TS. Évaluation 8 -Chapitre : Lois de probabilités le 01-04

TS. Évaluation 8 -Chapitre : Lois de probabilités ♣le 01-04-16
1( 3 points ) Étude de la durée de vie d’un appareil électroménager
Des études statistiques ont permis de modéliser la durée de vie, en mois, d’un type de lave-vaisselle par une variable
aléatoire Xsuivant une loi normale Nµ, σ2de moyenne µ = 84 et d’écart-type σ. De plus, on a P ( X6 64) = 0 , 16 .
La représentation graphique de la fonction densité de probabilité de Xest donnée ci-dessous.
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150
16 %
1°a) En exploitant le graphique, déterminer P(64 6X6104).
b) Quelle valeur approchée entière de σpeut-on proposer ?
2°On note Zla variable aléatoire définie par Z=X−84
σ.
a) Quelle est la loi de probabilité suivie par Z?
b) Justifier que P(X664) = PZ6−20
σ.
c) En déduire la valeur de σ, arrondie à 10−3.
3°Dans cette question, on considère que σ= 20,1. Les probabilités demandées seront arrondies à 10−3.
a) Calculer la probabilité que la durée de vie du lave-vaisselle soit comprise entre 2et 5ans.
b) Calculer la probabilité que le lave-vaisselle ait une durée de vie supérieure à 10 ans.
2( 3 points ) Soit OAB un triangle rectangle isocèle en Otel que OA = 1.
M B
A
O
On désigne par Mun point de [OB]choisi aléatoirement. Xest la variable aléatoire égale à l’aire du triangle OAM.
1°Sur quel intervalle Xsuit-elle la loi uniforme ? En déduire l’espérance de X.
2°Xsuivant une loi uniforme de densité de probabilité fsur [a;b], on note « variance de X» notée V
( X ) , le réel
tel que V(X) = Zb
a
x2f(x) dx−E(X)2. Montrer que V(X) = (b−a)2
12 , puis donner sa valeur.

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3( 4 points )
Partie A
On considère une variable aléatoire Xqui suit la loi exponentielle de paramètre λavec λ > 0.
On rappelle que, pour tout réel astrictement positif, P(X6a) = Za
0
λe−λt dt.
On se propose de calculer l’espérance mathématique de X, notée E ( X ) , et définie par E ( X ) = lim
x→+∞Zx
0
λt e
−λt
d t.
On admet que la fonction Fdéfinie sur par F ( t ) = −t+1
λe−λt est une primitive sur de la fonction fdéfinie
sur par f(t) = λte−λt.
1°Soit xun nombre réel strictement positif. Vérifier que Zx
0
λte−λt dt=1
λ−λxe−λx −e−λx + 1.
2°En déduire que E(X) = 1
λ.
Partie B
La durée de vie, exprimée en années, d’un composant électronique peut être modélisée par une variable aléatoire notée
Xsuivant la loi exponentielle de paramètre λavec λ > 0.
La courbe de la fonction densité associée est représentée ci-dessous :
À restituer avec votre copie NOM :
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
x
y
O
1°Sur le graphique (à rendre avec la copie) :
a) Représenter la probabilité P(X61).
b) Indiquer où se lit directement la valeur de λ.
2°On suppose que E(X) = 2.
a) Que représente dans le cadre de l’exercice la valeur de l’espérance mathématique de la variable aléatoire X?
b) Calculer la valeur de λ.
c) Calculer P(X62). On donnera la valeur exacte puis la valeur arrondie à 0,01 près. Interpréter ce résultat.
d) Sachant que le composant a déjà fonctionné une année, quelle est la probabilité que sa durée de vie totale soit
d’au moins trois années ? On donnera la valeur exacte.