chap 8 : Continuité Continuité d`une fonction réelle

Lyc´ee Henri IV chap 8 : Continuit´e HKBL
Continuit´e d’une fonction r´eelle
I Continuit´e en un point
1.1 D´efinition
d´efinition 1.1 :
Soit f:I→Rune fonction d´efinie sur une partie Ide R, et soit aun r´eel appartenant `a I.
On dit que fest continue en asi et seulement si
lim
x→af(x) = f(a)
ce qui est ´equivalent, avec des quantificateurs, `a :
∀ε > 0,∃η > 0| ∀x∈I, |x−a|< η ⇒ |f(x)−f(a)|< ε
remarque : dire que fest continue en aest ´equivalent `a dire que :
–fest d´efinie en a
– et fposs`ede une limite en a
exemples : en cours
interpr´etation graphique : en cours
1.2 continuit´e `a gauche et `a droite
d´efinition 1.2 :
Soit f:I→Rune fonction d´efinie sur une partie Ide R, et soit aun r´eel appartenant `a I.
On dit que
–fest continue droite de asi et seulement si
lim
x→a
x<a
f(x) = f(a)
–fest continue gauche de asi et seulement si
lim
x→a
x>a
f(x) = f(a)
exemples : en cours
propri´et´e 1.3 :
Soit f:I→Rune fonction d´efinie sur une partie Ide R, et soit aun r´eel adh´erent `a Iqui n’appartient
pas `a I.
on suppose que
lim
x→af(x) = l∈R
On d´efinit alors la fonction fsur I∪ {a}par :
∀x∈I, f(x) = f(x) si x6=a
lsi x=a
Alors cette fonction est continue en a.
On l’appelle prolongement de fpar continuit´e au point a.
exemples : en cours
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II Continuit´e sur un intervalle
2.1 d´efinition
propri´et´e 2.1 :
On dit que fest continue sur l’intervalle Isi et seulement si fest continue en tout point de I.
On note C0(I;R) ou C(I;R) ou C(I) ou C0(I) l’ensemble des fonctions continues sur l’intervalle I.
exemples : en cours
2.2 fonctions usuelles
propri´et´e 2.2 :
–∀n∈N, x 7→ xnest continue sur R.
–∀α∈R, x 7→ xαest continue sur [0; +∞[ si α > 0, et sur ]0; +∞[ sinon.
–x7→ exest continue sur R.
–x7→ ln xest continue sur ]0; +∞[.
–x7→ |x|est continue sur R.
2.2 op´erations sur les fonctions continues
propri´et´e 2.3 :
Soit Iun intervalle r´eel.
–La somme de deux fonctions continues sur Iest une fonction continue sur I.
–Le produit de deux fonctions continues sur Iest une fonction continue sur I.
– Si fet gsont deux fonctions continues sur Itelles que, pour tout x∈I, g(x)6= 0, alors le quotient f
gest
une fonction continue sur I.
cons´equence :
– les fonctions polynˆomes sont continues sur R.
– les fonctions rationnelles sont continues sur chaque intervalle de leur ensemble de d´efinition.
2.3 compos´ee de deux fonctions continues
propri´et´e 2.4 :
Soit fune fonction continue sur un intervalle Iet gune fonction continue sur un intervalle J tel que
g(J)⊂I
Alors la fonction compos´ee f◦gest continue sur I.
exemples : en cours
III suites et continuit´e d’une fonction
3.1 le th´eor`eme de la limite s´equentielle
th´eor`eme 3.1 :
Soient :
–fune fonction d´efinie sur une partie Ide R, et lun r´eel.
– (un) une suite de r´eels de Iet et aun point adh´erent `a I.
Si :
– lim
n→+∞
un=a
– lim
x→af(x) = l
alors :
lim
n→+∞
f(un) = l
remarque : on peut interpr´eter ce th´eor`eme comme ´etant une propri´et´e sur la limite de la compos´ee d’une fonction
par une suite.
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On d´eduit de ce th´eor`eme une caract´erisation de la continuit´e `a l’aide des suites :
corollaire 3.2 : caract´erisation s´equentielle de la continuit´e
Soient fune fonction d´efinie sur une partie Ide Ret aun r´eel de I.
Alors :
fest continue en asi et seulement si ,
pour toute suite (xn) de points de Iconvergeant vers a, la suite (f(xn)) converge vers f(a).
preuve : partielle, en cours.
remarques : On peut utiliser ce th´eor`eme de la fa¸con suivante :
– sens direct : pour d´emontrer qu’une suite ( ici f(xn) ) converge.
– par la contrapos´ee du sens direct : pour montrer qu’une fonction n’est pas continue en ail suffit de trouver une
suite (xn) convergeant vers aet telle que f(xn) ne converge pas vers f(a).
Par exemple :
f:x7→ sin 1
xsix6= 0,et f(0) = l∈R
3.3 continuit´e et suite r´ecurrente
On d´eduit du th´eor`eme s´equentiel la propri´et´e vue dans le cours sur les suites :
propri´et´e 3.3
Soient fune fonction r´eelle d´efinie sur un ensemble Det (un) la suite r´ecurrente
u0∈D
∀n∈N, un+1 =f(un)
On suppose que la suite est bien d´efinie et que :
1. la suite (un) converge vers un r´eel l
2. fest continue en l
alors
lest un point fixe de f
Preuve : en cours
Remarque : La contrapos´ee de cette propri´et´e nous dit que :
si fne poss`ede pas de point fixe alors
fn’est pas continue en lou (un) ne converge pas vers l
et donc
– si fest une fonction continue sur chaque intervalle de son ensemble de d´efinition D.
– si fne poss`ede pas de point fixe
alors
la suite (un)ne converge pas vers un point de D.
et si Dest ferm´e alors
la suite (un)diverge
III Le th´eor`eme des valeurs interm´ediaires
5.1 Le TVI
th´eor`eme 4.1 :
Soit fune fonction continue sur un intervalle Iet soient aet bdeux r´eels de I.
Alors :
fprend toutes les valeurs comprises entre f(a) et f(b) quand xparcourt le segment [a;b]
⇔
pour tout r´eel kcompris entre f(a) et f(b),∃α∈[a;b] : f(α) = k
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interpr´etation graphique : en cours
Remarques :
– le th´eor`eme ne fournit pas la valeur du r´eel α, mais assure juste son existence.
En g´en´eral on en d´etermine un encadrement par deux r´eels x1et x2en montrant que kest compris entre f(x1)
et f(x2), avec la pr´ecision souhait´ee.
On peut pour cela utiliser un tableau de valeurs ( par exemple avec une calculatrice, si elle est autoris´ee...) ou
faire une dichotomie ( sera vu en DM ).
–il n y a pas, en g´en´eral, unicit´e de α
– en pratique on peut toujours prendre k= 0 en introduisant la fonction g=f−k.
Il suffit alors de chercher aet btels que f(a) et f(b) soient de signes oppos´es
– le th´eor`eme se g´en´eralise avec a=±∞ et/ou b=±∞.
Dans ce cas on cherche `a prouver que kest compris entre les limites de fen aet/ou b
Preuve : en cours
Exemples : en cours
corollaire 4.2 :
Si, dans le TVI, la fonction fest strictement monotone sur I, alors le r´eel αest unique.
4.2 Image d’un intervalle
propri´et´e 4.3 :
Soit fune fonction d´efinie sur un intervalle I.
Si fest continue alors f(I) est un intervalle.
Preuve : en cours
exemples et contre-exemples : en cours
V continuit´e sur un segment
5.1 th´eor`eme du maximum
th´eor`eme 5.1 :
Si fest une fonction continue sur un segment [a;b] alors
fest born´ee et atteint ses bornes
preuve : admis
cons´equence : toute fonction continue sur un segment poss`ede un maximum et un minimum.exemples : en cours
corollaire 5.2 :
Si fest une fonction continue sur un segment [a;b] alors
f([a;b]) = [m;M] avec mminimum et Mmaximum de fsur [a;b]
preuve : en cours
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