
1
≤ X ≤4)
2
Exercice 7 (Lois quelconques) On donne p la fonction définie sur [0; +∞[ par p ( x) = e − x .
1) Calculer en fonction de x,
∫
x
0
e− t dt . En déduire lim
∫
x
x →+∞ 0
e − t dt .
2) Justifier que la fonction p est une densité de probabilité sur [0; +∞[ .
3) Un programme informatique donne un nombre X positif avec la loi dont la densité est la fonction p.
a) Calculer P(X ≤ 4)
b) P(X > 4) c) P( 2 ≤ X ≤ 4 ).
4) Calcul de l’espérance de X.
a) Vérifier que la fonction t → (−1 − t )e− t est une primitive de t → te− t .
b) En déduire l’expression en fonction de x de
c) En déduire que E(X) = 1.
∫
x
0
te − t dt .