Ensembles et applications Parties d’un ensemble Comment montrer qu’un ensemble A est inclus dans un autre B ? Comment montrer que deux ensembles A et B sont égaux ? Définition de l’ensemble P(E) des parties d’un ensemble E Quel est P( ) ? Si E est un ensemble fini, dénombrer P(E). Opérations dans P(E) Définition de la réunion Définition de l’intersection Définition du complémentaire Propriétés de la réunion Commutativité Associativité A est une partie d’un ensemble E AA? A? AE? Montrer A B à l’aide d’une réunion (2 solutions) Propriétés de l’intersection Commutativité Associativité A est une partie d’un ensemble E AA? A? AE? Montrer A B à l’aide d’une intersection (2 solutions) Distributivité d’une loi par rapport à l’autre A ( B C) A (B C) Lois de Morgan Complémentaire d’une réunion Complémentaire d’une intersection ( Révisions 1 Algèbre ) Complémentaire Complémentaire du complémentaire A ?; A Comparer et ? lorsque A B Partition d’un ensemble Définition Utilité en probabilités ? Produit cartésien Définition de E X F Définition de E1 X E2 X ... X En Lien avec les listes en dénombrements Applications Définition d’une application d’un ensemble E vers un ensemble F Différence entre fonction et application ? Restriction Prolongement Egalité de deux applications * Image directe f(A) d’un ensemble A par une application f f FE et A E. La notation f(A) désigne un ensemble inclus dans l’ensemble d’arrivée F. f(A) = { f(x) / x A } y f(A) x A / f(x) = y * Image réciproque f-1(B) d’un ensemble B par une application f f FE et B F. La notation f-1(B) désigne un ensemble inclus dans l’ensemble de départ E. f-1 (B) = { x E / f(x) B } -1 x f (B) f(x) B Identité Composition d’applications Définition Composée avec l’identité Associativité Cas des applications linéaires Injections Définition Caractérisation Montrer que f est injective par résolution de f(x) = b pour tout b de l’ensemble d’arrivée Montrer qu’une application est injective par composée Montrer qu’une application linéaire est injective par son noyau Montrer qu’une application linéaire est injective par l’image d’une base de l’ev de départ Surjections Définition Caractérisation Montrer que f est surjective par résolution de f(x) = b pour tout b de l’ensemble d’arrivée Montrer qu’une application est surjective par composée Montrer qu’une application linéaire est surjective par son image Montrer qu’une application linéaire est surjective par l’image d’une base de l’ev de départ Bijections Définition Caractérisation Montrer qu’une application est bijective par l’existence d’une application réciproque Montrer que f est bijective par résolution de f(x) = b pour tout b de l’ensemble d’arrivée Montrer qu’une application est bijective par composée Montrer qu’une application linéaire est bijective par l’image d’une base de l’ev de départ Montrer qu’une application linéaire est bijective en dimension finie Théorème de la bijection pour les fonctions de IR dans IR Fonctions indicatrices Définition Lien avec les opérations sur les ensembles : Réunion, Intersection, Complémentaire, Egalité de 2 ensembles Et pour finir, voici un petit QCM ! Propositions avec A,B,C des parties d’un ensemble E VRAI FAUX VRAI FAUX AB A AB A (A B) (A C ) = A B C (A B) ( ) = E A AB (A ) B = A B (A\B)=A (A \ B) \ C = A \ (B \ C) { A\ B , A B , } forme une partition de E = Propositions avec E,F et G trois ensembles et f FE , g GF On peut toujours définir f o g Si f est injective alors f est bijective de E dans f(E) La restriction d’une injection est toujours injective La restriction d’une surjection est toujours surjective Les prolongements d’une surjection sont toujours surjectifs Si g o f est injective alors f est injective Si g o f est surjective alors f est surjective Les combinaisons linéaires d’applications linéaires bijectives sont bijectives Soient A,B P(E). si A B alors f(A) f(B) f-1 ( f(A) ) est toujours égal à A Soit C P(F). f-1(C) n’existe que si f est bijective -1 -1 Si f est bijective, f (C) est à la fois l’image de C par f et l’image réciproque de C par f Si f et g sont linéaires alors g o f est linéaire Les prolongements et les restrictions de f ont le même ensemble de départ que f Les prolongements et les restrictions de f ont le même ensemble d’arrivée que f