Dérivation 1 Fonction carré : étude d`un exemple - maths

Première ES Dérivation
1 Fonction carré : étude d’un exemple
On considère la fonction fdéfinie sur Rpar f(x) = x2.
On donne ci-dessous la représentation graphique Cfde fdans un repère orthogonal.
On considère les points A(1; f(1)) et Mh(1 + h;f(1 + h)) avec h∈R.
La droite Thest la droite passant par A et Mh
1. Placer Mhpuis tracer Thpour les valeurs de h= 3,h= 2,h= 1 puis h= 0,5.
2. Calculer le coefficient directeur chde Thpour h= 1 puis h= 0,5
3. Calculs avec hquelconque :
(a) Exprimer le coefficient directeur chde Then fonction de hen simplifiant au maximum l’expression
obtenue.
*Rappel : Le coefficient directeur de Th,f(1 + h)−f(1)
(1 + h)−1est le taux de variation de fentre
1 et 1 + h.
(b) Déterminer lim
h→0ch
(c) Que représente la droite Thpour la courbe Cflorsque h→0?
La limite (si elle existe) du taux de variation de f(coefficient directeur de (AMh)) entre 1 et 1 + h
lorsque h→0est appelé nombre dérivé de fen x= 1 et se note f0(1).
On a donc ici : f0(1) = lim
h→0
f(1 + h)−f(1)
h= 2 et c’est donc le coefficient directeur de la tangente à
Cfau point d’abscisse 1.
4. Recherche du nombre dérivé de fpour une valeur réelle xquelconque :
On considère les points M0(x;f(x)) et Mh(x+h;f(x+h)) de la courbe Cfet on veut déterminer le nombre
dérivé f0(x)
(a) Exprimer le taux thde variation de fentre les points M0et Mh
(b) Déterminer alors lim
h→0then fonction de x
(c) En déduire f0(x)en fonction de x
(d) Retrouver alors le résultat de f0(2)
(e) En utilisant le résultat du c, déterminer f0(2) et tracer la tangente à la courbe Cfau point d’abscisse 2.
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2 Définition et propriété du nombre dérivé
2.1 Nombre dérivé
Définition 1 : Nombre dérivé de fen x=a
Soit fune fonction définie sur un intervalle I. Soit a∈Iet h6= 0 tel que a+h∈I.
On appelle taux de variation de fentre aet hle réel f(a+h)−f(a)
h.
On dit que fest dérivable en asi lim
h→0
f(a+h)−f(a)
hexiste et est finie et on note f0(a)le nombre dérivé de
fen a.
2.2 Interprétation graphique
propriété 2 :Interprétation graphique du nombre dérivé
Soit fune fonction définie sur Iet Cfsa représentation graphique dans un repère. Soit a∈I.
Si fest dérivable en aalors f0(a)est le coefficient directeur de la tangente à Cfau point A(a;f(a)). L’équation
de cette tangente est alors : y=f0(a)(x−a) + f(a).
Remarque : y=f0(a)(x−a) + f(a)⇐⇒ y=f0(a)x−af0(a) + f(a)
Le coefficient directeur de la droite dont l’équation est donnée ci-dessus est f0(a)et le point A(a;f(a)) appartient
à cette droite, en effet :
f0(a)×a−af0(a) + f(a) = f(a) = yA
2.3 Applications de la dérivation
2.3.1 Dérivée et variations
propriété 3 Soit fune fonction dérivable sur un intervalle I.
–fest croissante sur Isi et seulement si pour tout xde I,f0(x)≥0.
–fest constante sur Isi et seulement si pour tout xde I,f0(x) = 0.
–fest décroissante sur Isi et seulement si pour tout xde I,f0(x)≤0.
Exemple 1 :
Étudier les variations de la fonction fdéfinie sur Rpar f(x) = x2de la partie 1.
2.3.2 Extremums
Soit fune fonction dérivable sur un intervalle Iet x0∈I.
propriété 4 Si f(x0)est un extremum (maximum ou minimum) local de falors f0(x0) = 0.
Remarque : La réciproque de cette propriété est fausse. La condition f0(x0)=0ne suffit pas pour conclure
qu’il existe un extremum en x0(voir propriété ci-dessous).
propriété 5 Si f0s’annule en changeant de signe en x0alors f(x0)est un extremum local de f.
3 Dérivées des fonctions usuelles
fonction a x x2xnn∈N∗1
x
1
x2
1
xn(n∈N∗)√x
Dérivable sur :
Dérivée :
Exemple 2 : Calcul de dérivées]
1. Calculer la dérivée de la fonction fdéfinie sur Rpar f(x) = x3
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2. Calculer la dérivée de la fonction gdéfinie sur Rpar g(x) = x4
3. Calculer la dérivée de la fonction hdéfinie sur R∗par h(x) = 1
x3
4. Calculer la dérivée de la fonction idéfinie sur R∗par i(x) = 1
x4
4 Formules de dérivation
uet vsont deux fonctions dérivables sur un intervalle Ide Ret kun réel.
fonction ku u +v u ×v1
v(v6= 0 sur I)u v(v6= 0 sur I)
Dérivée :
Exemple 3 : Calcul de dérivées
1. Calculer la dérivée de la fonction fdéfinie sur Rpar f(x) = 3x3−4x2+ 5x+ 1
2. Calculer la dérivée de la fonction gdéfinie sur Rpar g(x) = −2
x2+ 3
3. Calculer la dérivée de la fonction hdéfinie sur Rpar h(x) = (x2−1)(x3+ 4)
4. Calculer la dérivée de la fonction idéfinie sur Rpar i(x) = x2−x+ 1
x2+ 1
5 Etude des variations d’une fonction avec le signe de la dérivée
Méthode
– Identifier les différents termes de f(x)et les formules à utiliser
– Calculer f(x)
– Factoriser au maximum f0(x)pour étudier son signe
– Identifier les facteurs de signe constant (carrés, facteurs positifs sur Df) pour simplifier l’étude du signe
5.1 Fonction polynôme
Exemple 4 : Fonction polynôme (de degré 3)
fest la fonction définie sur Rpar f(x) = x3+3
2x2−6x−3
Etudier les variations de f.
5.2 Fonction rationnelle
Exemple 5 : Fonction rationnelle
gest la fonction définie sur Rpar g(x) = x+ 1
x2+ 3
Etudier les variations de g.
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