chap 8 : Continuité Continuité d`une fonction réelle

chap 8 : Continuité
Lycée Henri IV
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Continuité d’une fonction réelle
I Continuité en un point
1.1 Définition
définition 1.1 :
Soit f : I → R une fonction définie sur une partie I de R, et soit a un réel appartenant à I.
On dit que f est continue en a si et seulement si
lim f (x) = f (a)
x→a
ce qui est équivalent, avec des quantificateurs, à :
∀ε > 0,
∃η > 0 |
∀x ∈ I, |x − a| < η ⇒ |f (x) − f (a)| < ε
remarque : dire que f est continue en a est équivalent à dire que :
– f est définie en a
– et f possède une limite en a
exemples : en cours
interprétation graphique : en cours
1.2 continuité à gauche et à droite
définition 1.2 :
Soit f : I → R une fonction définie sur une partie I de R, et soit a un réel appartenant à I.
On dit que
– f est continue droite de a si et seulement si
lim f (x)
x→a
x<a
=
f (a)
=
f (a)
– f est continue gauche de a si et seulement si
lim f (x)
x→a
x>a
exemples : en cours
propriété 1.3 :
Soit f : I → R une fonction définie sur une partie I de R, et soit a un réel adhérent à I qui n’appartient
pas à I.
on suppose que
lim f (x) = l ∈ R
x→a
On définit alors la fonction f sur I ∪ {a} par :
∀x ∈ I,
f (x) =
f (x) si x 6= a
l
si x = a
Alors cette fonction est continue en a.
On l’appelle prolongement de f par continuité au point a.
exemples : en cours
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II Continuité sur un intervalle
2.1 définition
propriété 2.1 :
On dit que f est continue sur l’intervalle I si et seulement si f est continue en tout point de I.
On note C 0 (I; R) ou C(I; R) ou C(I) ou C 0 (I) l’ensemble des fonctions continues sur l’intervalle I.
exemples : en cours
2.2 fonctions usuelles
propriété 2.2 :
–
–
–
–
–
∀n ∈ N, x 7→ xn est continue sur R.
∀α ∈ R, x 7→ xα est continue sur [0; +∞[ si α > 0, et sur ]0; +∞[ sinon.
x 7→ ex est continue sur R.
x 7→ ln x est continue sur ]0; +∞[.
x 7→ |x| est continue sur R.
2.2 opérations sur les fonctions continues
propriété 2.3 :
Soit I un intervalle réel.
– La somme de deux fonctions continues sur I est une fonction continue sur I.
– Le produit de deux fonctions continues sur I est une fonction continue sur I.
– Si f et g sont deux fonctions continues sur I telles que, pour tout x ∈ I, g(x) 6= 0, alors le quotient
f
est
g
une fonction continue sur I.
conséquence :
– les fonctions polynômes sont continues sur R.
– les fonctions rationnelles sont continues sur chaque intervalle de leur ensemble de définition.
2.3 composée de deux fonctions continues
propriété 2.4 :
Soit f une fonction continue sur un intervalle I et g une fonction continue sur un intervalle J tel que
g(J) ⊂ I
Alors la fonction composée f ◦ g est continue sur I.
exemples : en cours
III suites et continuité d’une fonction
3.1 le théorème de la limite séquentielle
théorème 3.1 :
Soient :
– f une fonction définie sur une partie I de R, et l un réel.
– (un ) une suite de réels de I et et a un point adhérent à I.
Si :
– lim un = a
n→+∞
– lim f (x) = l
x→a
alors :
lim f (un ) = l
n→+∞
remarque : on peut interpréter ce théorème comme étant une propriété sur la limite de la composée d’une fonction
par une suite.
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On déduit de ce théorème une caractérisation de la continuité à l’aide des suites :
corollaire 3.2 : caractérisation séquentielle de la continuité
Soient f une fonction définie sur une partie I de R et a un réel de I.
Alors :
f est continue en a si et seulement si ,
pour toute suite (xn ) de points de I convergeant vers a, la suite (f (xn )) converge vers f (a).
preuve : partielle, en cours.
remarques : On peut utiliser ce théorème de la façon suivante :
– sens direct : pour démontrer qu’une suite ( ici f (xn ) ) converge.
– par la contraposée du sens direct : pour montrer qu’une fonction n’est pas continue en a il suffit de trouver une
suite (xn ) convergeant vers a et telle que f (xn ) ne converge pas vers f (a).
Par exemple :
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six 6= 0, et f (0) = l ∈ R
f : x 7→ sin
x
3.3 continuité et suite récurrente
On déduit du théorème séquentiel la propriété vue dans le cours sur les suites :
propriété 3.3
Soient f une fonction réelle définie sur un ensemble D et (un ) la suite récurrente
u0 ∈ D
∀n ∈ N, un+1 = f (un )
On suppose que la suite est bien définie et que :
1. la suite (un ) converge vers un réel l
2. f est continue en l
alors
l est un point fixe de f
Preuve : en cours
Remarque : La contraposée de cette propriété nous dit que :
si f ne possède pas de point fixe alors
f n’est pas continue en l ou (un ) ne converge pas vers l
et donc
– si f est une fonction continue sur chaque intervalle de son ensemble de définition D.
– si f ne possède pas de point fixe
alors
la suite (un ) ne converge pas vers un point de D.
et si D est fermé alors
la suite (un ) diverge
III Le théorème des valeurs intermédiaires
5.1 Le TVI
théorème 4.1 :
Soit f une fonction continue sur un intervalle I et soient a et b deux réels de I.
Alors :
f prend toutes les valeurs comprises entre f (a) et f (b) quand x parcourt le segment [a; b]
⇔
pour tout réel k compris entre f (a) et f (b),
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∃α ∈ [a; b] :
f (α) = k
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interprétation graphique : en cours
Remarques :
– le théorème ne fournit pas la valeur du réel α, mais assure juste son existence.
En général on en détermine un encadrement par deux réels x1 et x2 en montrant que k est compris entre f (x1 )
et f (x2 ), avec la précision souhaitée.
On peut pour cela utiliser un tableau de valeurs ( par exemple avec une calculatrice, si elle est autorisée...) ou
faire une dichotomie ( sera vu en DM ).
– il n y a pas, en général, unicité de α
– en pratique on peut toujours prendre k = 0 en introduisant la fonction g = f − k.
Il suffit alors de chercher a et b tels que f (a) et f (b) soient de signes opposés
– le théorème se généralise avec a = ±∞ et/ou b = ±∞.
Dans ce cas on cherche à prouver que k est compris entre les limites de f en a et/ou b
Preuve : en cours
Exemples : en cours
corollaire 4.2 :
Si, dans le TVI, la fonction f est strictement monotone sur I, alors le réel α est unique.
4.2 Image d’un intervalle
propriété 4.3 :
Soit f une fonction définie sur un intervalle I.
Si f est continue alors f (I) est un intervalle.
Preuve : en cours
exemples et contre-exemples : en cours
V continuité sur un segment
5.1 théorème du maximum
théorème 5.1 :
Si f est une fonction continue sur un segment [a; b] alors
f est bornée et atteint ses bornes
preuve : admis
conséquence : toute fonction continue sur un segment possède un maximum et un minimum. exemples : en cours
corollaire 5.2 :
Si f est une fonction continue sur un segment [a; b] alors
f ([a; b]) = [m; M ] avec m minimum et M maximum de f sur [a; b]
preuve : en cours
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