Formulaire de révision Nombres complexes Polynômes

Chapitre 0
Formulaire de révision
Ce formulaire ne remplace en aucun cas un cours. Si l’un de ces énoncés pose question, je vous renvoie à votre
cours de première année.
Nombres complexes
Théorème 1 (Formules d’Euler)
eiθ = cos(θ) + i sin(θ)
iθ
cos(θ) =
e +e
2
−iθ
;
sin(θ) =
;
eiθ − e−iθ
.
2i
Propriété 2
cos2 (x) + sin2 (x) = 1
cos(a + b) = cos(a) cos(b) − sin(a) sin(b)
;
;
sin(a + b) = sin(a) cos(b) + sin(b) cos(a)
cos(2x) = cos2 (x) − sin2 (x) = 2 cos2 (x) − 1
;
;
sin(2x) = 2 cos(x) sin(x).
Polynômes
Théorème 3 (Division euclidienne pour les polynômes)
Soit A et B deux polynômes. On suppose que B n’est pas le polynôme nul.
Alors il existe un unique couple (Q, R) de polynômes tel que deg(R) < deg(B) et A = BQ + R.
Propriété 4 (ordre de multiplicité d’une racine)
Soit P un polynôme, a ∈ R et k ∈ N,
(
(X − a)k |P
a est racine d’ordre k de P ⇔
(X − a)k+1 - P
(
P (X) = (X − a)k Q(X)
⇔ ∃Q ∈ R[X],
Q(a) 6= 0
⇔ P (a) = P 0 (a) = · · · = P (k−1) (a) = 0 et P (k) (a) 6= 0
ECS2
Lycée Louis Pergaud
Suites réelles
Théorème 5 (Théorème de la limite monotone)
ˆ Toute suite croissante et majorée converge.
Toute suite croissante et non majorée diverge vers +∞.
ˆ Toute suite décroissante et minorée converge.
Toute suite décroissante et non minorée diverge vers −∞.
Théorème 6 (Suites adjacentes)
Si (un )n∈N est une suite croissante, (vn )n∈N est une suite décroissante et
lim (un − vn ) = 0 alors
n→+∞
les suites (un )n∈N et (vn )n∈N convergent vers la même limite ` ∈ R. De plus on a pour tout n ∈ N :
un ≤ ` ≤ vn .
Propriété 7 (Suites arithmétiques, suites géométriques)
ˆ Une suite (un )n≥n0 est dite arithmétique lorsqu’il existe r ∈ R tel que :
∀n ∈ N avec n ≥ n0 ,
un+1 = un + r.
Expression explicite : Pour tout n ∈ N avec n ≥ n0 , un = un0 + (n − n0 )r.
ˆ Une suite (un )n≥n0 est dite géométrique lorsqu’il existe q ∈ R tel que :
∀n ∈ N avec n ≥ n0 ,
un+1 = qun .
Expression explicite : Pour tout n ∈ N avec n ≥ n0 , un = q n−n0 un0 .
Propriété 8 (Suites arithmético-géométriques)
Une suite (un )n∈N est dite arithmético-géométrique lorsqu’il existe (a, b) ∈ R2 , a 6= 1, tel que :
∀n ∈ N,
un+1 = aun + b
(1)
Expression explicite : On cherche α ∈ R tel que :
α = aα + b
(2)
On pose alors pour tout n ∈ N, vn = un − α.
On montre que la suite (vn )n∈N est géométrique en faisant (1)-(2).
On donne l’expression explicite de (vn )n∈N , et on en déduit celle de (un )n∈N .
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Lycée Louis Pergaud
Propriété 9 (Relation de récurrence linéaire d’ordre 2 à coefficients réels)
Une suite (un )n≥n0 satisfait une relation de récurrence linéaire d’ordre 2 à coefficients réels s’il existe
(a, b) ∈ R2 tel que :
∀n ∈ N, un+2 = aun+1 + bun .
Expression explicite : On résout l’équation caractéristique r2 = ar + b.
ˆ S’il y a deux solutions réelles distinctes r1 et r2 , alors il existe (α, β) ∈ R2 tels que pour tout
n ∈ N, un = αr1n + βr2n .
ˆ S’il y a une unique solution réelle r0 , alors il existe (α, β) ∈ R2 tels que pour tout n ∈ N,
un = (α + βn)r0n .
ˆ S’il y a deux solutions complexes conjuguées r± = ρe±iθ , alors il existe (α, β) ∈ R2 tels que
pour tout n ∈ N, un = ρn (α cos(nθ) + β sin(nθ)).
Pour déterminer α et β, on utilise deux termes de la suite (habituellement u0 et u1 ).
Fonctions réelles d’une variable réelle
Propriété 10
Si f est continue sur l’intervalle I alors f (I) est un intervalle.
De plus, dans le cas I = [a, b[ où a et b vérifient −∞ < a < b ≤ +∞, on a :
ˆ f (I) = [f (a), lim f (x)[ si f est croissante,
x→b
ˆ f (I) =] lim f (x), f (a)] si f est décroissante.
x→b
Théorème 11 (Théorème de la bijection)
Si f est continue et strictement monotone sur l’intervalle I alors :
ˆ f (I) est un intervalle,
ˆ f réalise une bijection de I sur f (I),
ˆ f −1 : f (I) → I est continue et strictement monotone sur f (I) (de même sens de variation que
f ).
Théorème 12 (Théorème des valeurs intermédiaires)
Soit f une fonction continue sur un intervalle [a, b].
Pour tout réel k compris entre f (a) et f (b), il existe c ∈ [a, b] tel que f (c) = k.
Théorème 13 (Théorème de Rolle)
Soit f une fonction continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[.
Si f (a) = f (b) alors il existe c ∈]a, b[ tel que f 0 (c) = 0.
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Théorème 14 (Égalité des accroissements finis)
Soit f une fonction continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[.
f (b) − f (a)
Alors il existe c ∈]a, b[ tel que f 0 (c) =
.
b−a
Théorème 15 (Inégalité des accroissements finis)
ˆ Soit f une fonction continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[.
On suppose qu’il existe deux réels m et M tels que pour tout x ∈]a, b[, m ≤ f 0 (x) ≤ M .
Alors :
m(b − a) ≤ f (b) − f (a) ≤ M (b − a).
ˆ Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.
On suppose qu’il existe un réel M tel que pour tout x ∈ I, |f 0 (x)| ≤ M .
Alors :
|f (b) − f (a)| ≤ M |b − a|.
Théorème 16 (Formule de Leibniz )
Si f et g sont n fois dérivables sur l’intervalle I alors f × g est n fois dérivable sur I et on a :
(f g)(n) =
n n X
n (k) (n−k) X n (k) (n−k)
g f
.
f g
=
k
k
k=0
k=0
Théorème 17 (Formules de Taylor )
ˆ Formule de Taylor avec reste intégral à l’ordre n
Soit f une fonction de classe C n+1 sur un intervalle I.
Soit a et x deux éléments distincts de I.
Alors on a :
Z x (n+1)
n
X
f (k) (a)
f
(t)
k
f (x) =
(x − a) +
(x − t)n dt.
k!
n!
a
k=0
ˆ Inégalité de Taylor-Lagrange à l’ordre n
Soit f une fonction de classe C n+1 sur un intervalle I.
On suppose que |f (n+1) | est majorée par un réel M sur I.
Alors pour tout (a, x) ∈ I 2 , on a :
n
X
f (k) (a)
M
k
(x − a) ≤
|x − a|n+1 .
f (x) −
(n + 1)!
k!
k=0
ˆ Formule de Taylor-Young à l’ordre n
Soit f une fonction de classe C n sur un intervalle I.
Alors pour tout (a, x) ∈ I 2 , on a :
f (x) =
n
X
f (k) (a)
k=0
k!
(x − a)k + o
x→a
(x − a)n .
4
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Propriété 18 (Développements limités classiques au voisinage de 0)
ˆ ex = 1 + x +
x2
xn
+ ··· +
+ o(xn )
2!
n!
ˆ cos(x) = 1 −
x2
x4
x2n
+
+ · · · + (−1)n
+ o(x2n+1 )
2!
4!
(2n)!
ˆ sin(x) = x −
x3
x5
x2n+1
+
+ · · · + (−1)n
+ o(x2n+2 )
3!
5!
(2n + 1)!
ˆ
1
= 1 + x + x2 + · · · + xn + o(xn )
1−x
ˆ ln(1 − x) = −x −
x2
x3
xn
−
+ ··· −
+ o(xn )
2
3
n
ˆ (1 + x)α = 1 + αx +
α(α − 1) 2 α(α − 1)(α − 2) 3
α(α − 1) . . . (α − n + 1) n
x +
x +· · ·+
x + o(xn )
2!
3!
n!
Propriété 19 (Convexité)
Soit f : I → R de classe C 2 sur I.
f est convexe ⇔ ∀x, y ∈ I, ∀t ∈ [0, 1], f ((1 − t)x + ty) ≤ (1 − t)f (x) + tf (y)
⇔ f est au dessus de ses tangentes
⇔ f 0 est croissante sur I
⇔ ∀x ∈ I, f 00 (x) ≥ 0
Théorème 20 (Sommes de Riemann)
Soit f une fonction continue sur le segment [a, b].
Z b
n
n−1 b−a X
b−a
b−a
b−a X
On a lim
f a+k
f a+k
= lim
=
f (t)dt.
n→+∞
n→+∞
n
n
n
n
a
k=1
k=0
5