Algèbre Fonctions Trigonométrie 2C

Algèbre
Fonctions
Trigonométrie
2C

Table des matières
1 Algèbre 3
1.1 Introduction et rappels ............................. 3
1.2 Méthode de la division euclidienne ...................... 7
1.3 Fractions rationnelles .............................. 14
2 Fonctions 19
2.1 Intervalles réels ................................. 19
2.2 Introduction informelle ............................. 20
2.3 Fonction donnée par une formule ....................... 24
2.4 Tableau de valeurs ............................... 24
2.5 Représentation graphique à partir du tableau de valeurs ........... 25
2.6 Le rôle de notre langage : le français ..................... 26
2.7 Etude d’une fonction .............................. 27
2.8 Ensemble de définition ............................. 27
2.9 Zéros ....................................... 29
2.10 Signe ....................................... 30
3 Trigonométrie 33
3.1 La mesure des angles .............................. 33
3.2 Le triangle rectangle .............................. 35
3.3 Les fonctions trigonométriques ......................... 37
3.4 Le triangle quelconque ............................. 42
1

Chapitre 1
Algèbre
1.1 Introduction et rappels
Polynômes
On va s’intéresser dans le chapitre suivant à la factorisation des polynômes à une va-
riable par la méthode de la division euclidienne. La présente introduction rappelle certains
concepts de base sur les polynômes et les méthodes de factorisation déjà travaillées en
première année.
Un polynôme est en général présenté sous la forme de blocs de lettres ou de parenthèses
contenant elles-mêmes des polynômes, élevés à certaines puissances et séparés par un signe
plus ou un signe moins. Les trois objets ci-dessous sont des exemples de polynômes :
xy2+x2y−2x−3y s3·t2−s4·t2+s·t A3+ 3A2B−3AB2+B3
Nous nous intéresserons surtout aux polynômes à une variable qui sont écrits en n’utilisant
qu’une seule lettre, comme ci-dessous :
x3−2x+ 2 (x2+x+ 1)5x7+x2−5x
Il est important de noter ici qu’un polynôme peut être écrit de différentes manières. En
effet, le polynôme
(x+ 1)2−2x
est identique au polynôme
x2+ 1
qui est lui-même identique au polynôme
x(x+ 1) −(x−1)
3

4 Mathématiques 2C
D’une expression à l’autre
Pour passer d’une expression polynômiale à une autre on fait des calculs de développe-
ment, de réduction ou de factorisation :
(x+ 1) ·(x2−2x+ 3)
x3−x2+x+ 3
développer et réduire
factoriser
a) Voici un exemple de développement et réduction d’une expression :
x·(x+ 1) −(x−1) = x·x+x·1−x−(−1) = x2+x−x+ 1 = x2+ 1
On observe qu’il s’agit de faire tous les calculs possibles, puis de grouper les éléments
qui peuvent être additionnés.
b) Ci-dessous, un exemple de factorisation
x2+ 2x+ 1 = x2+x+x+ 1 = x·(x+ 1) + 1 ·(x+ 1) = (x+ 1) ·(x+ 1)
Il faut avoir l’idée de séparer les 2xen x+x, de faire deux mises en évidence partielles
et de finir par la mise en évidence d’un groupe.
Deux choses sont à prendre en compte ici :
a) Le développement et la réduction d’une expression polynômiale sont des tech-
niques. Elles peuvent à ce titre être maîtrisées par l’être humain.
b) La factorisation est un art. Une expression polynômiale prise au hasard est souvent
impossible à factoriser. Le recours à l’intuition est nécessaire.
Techniques de factorisation
Pour pouvoir factoriser efficacement, on a recours à une série de techniques que l’on
applique en boucle jusqu’à factorisation complète du polynôme. On doit parfois parcourir
plusieurs fois la boucle ci-dessous :