Dérivation Première ES 1 Fonction carré : étude d’un exemple On considère la fonction f définie sur R par f (x) = x2 . On donne ci-dessous la représentation graphique Cf de f dans un repère orthogonal. On considère les points A(1; f (1)) et Mh (1 + h; f (1 + h)) avec h ∈ R. La droite Th est la droite passant par A et Mh 1. Placer Mh puis tracer Th pour les valeurs de h = 3, h = 2, h = 1 puis h = 0, 5. 2. Calculer le coefficient directeur ch de Th pour h = 1 puis h = 0, 5 3. Calculs avec h quelconque : (a) Exprimer le coefficient directeur ch de Th en fonction de h en simplifiant au maximum l’expression obtenue. f (1 + h) − f (1) * Rappel : Le coefficient directeur de Th , est le taux de variation de f entre (1 + h) − 1 1 et 1 + h. (b) Déterminer lim ch h→0 (c) Que représente la droite Th pour la courbe Cf lorsque h → 0 ? La limite (si elle existe) du taux de variation de f (coefficient directeur de (AMh )) entre 1 et 1 + h lorsque h → 0 est appelé nombre dérivé de f en x = 1 et se note f 0 (1). f (1 + h) − f (1) = 2 et c’est donc le coefficient directeur de la tangente à On a donc ici : f 0 (1) = lim h→0 h Cf au point d’abscisse 1. 4. Recherche du nombre dérivé de f pour une valeur réelle x quelconque : On considère les points M0 (x; f (x)) et Mh (x + h; f (x + h)) de la courbe Cf et on veut déterminer le nombre dérivé f 0 (x) (a) Exprimer le taux th de variation de f entre les points M0 et Mh (b) Déterminer alors lim th en fonction de x h→0 (c) En déduire f 0 (x) en fonction de x (d) Retrouver alors le résultat de f 0 (2) (e) En utilisant le résultat du c, déterminer f 0 (2) et tracer la tangente à la courbe Cf au point d’abscisse 2. 1/3 Lecarpentier J-F Dérivation Première ES 2 Définition et propriété du nombre dérivé 2.1 Nombre dérivé Définition 1 : Nombre dérivé de f en x = a Soit f une fonction définie sur un intervalle I. Soit a ∈ I et h 6= 0 tel que a + h ∈ I. f (a + h) − f (a) On appelle taux de variation de f entre a et h le réel . h f (a + h) − f (a) existe et est finie et on note f 0 (a) le nombre dérivé de On dit que f est dérivable en a si lim h→0 h f en a. 2.2 Interprétation graphique propriété 2 :Interprétation graphique du nombre dérivé Soit f une fonction définie sur I et Cf sa représentation graphique dans un repère. Soit a ∈ I. Si f est dérivable en a alors f 0 (a) est le coefficient directeur de la tangente à Cf au point A(a; f (a)). L’équation de cette tangente est alors : y = f 0 (a)(x − a) + f (a). Remarque : y = f 0 (a)(x − a) + f (a) ⇐⇒ y = f 0 (a)x − af 0 (a) + f (a) Le coefficient directeur de la droite dont l’équation est donnée ci-dessus est f 0 (a) et le point A(a; f (a)) appartient à cette droite, en effet : f 0 (a) × a − af 0 (a) + f (a) = f (a) = yA 2.3 Applications de la dérivation 2.3.1 Dérivée et variations propriété 3 Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. – f est croissante sur I si et seulement si pour tout x de I, f 0 (x) ≥ 0. – f est constante sur I si et seulement si pour tout x de I, f 0 (x) = 0. – f est décroissante sur I si et seulement si pour tout x de I, f 0 (x) ≤ 0. Exemple 1 : Étudier les variations de la fonction f définie sur R par f (x) = x2 de la partie 1. 2.3.2 Extremums Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I et x0 ∈ I. propriété 4 Si f (x0 ) est un extremum (maximum ou minimum) local de f alors f 0 (x0 ) = 0. Remarque : La réciproque de cette propriété est fausse. La condition f 0 (x0 ) = 0 ne suffit pas pour conclure qu’il existe un extremum en x0 (voir propriété ci-dessous). propriété 5 Si f 0 s’annule en changeant de signe en x0 alors f (x0 ) est un extremum local de f . 3 Dérivées des fonctions usuelles fonction a x x2 xn n ∈ N∗ 1 x 1 x2 1 (n ∈ N∗ ) xn √ x Dérivable sur : Dérivée : Exemple 2 : Calcul de dérivées] 1. Calculer la dérivée de la fonction f définie sur R par f (x) = x3 2/3 Lecarpentier J-F Première ES Dérivation 2. Calculer la dérivée de la fonction g définie sur R par g(x) = x4 1 3. Calculer la dérivée de la fonction h définie sur R∗ par h(x) = 3 x 1 4. Calculer la dérivée de la fonction i définie sur R∗ par i(x) = 4 x 4 Formules de dérivation u et v sont deux fonctions dérivables sur un intervalle I de R et k un réel. 1 u fonction ku u+v u×v (v 6= 0 sur I) (v 6= 0 sur I) v v Dérivée : Exemple 3 : Calcul de dérivées 1. Calculer la dérivée de la fonction f définie sur R par f (x) = 3x3 − 4x2 + 5x + 1 2 2. Calculer la dérivée de la fonction g définie sur R par g(x) = − 2 x +3 3. Calculer la dérivée de la fonction h définie sur R par h(x) = (x2 − 1)(x3 + 4) 4. Calculer la dérivée de la fonction i définie sur R par i(x) = 5 x2 − x + 1 x2 + 1 Etude des variations d’une fonction avec le signe de la dérivée Méthode – Identifier les différents termes de f (x) et les formules à utiliser – Calculer f (x) – Factoriser au maximum f 0 (x) pour étudier son signe – Identifier les facteurs de signe constant (carrés, facteurs positifs sur Df ) pour simplifier l’étude du signe 5.1 Fonction polynôme Exemple 4 : Fonction polynôme (de degré 3) 3 f est la fonction définie sur R par f (x) = x3 + x2 − 6x − 3 2 Etudier les variations de f . 5.2 Fonction rationnelle Exemple 5 : Fonction rationnelle g est la fonction définie sur R par g(x) = Etudier les variations de g. x+1 x2 + 3 3/3 Lecarpentier J-F