Correction - Sebjaumaths

Contrôle de mathématiques Ts
Vendredi 5 avril 2013
Correction
Exercice 1 : ( 5 points )
On considère la fonction f définie sur
par :
f ( x)  e ln 1  e x 
x
1) Donner la limite de f en  .
On a f ( x)  e x ln 1  e x   e x ln e x 1  e x   xe x  e x ln 1  e x 


Or lim xe x  0 ( croissance comparée )
x 
Et lim 1  e x  1 donc lim ln(1  e x )  0 et lim e x  0
x 
x 
x 
Donc, par somme, on a lim xe x  e x ln(1  e x )  0
x 
2) Donner la limite de f en  .
ln(1  y)
ln(1  e x )
 1 ( limite d’un taux
On a f ( x)  e x ln 1  e x  
, avec lim e x  0 et lim
x
y

0
x 
y
e
de variation….)
Par composition, on trouve donc lim f ( x)  1 .
x 
3) Montrer que f est dérivable sur
:
x
On a x 1  e continue, dérivable et strictement positif sur
dérivable sur .
De plus x e x continue, dérivable sur
Donc, f est continue, dérivable sur .
, donc x
ln(1  e x ) continue,
.
e x e x
e x
x
x


e
ln
1

e



1  ex
1  e x
e x
f '( x)  f ( x)   x
soit
e 1
4) En déduire une primitive F de f sur
e x
u'
Il suffit de trouver une primitive de x
, avec e x  1  0 , qui est sous la forme   .
x
e 1
u
f '( x)  e x ln 1  e x  
e x
.
1  e x
e x
e x
  f '( x)   x
Avec f ( x)   f '( x)   x
, d’où
e 1
e 1
On a  x
ln(1  e x )  ' 
F ( x)   f ( x)  ln(1  e x )  e x ln(1  e x )  ln  e x (1  e x )   (1  e x ) ln(1  e x )  x
Exercice 2 : ( 6 points )
On pose, pour tout entier n, I n  
e
1
ln x
dx .
xn
1. En dérivant la fonction x x ln x sur [ 1 ,e ], déterminer I 0 .
Posons g ( x)  x ln x sur [ 1 ,e ],l a fonction est dérivable et sa dérivée est :
1
g '( x)  ln x  x   ln x  1 .
x
On a donc ln x  g '( x) 1, ce qui nous permet de trouver une primitive à ln.
e ln x
e
e
Donc I 0   0 dx   ln xdx   x ln x  x 1  (e ln e  e)  (1ln1  1)  1
1 x
1
2. Calculer I1 .
I1  
e
1
e
ln x
1
2
1
dx    ln x   
x
2
1 2
3. Montrer que la suite  I n  est une suite positive.
ln x
La fonction f n : x
est positive sur [ 1 ,e ], donc  I n  est une suite positive.
xn
4. Montrer que la suite  I n  est décroissante.
1
1
1
ln x ln x
 1  0  n1  n  0  n 1  n  0  I n1  I n
x
x
x
x
x
Donc la suite  I n  est décroissante.
Sur [ 1 ,e ], on a x  1  0 
1
dx . En déduire la limite de la suite  I n  .
xn
e 1
ln x 1
Sur [ 1 ,e ], on a 1  x  e  0  ln( x)  1  0  n  n  0  I n   n dx .
1 x
x
x
e
e 1
1 
1  1
 1

Avec  n dx   
 n 1  
  n 1  1 .
1 x
 n  1 x 1 n  1  e

5. Montrer que, n  1, 0  I n  
e
1
Exercice 3 : ( 4 points )
Deux amis «A» et «B» se donnent rendez-vous dans un centre commercial entre 12 h et 13 h.
« A» décide d’arriver à 12 h 30, alors que «B» arrive au hasard entre 12 h et 13 h.
a. Quelle est la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire T donnant l’heure
d’arrivée de « B » ?
La loi est la loi uniforme sur l’intervalle [ 12 ; 13 ].
ba
On rappelle que, pour une telle loi : P( a; b) 
 b  a , avec a et b en heure.
13  12
b. Calculer la probabilité que « B » arrive avant « A ».
On veut P(T  12,5) , car il doit donc arriver avant 12 h 30, ce qui correspond en heure à 12,5
h.
12,5  12
1
Soit P(T  12,5)  P(12  T  12,5) 
 0,5  .
13  12
2
1
La probabilité que « B » arrive avant « A » est donc de .
2
c. Calculer la probabilité que « A » attende plus de 10 min.
Il faut que « B » arrive entre 12 h 40 et 13 h
40 2
 , donc on veut :
60 3
La conversion de 40 min en heure est
2

13  12  
2
3 1

P(12   T  13) 

3
13  12
3
1
.
3
d. Calculer la probabilité que « B » attende moins de 5 min.
« B » doit arriver entre 12 h 25 et 12 h 30, on veut donc :
5

12,5  12  
25
12  1

P(12 
 T  12,5) 
 .
60
13  12
12
La probabilité que « A » attende plus de 10 min est donc de
La probabilité que « B » attende moins de 5 min est donc de
1
.
12
Exercice 4 : ( 6 points )
La durée de vie, en années, d’un composant radioactif est une variable aléatoire T qui suit la
loi exponentielle de paramètre   0,0005 .
a. Calculer P(T  1500) .
On a :
P(T  1500)  
1500
0
1500
0, 0005e0,0005 x dx  e0,0005 x 
0
 e0,00051500  1 0,5276
b. Calculer P(1500  T  2500) .
P(1500  T  2500)  
2500
1500
0, 0005e0,0005 x dx  e0,0005 x 
2500
1500
 e0,00052500  e0,00051500
0,1859
c. Calculer la probabilité que le composant résiste plus de 3000 ans.
On veut :
P(T  3000)  1  P(T  3000)  1  
3000
0
0, 0005e0,0005 x dx  1  e0,0005 x 
3000
0
 e0,00053000
0, 2231
d. Calculer la probabilité que le composant ne soit pas désintégré au bout de 2000 ans
sachant qu’il n’a pas été désintégré au bout de 1000 ans.
Sachant que la loi exponentielle est sans vieillissement, on a :
PT 1000 (T  2000)  P(T  1000)
Et
P(T  1000)  1  P(T  1000)  1  
1000
0
1000
0, 0005e0,0005 x dx  1  e0,0005 x 
0
 e0,00051000
e. Calculer la durée de vie moyenne d’un composant.
1
1
On sait que E (T )  
 2000 . La durée de vie moyenne d’un composant est donc
 0, 0005
de 2000 années.
0, 6065