Contrôle de mathématiques Ts Vendredi 5 avril 2013 Correction Exercice 1 : ( 5 Points) On considère la fonction f définie sur par : = ln 1 + 1) Déterminer la limite de f en +∞ . = + ln 1 + ) ( aide : on montrera que Solution = 1+ = 1+ = = × + ln 1 + = + ln 1 + Or lim =0 !" é → Et lim 1 + = 1 donc lim ln 1 + → → Donc, par somme, on obtient lim → =0 + ln 1 + = ln 1 = 0 et lim → =0 2) Déterminer la limite de f en −∞ . &' ( $ ( Rappel :lim $ = 1) $→% Solution On a = 1+ Posons : - = On sait que = , quand )* ( + , +, → −∞ ; alors - → 0 ln 1 + = 1 / ! 0 123 0 3 1 4 $→% Par composition, on a lim =1 lim 0 → 3) On admet que f est dérivable sur ℝ , et que l’on a : 2 + = +1 Solution : Montrer que f est dérivable sur ℝ: On a 1 + continue, dérivable et strictement positif sur ℝ, donc ln 1 + dérivable sur ℝ. De plus continue, dérivable sur ℝ. Donc, f est continue, dérivable sur ℝ. 2 Soit =− ln 1 + + + 6, + , ( +, 2 Source : http://sebjaumaths.free.fr =− + ln 1 + = + 6, + + 6, continue, ( +1 www.ma-i.fr 4) En déduire une primitive 7 de sur ℝ. Solution + 6, Il suffit de trouver une primitive de On a ln 1 + 2 = + 6, ( ( + 6, + 6, 7 : + 6, =− Exercice 2 :( 4 Points) + &' On pose, pour tout entier n, >* = ?( 1. En dérivant la fonction Solution Posons D = ln On a donc est : F ( d’où − 1+ + 1 ln 1 + + 1 @ sur [ 1 , ], déterminer >% . → sur[ 1 , ], ,la fonction est dérivable et sa dérivée est : 1 D2 = 1 × ln + × = ln + 1 = D2 − 1 ce qui nous permet de trouver une primitive à D + )* >E = ?( :; > 0, qui est sous la forme de 9 < avec = − ′ + 6, = − 2 − 6, + ( + − ln 1 + =− 1+ 1+ − 1+ 1+ − ln − 1+ 1+ − 1+ − − Or on a 7 =− =− =− =− D’où Donc + 6, − + = − + ( 1 = ?( ln 1 = G H , qui − I = − -1 ( 1+1=1 2. Calculer>( . Solution + >( = J ( Source : http://sebjaumaths.free.fr ( 1 1 = K ln 2 H + M = ( 1 ln 2 H − 1 ln 1 2 H = 1 2 www.ma-i.fr 3. Montrer que la suite >* est une suite positive. Solution La fonction * est positive sur [ 1 , ], donc >* est une suite positive = 4. Montrer que la suite >* est décroissante. Solution ( Sur [ 1 , ], on a ≥ 0 0< <1 0 < >* ( < >* D’où la suite >* est décroissante 5. Montrer que, ∀ + ( > 1 , 0 ≤ >* ≤ ?( Solution Sur [ 1 , ], on a 1 ≤ + ( Avec ?( @ 1 =G 0< ( ≤ * ( × ( @ @6Q I = ( < ( 0< @ &' @PQ < &' @ . En déduire la limite de la suite >* . 0 < ln + ( @PQ <1 * ( 0< < ( 9− + @6Q + 1< ( ( @ 0 < >* < ?1 1 1 Exercice 3 : ( 4 Points) Deux amis «U» et «W» se donnent rendez-vous dans un centre commercial entre 12 ℎ et 13 ℎ. « U» décide d’arriver à 12 ℎ 30, alors que «B» arrive au hasard entre 12 h et 13 h. a. Quelle est la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire T donnant l’heure d’arrivée de « W » ? Solution La loi est la loi uniforme sur l’intervalle [ 12 ; 13 ]. _ ` On rappelle que, pour une telle loi : \ ; ]^ = (a (H = ] − avec et ] en heure b. Calculer la probabilité que « W » arrive avant « U ». Solution On veut b ≤ 12,5 , car il doit donc arriver avant 12 h 30, ce qui correspond en heure à 12,5h. ( Soit b ≤ 12,5 = 12 ≤ b ≤ 12,5 = 12,5 − 12 = 0,5 = H ( La probabilité que « B » arrive avant « A » est donc de H Source : http://sebjaumaths.free.fr www.ma-i.fr c. Calculer la probabilité que « U » attende plus de 10 ! . Solution La probabilité que « A » attende plus de 10 min correspond à la probabilité que « B » arrive entre 12 h 40 et 13 h d% H La conversion de 40 min en heure est = , donc on veut : e% a 2 2 1 f12 + ≤ b ≤ 13g = 13 − f12 + g = 3 3 3 ( La probabilité que « A » attende plus de 10 min est donc de a.. d. Calculer la probabilité que « W » attende moins de 5 ! . Solution « B » doit arriver entre 12 h 25 et 12 h 30, on veut donc : 25 25 1 ≤ b ≤ 12,5g = 12,5 − f12 + g = 60 60 12 ( La probabilité que « B » attende moins de 5 min est donc de (H. f12 + Exercice 4 : ( 6 Points) La durée de vie, en années, d’un composant radioactif est une variable aléatoire b qui suit la loi exponentielle de paramètre i = 0,0005 . a. Calculer b < 1500 . Solution On a : (j%% b < 1500 = ?% 0,0005 %,%%%j = − %,%%%j×(j%% − − = 0,5276 ( 1 = GH − %,%%%j×% %,%%%j =− (j%% I % %,%%%j×(j%% +1 b. Calculer 1500 < b < 2500 . Solution Hj%% 1500 < b < 2500 = ?(j%% 0,0005 =− = 0,1859 %,%%%j×Hj%% Source : http://sebjaumaths.free.fr %,%%%j − − ( 1 =G − H %,%%%j×(j%% %,%%%j Hj%% I (j%% www.ma-i.fr c. Calculer la probabilité que le composant résiste plus de 3000 Solution Cette probabilité correspond à : a%%% b > 3000 = 1 − b < 3000 = 1 − ?% 0,0005 ( =1−G − %,%%%j H %,%%%j×a%%% = 1+ = 0,2231 a%%% I % + − %,%%%j×% = 1+ . %,%%%j 1 %,%%%j×a%%% −1 d. Calculer la probabilité que le composant ne soit pas désintégré au bout de 2000 sachant qu’il n’a pas été désintégré au bout de 1000 ans. Solution Sachant que la loi exponentielle est sans vieillissement, on a : b > 1000 no(%%% b > 2000 = Et (%%% b > 1000 = 1 − b < 1000 = 1 − ?% 0,0005 %,%%%j 1 (%%% 1 %,%%%j =1−K − M 2 % = 1+ %,%%%j×(%%% + − %,%%%j×% = 1+ %,%%%j×(%%% − 1 = 0,6065 e. Calculer la durée de vie moyenne d’un composant. Solution ( ( On sait que p b = q = %,%%%j = 2000. La durée de vie moyenne d’un composant est donc de 2000 années. Source : http://sebjaumaths.free.fr www.ma-i.fr