Exercice 1 : ( 5 Points) On considère la fonction f définie sur par
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Exercice 1 : ( 5 Points)
On considère la fonction f définie sur par :
1) Déterminer la limite de f en
.
( aide : on montrera que
)
Solution
Or
!"#
Et
donc
et
Donc, par somme, on obtient
2) Déterminer la limite de f en −∞ .
( Rappel :
$%&'($
$
)
Solution
On a
)*(+,
+,
Posons : -
, quand .; alors -
On sait que
$%
-
- /!01
2
303140
Par composition, on a
3) On admet que f est dérivable sur 5 , et que l’on a :
2
Solution : Montrer que f est dérivable sur
5
:
On a
continue, dérivable et strictement positif sur
5
, donc
continue,
dérivable sur
5
.
De plus
continue, dérivable sur
5
.
Donc, f est continue, dérivable sur
5
.
2
.
+6,+,
(+,
.
+6,
+6,(
Soit
2
Contrôle de mathématiques Ts
Vendredi 5 avril 2013
Correction
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4) En déduire une primitive 7 de sur 5.
Solution
Il suffit de trouver une primitive de
+6,
+6,(
avec
8 , qui est sous la forme de 9
:;
:
<
On a
2
+6,
(+6,
Or on a .=+
+6,
+6,(
.
2
.
+6,
+6,(
d’où
7 ..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
D’où 7 .
Exercice 2 :( 4 Points)
On pose, pour tout entier n,
>
*
?
&'
@
+
(
1
1. En dérivant la fonction
sur ABC, déterminer >
%
.
Solution
Posons D surABC, ,la fonction est dérivable et sa dérivée est :
D
2
On a donc D
2
. ce qui nous permet de trouver une primitive à , qui
est : D. .
Donc
>
E
?
)*
F
+
(
1 ?
+
(
1 G
(
H
.I
(
+
.-
2. Calculer>
(
.
Solution
>
(
J
(
+
(
1 K
L
H
M
(
+
L
H
.
L
H
L
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3. Montrer que la suite >
*
est une suite positive.
Solution
La fonction
*
est positive sur
ABC, donc >
*
est une suite positive
4. Montrer que la suite >
*
est décroissante.
Solution
Sur ABC, on a N
O
(
O
O
(
@PQ
O
(
@
O
&'
@PQ
O
&'
@
O >
*(
O >
*
D’où la suite >
*
est décroissante
5. Montrer que, R 8 B S>
*
S?
(
@
+
(
. En déduire la limite de la suite >
*
.
Solution
Sur ABC, on a S S
O O
O
O
(
@
O >
*
O?
1
Avec
?
(
@
+
(
1 G
(
*(
(
@6Q
I
(
+
(
*(
9.
(
+
@6Q
<
Exercice 3 : ( 4 Points)
Deux amis TUV et TWV se donnent rendez-vous dans un centre commercial entre LX et YX.
TUV décide d’arriver à LXYB alors que «B» arrive au hasard entre 12 h et 13 h.
a. Quelle est la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire T donnant l’heure
d’arrivée de TWV ?
Solution
La loi est la loi uniforme sur l’intervalle ALZYC[
On rappelle que, pour une telle loi :\Z]^
_`
(a(H
]. avec et ] en heure
b. Calculer la probabilité que TWV arrive avant TUV[
Solution
On veut b S LBc, car il doit donc arriver avant 12 h 30, ce qui correspond en
heure à 12,5h.
Soit b S LBc L S b S LBc LBc.L Bc
(
H
La probabilité que « B » arrive avant « A » est donc de
(
H
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c. Calculer la probabilité que TUV attende plus de 
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c. Calculer la probabilité que le composant résiste plus de Y .
Solution
Cette probabilité correspond à :
b 8 Y .b O Y .?Bc
a%%%
%
%B%%%j
1
.G
(
H
.
%B%%%j
I
%
a%%%
%B%%%ja%%%
.
%B%%%j%
%B%%%ja%%%
.
BLLY
d. Calculer la probabilité que le composant ne soit pas désintégré au bout de L
sachant qu’il n’a pas été désintégré au bout de 1000 ans.
Solution
Sachant que la loi exponentielle est sans vieillissement, on a :
no(%%%
b 8 L b 8
Et
b 8 .b O =.?Bc
(%%%
%
%B%%%j
1
.K
L.
%B%%%j
M
%
(%%%
%B%%%j(%%%
.
%B%%%j%
%B%%%j(%%%
.
Bhhc
e. Calculer la durée de vie moyenne d’un composant.
Solution
On sait que pb
(
q
(
%B%%%j
L.
La durée de vie moyenne d’un composant est donc de 2000 années.
1
/
5
100%
