Ensembles et applications ( Révisions 1 Algèbre )

Ensembles et applications ( Révisions 1 Algèbre )
Parties d’un ensemble
Comment montrer qu’un ensemble A est
inclus dans un autre B ?
Comment montrer que deux ensembles A
et B sont égaux ?
Définition de l’ensemble P(E) des parties
d’un ensemble E
Quel est P(  ) ?
Si E est un ensemble fini, dénombrer P(E).
Opérations dans P (E)
Définition de la réunion
Définition de l’intersection
Définition du complémentaire
Propriétés de la réunion
Commutativité
Associativité
A est une partie d’un ensemble E
A  A ? A   ? A  E ?
Montrer A  B à l’aide d’une réunion
(2 solutions)
Propriétés de l’intersection
Commutativité
Associativité
A est une partie d’un ensemble E
A  A ? A   ? A  E ?
Montrer A  B à l’aide d’une intersection
(2 solutions)
Distributivité d’une loi par rapport à l’autre
A  ( B  C)
A  (B  C)
Lois de Morgan
Complémentaire d’une réunion
Complémentaire d’une intersection

Complémentaire
Complémentaire du complémentaire
A   ? ; A   ?
Comparer  et 
 lorsque A  B
Partition d’un ensemble
Définition
Utilité en probabilités ?
Produit cartésien
Définition de E X F
Définition de E1 X E2 X ... X En
Lien avec les listes en
dénombrements
Applications
Définition d’une application d’un ensemble E
vers un ensemble F
Différence entre fonction et application ?
Restriction
Prolongement
Egalité de deux applications
*
Image directe f(A) d’un ensemble A par une
application f
f  FE et A  E. La notation f(A) désigne un ensemble inclus dans
l’ensemble d’arrivée F. f(A) = { f(x) / x  A }
y  f(A)   x  A / f(x) = y
*
Image réciproque f-1(B) d’un ensemble B par
une application f
f  FE et B  F. La notation f-1(B) désigne un ensemble inclus dans
l’ensemble de départ E. f-1 (B) = { x  E / f(x)  B }
x  f-1(B)  f(x)  B
Identité
Composition d’applications
Définition
Composée avec l’identité
Associativité
Cas des applications linéaires

Injections
Définition
Caractérisation
Montrer que f est injective par
résolution de f(x) = b pour tout b de
l’ensemble d’arrivée
Montrer qu’une application est
injective par composée
Montrer qu’une application linéaire
est injective par son noyau
Montrer qu’une application linéaire
est injective par l’image d’une base
de l’ev de départ
Surjections
Définition
Caractérisation
Montrer que f est surjective par
résolution de f(x) = b pour tout b de
l’ensemble d’arrivée
Montrer qu’une application est
surjective par composée
Montrer qu’une application linéaire
est surjective par son image
Montrer qu’une application linéaire
est surjective par l’image d’une base
de l’ev de départ
Bijections
Définition
Caractérisation
Montrer qu’une application est
bijective par l’existence d’une
application réciproque
Montrer que f est bijective par
résolution de f(x) = b pour tout b de
l’ensemble d’arrivée
Montrer qu’une application est
bijective par composée

Montrer qu’une application linéaire
est bijective par l’image d’une base
de l’ev de départ
Montrer qu’une application linéaire
est bijective en dimension finie
Théorème de la bijection pour les
fonctions de IR dans IR
Fonctions indicatrices
Définition
Lien avec les opérations sur les
ensembles :
Réunion, Intersection, Complémentaire,
Egalité de 2 ensembles
Et pour finir, voici un petit QCM !
Propositions avec A,B,C des parties d’un ensemble E
VRAI
FAUX
A  B  A
A  B  A
(A  B)  (A  C ) = A  B  C
(A  B)  (  
) = E
A  
  A  B
(A  
)  B = A  B
( A \ B ) = A  
(A \ B) \ C = A \ (B \ C)
{ A\ B , A  B ,  } forme une partition de E
=  
Propositions avec E,F et G trois ensembles et f FE , g GF
VRAI
FAUX
On peut toujours définir f o g
Si f est injective alors f est bijective de E dans f(E)
La restriction d’une injection est toujours injective
La restriction d’une surjection est toujours surjective
Les prolongements d’une surjection sont toujours surjectifs
Si g o f est injective alors f est injective
Si g o f est surjective alors f est surjective
Les combinaisons linéaires d’applications linéaires bijectives sont bijectives
Soient A,B  P(E). si A  B alors f(A)  f(B)
f-1 ( f(A) ) est toujours égal à A
Soit C  P(F). f-1(C) n’existe que si f est bijective
Si f est bijective, f-1(C) est à la fois l’image de C par f-1 et l’image réciproque de C par f
Si f et g sont linéaires alors g o f est linéaire
Les prolongements et les restrictions de f ont le même ensemble de départ que f
Les prolongements et les restrictions de f ont le même ensemble d’arrivée que f