Lyc´ee Henri IV chap 8 : Continuit´e HKBL
On d´eduit de ce th´eor`eme une caract´erisation de la continuit´e `a l’aide des suites :
corollaire 3.2 : caract´erisation s´equentielle de la continuit´e
Soient fune fonction d´efinie sur une partie Ide Ret aun r´eel de I.
Alors :
fest continue en asi et seulement si ,
pour toute suite (xn) de points de Iconvergeant vers a, la suite (f(xn)) converge vers f(a).
preuve : partielle, en cours.
remarques : On peut utiliser ce th´eor`eme de la fa¸con suivante :
– sens direct : pour d´emontrer qu’une suite ( ici f(xn) ) converge.
– par la contrapos´ee du sens direct : pour montrer qu’une fonction n’est pas continue en ail suffit de trouver une
suite (xn) convergeant vers aet telle que f(xn) ne converge pas vers f(a).
Par exemple :
f:x7→ sin 1
xsix6= 0,et f(0) = l∈R
3.3 continuit´e et suite r´ecurrente
On d´eduit du th´eor`eme s´equentiel la propri´et´e vue dans le cours sur les suites :
propri´et´e 3.3
Soient fune fonction r´eelle d´efinie sur un ensemble Det (un) la suite r´ecurrente
u0∈D
∀n∈N, un+1 =f(un)
On suppose que la suite est bien d´efinie et que :
1. la suite (un) converge vers un r´eel l
2. fest continue en l
alors
lest un point fixe de f
Preuve : en cours
Remarque : La contrapos´ee de cette propri´et´e nous dit que :
si fne poss`ede pas de point fixe alors
fn’est pas continue en lou (un) ne converge pas vers l
et donc
– si fest une fonction continue sur chaque intervalle de son ensemble de d´efinition D.
– si fne poss`ede pas de point fixe
alors
la suite (un)ne converge pas vers un point de D.
et si Dest ferm´e alors
la suite (un)diverge
III Le th´eor`eme des valeurs interm´ediaires
5.1 Le TVI
th´eor`eme 4.1 :
Soit fune fonction continue sur un intervalle Iet soient aet bdeux r´eels de I.
Alors :
fprend toutes les valeurs comprises entre f(a) et f(b) quand xparcourt le segment [a;b]
⇔
pour tout r´eel kcompris entre f(a) et f(b),∃α∈[a;b] : f(α) = k
2013/2014 3l. garcia