Correction - Sebjaumaths

Exercice 1 : ( 5 points )
On considère la fonction f définie sur par :
( ) ln 1
xx
f x e e
1) Donner la limite de f en .
On a
( ) ln 1 ln 1 ln 1
x x x x x x x x
f x e e e e e xe e e
Or
lim 0
x
xxe
( croissance comparée )
Et
lim1 1
x
xe
donc
lim ln(1 ) 0
x
xe
et
lim 0
x
xe
Donc, par somme, on a
lim ln(1 ) 0
x x x
xxe e e
2) Donner la limite de f en .
On a
ln(1 )
( ) ln 1 x
xx xe
f x e e e
, avec
lim 0
x
xe
et
0
ln(1 )
lim 1
y
y
y
( limite d’un taux
de variation….)
Par composition, on trouve donc
lim ( ) 1
xfx
.
3) Montrer que f est dérivable sur :
On a
1x xe
continue, dérivable et strictement positif sur , donc
ln(1 )
x
xe
continue,
dérivable sur .
De plus
x
xe
continue, dérivable sur .
Donc, f est continue, dérivable sur .
'( ) ln 1 ln 1
11
x x x
x x x x
xx
e e e
f x e e e e
ee
soit
'( ) ( ) 1
x
x
e
f x f x e
4) En déduire une primitive F de f sur
Il suffit de trouver une primitive de
1
x
x
e
xe
, avec
10
x
e
, qui est sous la forme
'u
u
.
On a
ln(1 ) ' 1
x
xx
e
xe e
.
Avec
( ) '( ) '( )
11
xx
xx
ee
f x f x f x
ee
, d’où
( ) ( ) ln(1 ) ln(1 ) ln (1 ) (1 )ln(1 )
x x x x x x x
F x f x e e e e e e e x
Exercice 2 : ( 6 points )
On pose, pour tout entier n,
1
ln
e
nn
x
I dx
x
.
1. En dérivant la fonction
lnx x x
sur [ 1 ,e ], déterminer
0
I
.
Posons
( ) lng x x x
sur [ 1 ,e ],l a fonction est dérivable et sa dérivée est :
1
'( ) ln ln 1g x x x x
x
.
Contrôle de mathématiques Ts
Vendredi 5 avril 2013
Correction

On a donc
ln '( ) 1x g x
, ce qui nous permet de trouver une primitive à ln.
Donc
001
11
ln ln ln ( ln ) (1ln1 1) 1
ee e
x
I dx xdx x x x e e e
x
2. Calculer
1
I
.
2
111
ln 1 1
ln
22
e
ex
I dx x
x
3. Montrer que la suite
n
I
est une suite positive.
La fonction
ln
:
nn
x
fx x
est positive sur [ 1 ,e ], donc
n
I
est une suite positive.
4. Montrer que la suite
n
I
est décroissante.
Sur [ 1 ,e ], on a
1
11
1 1 1 ln ln
1 0 1 0 0 0 nn
n n n n
xx
x I I
x x x x x 
Donc la suite
n
I
est décroissante.
5. Montrer que,
1
1
1,0 e
nn
n I dx
x
. En déduire la limite de la suite
n
I
.
Sur [ 1 ,e ], on a
1
ln 1 1
1 0 ln( ) 1 0 0 e
n
n n n
x
x e x I dx
x x x
.
Avec
11
11
1 1 1 1 1 1
11
e
e
n n n
dx
x n x n e
.
Exercice 3 : ( 4 points )
Deux amis «A» et «B» se donnent rendez-vous dans un centre commercial entre 12 h et 13 h.
« A» décide d’arriver à 12 h 30, alors que «B» arrive au hasard entre 12 h et 13 h.
a. Quelle est la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire T donnant l’heure
d’arrivée de « B » ?
La loi est la loi uniforme sur l’intervalle [ 12 ; 13 ].
On rappelle que, pour une telle loi :
( ; ) 13 12
ba
P a b b a
, avec a et b en heure.
b. Calculer la probabilité que « B » arrive avant « A ».
On veut
( 12,5)PT
, car il doit donc arriver avant 12 h 30, ce qui correspond en heure à 12,5
h.
Soit
12,5 12 1
( 12,5) (12 12,5) 0,5
13 12 2
P T P T 
.
La probabilité que « B » arrive avant « A » est donc de
1
2
.
c. Calculer la probabilité que « A » attende plus de 10 min.
Il faut que « B » arrive entre 12 h 40 et 13 h

La conversion de 40 min en heure est
40 2
60 3
, donc on veut :
2
13 12
21
3
(12 13)
3 13 12 3
PT
La probabilité que « A » attende plus de 10 min est donc de
1
3
.
d. Calculer la probabilité que « B » attende moins de 5 min.
« B » doit arriver entre 12 h 25 et 12 h 30, on veut donc :
5
12,5 12
25 1
12
(12 12,5)
60 13 12 12
PT
.
La probabilité que « B » attende moins de 5 min est donc de
1
12
.
Exercice 4 : ( 6 points )
La durée de vie, en années, d’un composant radioactif est une variable aléatoire T qui suit la
loi exponentielle de paramètre
0,0005
.
a. Calculer
( 1500)PT
.
On a :
1500 1500
0,0005 0,0005 0,0005 1500
0
0
( 1500) 0,0005 1 0,5276
xx
P T e dx e e
b. Calculer
(1500 2500)PT
.
2500 2500
0,0005 0,0005 0,0005 2500 0,0005 1500
1500
1500
(1500 2500) 0,0005 0,1859
xx
P T e dx e e e
c. Calculer la probabilité que le composant résiste plus de 3000 ans.
On veut :
3000 3000
0,0005 0,0005 0,0005 3000
0
0
( 3000) 1 ( 3000) 1 0,0005 1 0,2231
xx
P T P T e dx e e
d. Calculer la probabilité que le composant ne soit pas désintégré au bout de 2000 ans
sachant qu’il n’a pas été désintégré au bout de 1000 ans.
Sachant que la loi exponentielle est sans vieillissement, on a :
1000 ( 2000) ( 1000) T
P T P T
Et
1000 1000
0,0005 0,0005 0,0005 1000
0
0
( 1000) 1 ( 1000) 1 0,0005 1 0,6065
xx
P T P T e dx e e
e. Calculer la durée de vie moyenne d’un composant.
On sait que
11
( ) 2000
0,0005
ET
. La durée de vie moyenne d’un composant est donc
de 2000 années.