Limites, asymptotes, nombre dérivé, fonction dérivée

Fiche Cours
Nº : 22003
MATHEMATIQUES
Série ES
LE TALENT C’EST D’AVOIR ENVIE
Thème : Limites, asymptotes, nombre dérivé, fonction dérivée
Fiche 3 : Nombre dérivé, tangente à une courbe, fonction dérivée, règles de dérivation
Plan de la fiche
I - Nombre dérivé
II - Interprétation graphique du nombre dérivé, tangente à une courbe
III - Fonction dérivée, règles de dérivation
I - Nombre dérivé
C f étant la courbe représentative d’une fonction f, définie sur E f , soit a un réel donné de E f et x un réel variable de E f . Notons
A (a; f (a)) et M (x = a + h ; f (x) = f (a + h)) les points de C f correspondants (cf. figure 5).
Fig. 5 Vers le nombre dérivé...
DÉFINITION
f (a + h ) − f (a )
f ( x ) − f (a )
( = lim
) est un réel (donc non infini), unique (que x
x→a
h
x−a
tende vers a par valeurs inférieures ou supérieures à a). Ce réel, s’il existe, est noté f’ (a) et est dit nombre dérivé de
f en a.
On dit que f est dérivable en a si : lim
h→0
Exemple :
Soit f telle que f (x) = x 2 ; lim
h→0
(a + h ) 2 − a 2
f (a + h ) − f (a )
= lim
= … = lim (2 a + h) = 2 a (noter que cette limite avait un aspect
h→0
h→0
h
h
initial indéterminé, du type 0 ). Ainsi f est bien dérivable en a, et pour toute valeur a de IR – le nombre 2 a existant pour tout réel
0
a – le nombre dérivé est f’(a) = 2 a.
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► À SAVOIR
f (a + h ) − f (a )
f ( x ) − f (a )
( = lim
) n’existe pas ou est infinie on dit que f n’est pas dérivable en a.
x→a
x−a
h
• On dit que f est dérivable sur un intervalle D de IR si elle est dérivable en tout « point » a de D. On retiendra à ce
propos que tout polynôme est dérivable sur IR, toute fonction rationnelle (rapport de deux polynômes) est dérivable
•Si lim
h→0
sur son ensemble de définition.
II - Interprétation graphique du nombre dérivé, tangente à une courbe
Fig. 6 Le nombre dérivé : coefficient directeur de la tangente en A
Quand h tend vers 0, M se rapproche infiniment près de A. La corde (AM) tend alors à se confondre avec la tangente ( TA ) (en A)
f (a + h ) − f (a )
est, précisément, le coefficient directeur de la corde (AM). On peut
h
f (a + h ) − f (a )
donc comprendre que le nombre dérivé lim
= f’(a) n’est autre que le coefficient directeur de la tangente en A.
h→0
h
à C f , si cette tangente existe. Or le rapport
On admettra sans autre démonstration la règle ci-dessous.
RÈGLE
Si une fonction f est dérivable en a, C f admet en A (a ; f (a)) une tangente ( TA ), unique et non verticale, de coefficient
directeur m = f’ (a). Et réciproquement.
III - Fonction dérivée, règles de dérivation
DÉFINITION
Lorsqu’une fonction f est dérivable en a, a ∈ E f , le nombre dérivé est noté f’(a) ; cette notation signifie qu’il existe,
associée à f, une (autre) fonction notée f’ qui, à l’antécédent a, associe l’image f’(a) ; f’ est la fonction dérivée de f.
Exemple :
Quand on a f (x) = x , on a vu que f’(a) = 2 a : ceci se résume en disant que f est dérivable sur IR (car 2 a existe pour tout réel a)
et sa dérivée est la fonction f’ définie par f’(x) = 2 x.
2
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Dérivées usuelles et intervalles de dérivabilité :
f (x)
f’(x)
D
constante
0
IR
x n , n ∈ IN
nx
IR
n −1
1/ x
-1/ x 2
IR*
x
1/(2 x )
I R *+
Sin x
Cos x
IR
Cos x
– Sin x
Tan x
1 + (t a n x )
IR
2
x ≠ π/2 [?]
Tab. 2 Dérivées usuelles
RÈGLES
Règles de dérivation
u et v sont deux fonctions dérivables sur D, k une constante, n un entier naturel. Les résultats suivants sont à connaître
par cœur !
• f (x) = k · u (x) , f’(x) = k · u’ (x), ∀ x, x ∈ D
• f (x) = u (x) + v (x), f’(x) = u’(x) + v’(x), ∀ x, x ∈ D
• f (x) = u (x) × v (x), f’(x) = u’(x) · v(x) + u (x) · v’ (x), ∀ x, x ∈ D
• f (x) = u n (x), f’(x) = nu’(x) u n − 1 (x), ∀ x, x ∈ D
(cas particulier très fréquent : f (x) = u 2 (x), f’(x) = 2 u’(x) u (x), ∀ x, x ∈ D)
u' (x)
, ∀ x, x ∈ D et tel que u (x) > 0
2 u(x)
− v' ( x )
1
• f (x) =
, f’(x) = 2
, ∀ x, x ∈ D, et tel que v (x) ≠ 0
v( x )
v (x)
• f (x) =
• f (x) =
u ( x ) , f’(x) =
u(x)
u ' ( x ) v( x ) − u ( x ) v' ( x )
, f’(x) =
, ∀ x, x ∈ D, et tel que v (x) ≠ 0
v( x )
v 2 (x)
Dérivée d’une fonction composée : le résultat énoncé ci-dessous est particulièrement important en terminale :
Si f (x) = u [v (x)], on note symboliquement f = u ○ v, alors f’(x) = v’(x) · u’[v (x)]
(toutes les conditions sur les intervalles d’existence et de dérivabilité étant satisfaites).
Exemples :
• f (x) = v n (x) (soit f = u ○ v, avec u : x x n ), n ∈ IN. Donc f’(x) = v’(x) · n · [v ( x )]
(où l’on retrouve le 4e résultat des règles de dérivation ci-dessus).
• f (x) = v( x ) (soit f = u ○ v, avec u : x
de dérivation ci-dessus)
x ) . Donc f’(x) = v' ( x ) ×
n −1
v' ( x )
1
(où l’on retrouve le 5e résultat des règles
=
2 v( x )
2 v( x )
► À SAVOIR
Un cas usuel important : si v est affine, c’est-à-dire que v (x) = ax + b, on obtient : f’(x) = a · u (ax + b).
Exemple : f (x) = sin (2 x – 3), alors f’(x) = 2 cos (2 x – 3), (u = sin, v (x) = 2 x – 3).
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