Formulaire de révision Nombres complexes Polynômes

Formulaire de r´evision
Chapitre 0
Ce formulaire ne remplace en aucun cas un cours. Si l’un de ces ´enonc´es pose question, je vous renvoie `a votre
cours de premi`ere ann´ee.
Nombres complexes
eiθ = cos(θ) + isin(θ) ;
cos(θ) = eiθ +e−iθ
2; sin(θ) = eiθ −e−iθ 2i.
Th´eor`eme 1 (Formules d’Euler)
cos2(x) + sin2(x) = 1 ;
cos(a+b) = cos(a) cos(b)−sin(a) sin(b) ; sin(a+b) = sin(a) cos(b) + sin(b) cos(a) ;
cos(2x) = cos2(x)−sin2(x) = 2 cos2(x)−1 ; sin(2x) = 2 cos(x) sin(x).
Propri´et´e 2
Polynˆomes
Soit Aet Bdeux polynˆomes. On suppose que Bn’est pas le polynˆome nul.
Alors il existe un unique couple (Q, R) de polynˆomes tel que deg(R)<deg(B) et A=BQ +R.
Th´eor`eme 3 (Division euclidienne pour les polynˆomes)
Soit Pun polynˆome, a∈Ret k∈N,
aest racine d’ordre kde P⇔((X−a)k|P
(X−a)k+1 -P
⇔ ∃Q∈R[X],(P(X)=(X−a)kQ(X)
Q(a)6= 0
⇔P(a) = P0(a) = · · · =P(k−1)(a) = 0 et P(k)(a)6= 0
Propri´et´e 4 (ordre de multiplicit´e d’une racine)

ECS2 Lyc´ee Louis Pergaud
Suites r´eelles
Toute suite croissante et major´ee converge.
Toute suite croissante et non major´ee diverge vers +∞.
Toute suite d´ecroissante et minor´ee converge.
Toute suite d´ecroissante et non minor´ee diverge vers −∞.
Th´eor`eme 5 (Th´eor`eme de la limite monotone)
Si (un)n∈Nest une suite croissante, (vn)n∈Nest une suite d´ecroissante et lim
n→+∞(un−vn) = 0 alors
les suites (un)n∈Net (vn)n∈Nconvergent vers la mˆeme limite `∈R. De plus on a pour tout n∈N:
un≤`≤vn.
Th´eor`eme 6 (Suites adjacentes)
Une suite (un)n≥n0est dite arithm´etique lorsqu’il existe r∈Rtel que :
∀n∈Navec n≥n0, un+1 =un+r.
Expression explicite : Pour tout n∈Navec n≥n0,un=un0+ (n−n0)r.
Une suite (un)n≥n0est dite g´eom´etrique lorsqu’il existe q∈Rtel que :
∀n∈Navec n≥n0, un+1 =qun.
Expression explicite : Pour tout n∈Navec n≥n0,un=qn−n0un0.
Propri´et´e 7 (Suites arithm´etiques, suites g´eom´etriques)
Une suite (un)n∈Nest dite arithm´etico-g´eom´etrique lorsqu’il existe (a, b)∈R2,a6= 1, tel que :
∀n∈N, un+1 =aun+b(1)
Expression explicite : On cherche α∈Rtel que :
α=aα +b(2)
On pose alors pour tout n∈N,vn=un−α.
On montre que la suite (vn)n∈Nest g´eom´etrique en faisant (1)-(2).
On donne l’expression explicite de (vn)n∈N, et on en d´eduit celle de (un)n∈N.
Propri´et´e 8 (Suites arithm´etico-g´eom´etriques)
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ECS2 Lyc´ee Louis Pergaud
Une suite (un)n≥n0satisfait une relation de r´ecurrence lin´eaire d’ordre 2 `a coefficients r´eels s’il existe
(a, b)∈R2tel que :
∀n∈N, un+2 =aun+1 +bun.
Expression explicite : On r´esout l’´equation caract´eristique r2=ar +b.
S’il y a deux solutions r´eelles distinctes r1et r2, alors il existe (α, β)∈R2tels que pour tout
n∈N,un=αrn
1+βrn 2.
S’il y a une unique solution r´eelle r0, alors il existe (α, β)∈R2tels que pour tout n∈N,
un= (α+βn)rn
0.
S’il y a deux solutions complexes conjugu´ees r±=ρe±iθ , alors il existe (α, β)∈R2tels que
pour tout n∈N,un=ρn(αcos(nθ) + βsin(nθ)).
Pour d´eterminer αet β, on utilise deux termes de la suite (habituellement u0et u1).
Propri´et´e 9 (Relation de r´ecurrence lin´eaire d’ordre 2 `a coefficients r´eels)
Fonctions r´eelles d’une variable r´eelle
Si fest continue sur l’intervalle Ialors f(I) est un intervalle.
De plus, dans le cas I= [a, b[ o`u aet bv´erifient −∞ < a < b ≤+∞, on a :
f(I)=[f(a),lim
x→bf(x)[ si fest croissante,
f(I) =] lim
x→bf(x), f(a)] si fest d´ecroissante.
Propri´et´e 10
Si fest continue et strictement monotone sur l’intervalle Ialors :
f(I) est un intervalle,
fr´ealise une bijection de Isur f(I),
f−1:f(I)→Iest continue et strictement monotone sur f(I) (de mˆeme sens de variation que
f).
Th´eor`eme 11 (Th´eor`eme de la bijection)
Soit fune fonction continue sur un intervalle [a, b].
Pour tout r´eel kcompris entre f(a) et f(b), il existe c∈[a, b] tel que f(c) = k.
Th´eor`eme 12 (Th´eor`eme des valeurs interm´ediaires)
Soit fune fonction continue sur [a, b] et d´erivable sur ]a, b[.
Si f(a) = f(b) alors il existe c∈]a, b[ tel que f0(c) = 0.
Th´eor`eme 13 (Th´eor`eme de Rolle)
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ECS2 Lyc´ee Louis Pergaud
Soit fune fonction continue sur [a, b] et d´erivable sur ]a, b[.
Alors il existe c∈]a, b[ tel que f0(c) = f(b)−f(a)
b−a.
Th´eor`eme 14 (´ Egalit´e des accroissements finis)
Soit fune fonction continue sur [a, b] et d´erivable sur ]a, b[.
On suppose qu’il existe deux r´eels met Mtels que pour tout x∈]a, b[, m≤f0(x)≤M.
Alors :
m(b−a)≤f(b)−f(a)≤M(b−a).
Soit fune fonction d´erivable sur un intervalle I.
On suppose qu’il existe un r´eel Mtel que pour tout x∈I,|f0(x)| ≤ M.
Alors :
|f(b)−f(a)| ≤ M|b−a|.
Th´eor`eme 15 (In´egalit´e des accroissements finis)
Si fet gsont nfois d´erivables sur l’intervalle Ialors f×gest nfois d´erivable sur Iet on a :
(fg)(n)=
n
X
k=0 n
kf(k)g(n−k)=
n
X
k=0 n
kg(k)f(n−k).
Th´eor`eme 16 (Formule de Leibniz )
Formule de Taylor avec reste int´egral `a l’ordre n
Soit fune fonction de classe Cn+1 sur un intervalle I.
Soit aet xdeux ´el´ements distincts de I.
Alors on a :
f(x) =
n
X
k=0
f(k)(a)
k!(x−a)k+Zx
a
f(n+1)(t)
n!(x−t)ndt.
In´egalit´e de Taylor-Lagrange `a l’ordre n
Soit fune fonction de classe Cn+1 sur un intervalle I.
On suppose que |f(n+1)|est major´ee par un r´eel Msur I.
Alors pour tout (a, x)∈I2, on a :
f(x)−
n
X
k=0
f(k)(a)
k!(x−a)k
≤M
(n+ 1)!|x−a|n+1.
Formule de Taylor-Young `a l’ordre n
Soit fune fonction de classe Cnsur un intervalle I.
Alors pour tout (a, x)∈I2, on a :
f(x) =
n
X
k=0
f(k)(a)
k!(x−a)k+o
x→a(x−a)n.
Th´eor`eme 17 (Formules de Taylor )
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ECS2 Lyc´ee Louis Pergaud
ex= 1 + x+x2
2! +· · · +xn n!+o(xn)
cos(x) = 1 −x2
2! +x4 4! +· · · + (−1)nx2n (2n)! +o(x2n+1)
sin(x) = x−x3
3! +x5 5! +· · · + (−1)nx2n+1 (2n+ 1)! +o(x2n+2)
1
1−x= 1 + x+x2+· · · +xn+o(xn)
ln(1 −x) = −x−x2
2−x3 3+· · · − xn n+o(xn)
(1+ x)α= 1 + αx +α(α−1)
2! x2+α(α−1)(α−2) 3! x3+· · ·+α(α−1) . . . (α−n+ 1) n!xn+o(xn)
Propri´et´e 18 (D´eveloppements limit´es classiques au voisinage de 0)
Soit f:I→Rde classe C2sur I.
fest convexe ⇔ ∀x, y ∈I, ∀t∈[0,1], f ((1 −t)x+ty)≤(1 −t)f(x) + tf (y)
⇔fest au dessus de ses tangentes
⇔f0est croissante sur I
⇔ ∀x∈I, f00(x)≥0
Propri´et´e 19 (Convexit´e)
Soit fune fonction continue sur le segment [a, b].
On a lim
n→+∞
b−a
n
n
X
k=1
fa+kb−a
n= lim
n→+∞
b−a
n
n−1
X
k=0
fa+kb−a
n=Zb
a
f(t)dt.
Th´eor`eme 20 (Sommes de Riemann)
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