chap 8 : Continuité Continuité d`une fonction réelle

Lyc´ee Henri IV chap 8 : Continuit´e HKBL
Continuit´e d’une fonction r´eelle
I Continuit´e en un point
1.1 D´efinition
d´efinition 1.1 :
Soit f:IRune fonction d´efinie sur une partie Ide R, et soit aun r´eel appartenant `a I.
On dit que fest continue en asi et seulement si
lim
xaf(x) = f(a)
ce qui est ´equivalent, avec des quantificateurs, `a :
ε > 0,η > 0| ∀xI, |xa|< η ⇒ |f(x)f(a)|< ε
remarque : dire que fest continue en aest ´equivalent `a dire que :
fest d´efinie en a
et fposs`ede une limite en a
exemples : en cours
interpr´etation graphique : en cours
1.2 continuit´e `a gauche et `a droite
d´efinition 1.2 :
Soit f:IRune fonction d´efinie sur une partie Ide R, et soit aun r´eel appartenant `a I.
On dit que
fest continue droite de asi et seulement si
lim
xa
x<a
f(x) = f(a)
fest continue gauche de asi et seulement si
lim
xa
x>a
f(x) = f(a)
exemples : en cours
propri´et´e 1.3 :
Soit f:IRune fonction d´efinie sur une partie Ide R, et soit aun r´eel adh´erent `a Iqui n’appartient
pas `a I.
on suppose que
lim
xaf(x) = lR
On d´efinit alors la fonction fsur I∪ {a}par :
xI, f(x) = f(x) si x6=a
lsi x=a
Alors cette fonction est continue en a.
On l’appelle prolongement de fpar continuit´e au point a.
exemples : en cours
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II Continuit´e sur un intervalle
2.1 d´efinition
propri´et´e 2.1 :
On dit que fest continue sur l’intervalle Isi et seulement si fest continue en tout point de I.
On note C0(I;R) ou C(I;R) ou C(I) ou C0(I) l’ensemble des fonctions continues sur l’intervalle I.
exemples : en cours
2.2 fonctions usuelles
propri´et´e 2.2 :
nN, x 7→ xnest continue sur R.
αR, x 7→ xαest continue sur [0; +[ si α > 0, et sur ]0; +[ sinon.
x7→ exest continue sur R.
x7→ ln xest continue sur ]0; +[.
x7→ |x|est continue sur R.
2.2 op´erations sur les fonctions continues
propri´et´e 2.3 :
Soit Iun intervalle r´eel.
La somme de deux fonctions continues sur Iest une fonction continue sur I.
Le produit de deux fonctions continues sur Iest une fonction continue sur I.
Si fet gsont deux fonctions continues sur Itelles que, pour tout xI, g(x)6= 0, alors le quotient f
gest
une fonction continue sur I.
cons´equence :
les fonctions polynˆomes sont continues sur R.
les fonctions rationnelles sont continues sur chaque intervalle de leur ensemble de d´efinition.
2.3 compos´ee de deux fonctions continues
propri´et´e 2.4 :
Soit fune fonction continue sur un intervalle Iet gune fonction continue sur un intervalle J tel que
g(J)I
Alors la fonction compos´ee fgest continue sur I.
exemples : en cours
III suites et continuit´e d’une fonction
3.1 le th´eor`eme de la limite s´equentielle
th´eor`eme 3.1 :
Soient :
fune fonction d´efinie sur une partie Ide R, et lun r´eel.
– (un) une suite de r´eels de Iet et aun point adh´erent `a I.
Si :
– lim
n+
un=a
– lim
xaf(x) = l
alors :
lim
n+
f(un) = l
remarque : on peut interpr´eter ce th´eor`eme comme ´etant une propri´et´e sur la limite de la compos´ee d’une fonction
par une suite.
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On d´eduit de ce th´eor`eme une caract´erisation de la continuit´e `a l’aide des suites :
corollaire 3.2 : caract´erisation s´equentielle de la continuit´e
Soient fune fonction d´efinie sur une partie Ide Ret aun r´eel de I.
Alors :
fest continue en asi et seulement si ,
pour toute suite (xn) de points de Iconvergeant vers a, la suite (f(xn)) converge vers f(a).
preuve : partielle, en cours.
remarques : On peut utiliser ce th´eor`eme de la fa¸con suivante :
sens direct : pour d´emontrer qu’une suite ( ici f(xn) ) converge.
par la contrapos´ee du sens direct : pour montrer qu’une fonction n’est pas continue en ail suffit de trouver une
suite (xn) convergeant vers aet telle que f(xn) ne converge pas vers f(a).
Par exemple :
f:x7→ sin 1
xsix6= 0,et f(0) = lR
3.3 continuit´e et suite r´ecurrente
On d´eduit du th´eor`eme s´equentiel la propri´et´e vue dans le cours sur les suites :
propri´et´e 3.3
Soient fune fonction r´eelle d´efinie sur un ensemble Det (un) la suite r´ecurrente
u0D
nN, un+1 =f(un)
On suppose que la suite est bien d´efinie et que :
1. la suite (un) converge vers un r´eel l
2. fest continue en l
alors
lest un point fixe de f
Preuve : en cours
Remarque : La contrapos´ee de cette propri´et´e nous dit que :
si fne poss`ede pas de point fixe alors
fn’est pas continue en lou (un) ne converge pas vers l
et donc
si fest une fonction continue sur chaque intervalle de son ensemble de d´efinition D.
si fne poss`ede pas de point fixe
alors
la suite (un)ne converge pas vers un point de D.
et si Dest ferm´e alors
la suite (un)diverge
III Le th´eor`eme des valeurs interm´ediaires
5.1 Le TVI
th´eor`eme 4.1 :
Soit fune fonction continue sur un intervalle Iet soient aet bdeux r´eels de I.
Alors :
fprend toutes les valeurs comprises entre f(a) et f(b) quand xparcourt le segment [a;b]
pour tout r´eel kcompris entre f(a) et f(b),α[a;b] : f(α) = k
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interpr´etation graphique : en cours
Remarques :
le th´eor`eme ne fournit pas la valeur du r´eel α, mais assure juste son existence.
En g´en´eral on en d´etermine un encadrement par deux r´eels x1et x2en montrant que kest compris entre f(x1)
et f(x2), avec la pr´ecision souhait´ee.
On peut pour cela utiliser un tableau de valeurs ( par exemple avec une calculatrice, si elle est autoris´ee...) ou
faire une dichotomie ( sera vu en DM ).
il n y a pas, en g´en´eral, unicit´e de α
en pratique on peut toujours prendre k= 0 en introduisant la fonction g=fk.
Il suffit alors de chercher aet btels que f(a) et f(b) soient de signes oppos´es
le th´eor`eme se g´en´eralise avec a=±∞ et/ou b=±∞.
Dans ce cas on cherche `a prouver que kest compris entre les limites de fen aet/ou b
Preuve : en cours
Exemples : en cours
corollaire 4.2 :
Si, dans le TVI, la fonction fest strictement monotone sur I, alors le r´eel αest unique.
4.2 Image d’un intervalle
propri´et´e 4.3 :
Soit fune fonction d´efinie sur un intervalle I.
Si fest continue alors f(I) est un intervalle.
Preuve : en cours
exemples et contre-exemples : en cours
V continuit´e sur un segment
5.1 th´eor`eme du maximum
th´eor`eme 5.1 :
Si fest une fonction continue sur un segment [a;b] alors
fest born´ee et atteint ses bornes
preuve : admis
cons´equence : toute fonction continue sur un segment poss`ede un maximum et un minimum.exemples : en cours
corollaire 5.2 :
Si fest une fonction continue sur un segment [a;b] alors
f([a;b]) = [m;M] avec mminimum et Mmaximum de fsur [a;b]
preuve : en cours
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