TD 3 - Produits directs et semi-directs

FIMFA 2007-2008-TD d’algèbre I
Rachel Ollivier
TD 3 - Produits directs et semi-directs
Exercice 1 (Les p-Sylow de Sn). Soit n≥1et pun nombre premier ≤n.
1. Calculer la valuation p-adique de n!: c’est le nombre ktel que pkest le cardinal des p-Sylow
de Sn.On pourra remarquer que pour k∈N, l’ensemble Akdes éléments de {1, ..., n}de
valuation p-adique égale à kest de cardinal E(n/pk)−E(n/pk+1).
2. Déterminer les p-Sylow de Sp. Montrer en particulier qu’ils sont cycliques. Combien y en
a-t-il ?
3. Soit m≥2. On suppose connu un Sylow Sde Spm−1. Montrer qu’un p-Sylow de Spmest
isomorphe à un produit semi-direct de copies de Set de Z/pZ.On pourra d’abord découper
l’ensemble {1, ..., pm}en psous-ensembles de cardinal pm−1et construire un sous-groupe N
de Spmisomorphe à p-copies de S.
4. En déduire la forme des p-Sylow de Sn.On écrit nen base psous la forme n=Piaipi.
A l’aide de la première question, montrer que la valuation p-adique vp(n!) de nest égale
àvp(n!) = Piaivp(pi!). En déduire qu’un p-Sylow de Snest un produit direct de aicopies
d’un Sylow de Spipour iparcourant N.
Exercice 2 (Groupe dihédral). Soit n∈N, n ≥3. L’ensemble Rndes racines nième de l’unité
représentées dans Cforment un polygône régulier à ncôtés centré en 0auquel on l’identifie. On
note Dnle groupe des isométries affines du plan qui laissent Rninvariant.
1. Exhiber un sous-groupe distingué d’ordre nde Dnet montrer que Dnest de cardinal 2n.
Montrer que Dn≃Z/nZ⋊Z/2Z.
2. Quel est le cardinal du centre Z(Dn)du groupe dihédral ?
3. Si ddivise n, identifier Dn
davec un quotient de Dn.
Exercice 3. Soient nun entier strictement positif et Kun corps. On considère la suite exacte
(1) 1→SLn(K)→GLn(K)det →K∗→1.
1. Montrer que GLn(K)est produit semi-direct de SLn(K)par K∗.
2. Montrer qu’il existe une section de (1) qui identifie GLn(K)au produit direct SLn(K)×K∗
si et seulement s’il existe un morphisme de groupes s:K∗→K∗tel que pour tout x∈K∗
on a s(x)n=x.
3. En supposant que K=R, déterminer les valeurs de npour lesquelles il existe une section
de (1) qui identifie GLn(K)au produit direct SLn(K)×K∗.
4. Même question avec K=C, puis avec Kun corps fini.
Exercice 4 (Groupes d’ordre 8). 1. Soit Gun groupe d’ordre 8. En discutant selon la
valeur du maximum des ordres des éléments de G, montrer que Gest isomorphe à l’un des
groupes suivants :
Z/8Z, , (Z/2Z)3,Z/2Z×Z/4Z, D4,H8
1

2
où H8={±1,±i, ±j, ±k}désigne le groupe des quaternions dont la table est donnée par
i2=j2=k2=−1, ij =−ji =k,
jk =−kj =i, ki =−ik =j.
2. Vérifier que le groupe des quaternions n’est ni un produit direct, ni un produit semi-direct
de deux sous-groupes non triviaux.
3. Décrire les 2-Sylow de SL2(F3).
Exercice 5. Soient pun nombre premier impair et G1le sous-groupe de SL2(Fp)formé des
matrices triangulaires supérieures :
G1= a b
0a−1, a, b ∈Fp, a 6= 0.
Écrire G1sous forme d’un produit semi-direct. Écrire toutes les classes de conjugaison de G1.
Exercice 6. Soit Gl’ensemble des matrices de GL3(R)de la forme 
a0b
0a c
0 0 d
, ad 6= 0.
1. Vérifier que Gest un sous-groupe de GL3(R).
2. Ecrire Gsous la forme d’un produit semi-direct. Est-ce un produit direct ?
Exercice 7. Soient H, N deux groupes.
1. Soit ψ:H→Aut Nun morphisme et αun automorphisme de H. On considère ϕ=ψ◦α:
H→Aut N. Montrer que N×ϕHet N×ψHsont isomorphes.
2. Soient pet qdeux nombres premiers distincts. Montrer que tout groupe d’ordre pq est
isomorphe à un produit semi-direct de Z/pZet de Z/qZ. Déterminer à isomorphisme près
tous les groupes d’ordre pq.
3. Déterminer à isomorphisme près tous les groupes d’ordre 21 (resp.35).
Exercice 8 (“Le” groupe (Z/pZ×Z/pZ)⋊Z/pZ). Soit pun nombre premier.
1. Montrer que l’ensemble des matrices triangulaires supérieures unipotentes est un p-Sylow
de GL2(Fp). Quel est le nombre de p-Sylow de GL2(Fp)?
2. Soient φet ψdeux morphismes non-triviaux de Z/pZdans GL2(Fp). Pour tout k∈Z, on
note φkle morphisme défini par
φk:Z/pZ→GL2(Fp), m 7→ φ(km).
Montrer qu’il existe k∈N,P∈GL2(Fp)tels que ψ=P φkP−1.
3. En déduire l’existence et l’unicité d’un produit semi-direct (non-direct) (Z/pZ×Z/pZ)⋊
Z/pZà isomorphisme près.
4. Montrer que le centre de (Z/pZ×Z/pZ)⋊Z/pZest isomorphe à Z/pZ.
indication : on pourra remarquer que si Gest un groupe et Hun sous-groupe central tel que
G/H est cyclique, alors Gest abélien.
5. Montrer que le sous-groupe de GL3(Fp)des matrices triangulaires supérieures unipotentes
est isomorphe à (Z/pZ×Z/pZ)⋊Z/pZ. Identifier son centre.