1 Apprentissage du calcul matriciel

©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2014-2015 1
Feuille d’exercices sur le calcul matriciel
1 Apprentissage du calcul matriciel
Exercice 1 Calculer les puissances n-ièmes des matrices
J=1 1
1 1, A =0 1
2 0et B=2 1
0 2.
Exercice 2 Calculer les puissances n-ièmes de la matrice
A=5−4
4−3.
On pourra considérer la matrice A−I2et utiliser le binôme de Newton.
Exercice 3 (Matrices stochastiques) On dit que A∈ Mn(R) est stochastique si tous les coefficients de A
sont positifs ou nuls et si la somme des coefficients de chaque ligne de Aest égale à 1. Démontrer que le produit
de deux matrices stochastiques est encore une matrice stochastique. Et pour la somme ?
Exercice 4 (Racines carrées de matrices) Soit A∈ Mn(K). Si une matrice R∈ Mn(K) vérifie R2=A,
on dit que Rest une racine carrée de A. On se propose au travers de quelques exemples de découvrir le nombre
de racines carrées possibles.
1. Soit λ∈K, calculer 1λ
0−12
, interpréter en terme de racines carrées.
2. Un résultat général : soit A∈ Mn(K). Démontrer que si Rest une racine carrée de A, alors Rcommute
avec A.
3. En déduire que si Rest une racine carrée de A= diag(16,9), alors Rest diagonale. Conclure.
4. Déterminer les racines carrées de A= diag(−1,0).
5. Déterminer une racine carrée de R(θ) = cos θ−sin θ
sin θcos θ. On pourra calculer R(θ)2.
Exercice 5 (espace des matrices antisymétriques) On note A3(K) le K-espace vectoriel des matrices an-
tisymétriques de M3(K).
1. Déterminer une famille génératrice de A3(K), en déduire sa dimension.
2. Deviner la dimension de An(K).
Exercice 6 (Espace des matrices de trace nulle) Justifier que l’ensemble des matrices de de Mn(K) de
trace nulle est un K-espace vectoriel dont on précisera la dimension.
Exercice 7 Démontrer que l’égalité AB −BA =Inest impossible dans Mn(K).
Exercice 8 (Matrices symétriques et antisymétriques)
1. Soit A∈ Mn(K). Parmi les matrices suivantes, lesquelles sont symétriques ?
A+tA, A −tA, AtA, A2.
2. Démontrer à l’aide d’un raisonnement par analyse-synthèse que
Mn(K) = An(K)⊕ Sn(K).
3. Justifier que l’application «transposée» est une symétrie de Mn(K). Quel résultat cela permet-il de re-
trouver ?

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Exercice 9 (Polynôme annulateur en taille 2) Soit A∈ M2(R).
1. Démontrer que :
A2−Tr(A)A+ det(A)I2= 0.
2. On prend A=0−6
1 5 et P=X2−5X+ 6. Déterminer le reste de la division euclidienne de Xnpar
P. En déduire An.
Exercice 10 (Un calcul «élémentaire» ?) Dans Mn(K), calculer Eij Ekl avec i, j, k, l, dans J1, nK.
Exercice 11 (Un exo complet) On pose
N=
0 1 0
0 0 1
0 0 0
et A=
2 1 0
0 2 1
0 0 2
1. Calculer Nnpour n∈N.
2. Déterminer toutes les matrices qui commutent avec N, en déduire que cet ensemble de matrices est un
R-espace vectoriel de dimension finie dont on donnera une base.
3. Calculer Anpour n∈N.
4. On définit les suites (un),(vn) et (wn) par
un+1 = 2un+vn, vn+1 = 2vn+wn, wn+1 = 2wn
avec les conditions initiales u0=v0= 1 et w0= 2. On pose Xn=
un
vn
wn
.
(a) Ecrire Xn+1 en fonction de Xnet de A.
(b) En déduire Xnen fonction de X0.
(c) En déduire un, vnet wnen fonction de n.
Exercice 12 (Un ensemble de matrices) Soit El’ensemble des matrices de M3(K) de la forme
a0b
0 2a c
0 0 d
avec (a, b, c, d)∈K4
1. Démontrer que Eest un K-espace vectoriel dont on précisera la dimension.
2. L’espace Eest-il un sous-anneau de M3(K) ?
3. Justifier que Econtient des matrices nilpotentes. L’ensemble Eest-il commutatif, intègre ?
2 Inverse d’une matrice
Exercice 13 On pose
A=
0 1 1
1 0 1
1 1 0
.
Calculer A2−A−2I3, en déduire que Aest inversible, donner son inverse.
Exercice 14 (Calculs d’inverses) Les matrices suivantes sont-elles inversibles ? Si oui donner leur inverse :
A=1 2
−1 3,B=
1 2 −1
2 4 −1
−2−5 3
,C=
1 2 −1
2 4 −2
−2−5 3
,D=
2−3−1
1 1 −3
−3−1 7
,E=
1 1 1 1
0 1 1 1
0 0 1 1
0 0 0 1
.

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Exercice 15 Soit Aune matrice inversible de Mn(K). Démontrer que tAest encore une matrice inversible,
donner son inverse.
Exercice 16 (Un petit vrai-faux) Les matrices considérées sont dans Mn(K).
1. Le produit de deux matrices inversibles est une matrice inversible.
2. La somme de deux matrices inversibles est une matrice inversible.
3. Si Aet Bsont dans Mn(K), on a (AB)2=A2B2.
4. L’inverse d’une matrice inversible symétrique est encore une matrice symétrique.
5. Si les coefficients diagonaux de la matrice Asont non nuls alors Aest inversible.
6. Si la matrice Apossède une ligne nulle, alors An’est pas inversible.
7. Le produit de deux matrices triangulaires supérieures est une matrice triangulaire supérieure.
Exercice 17 (Nilpotent Vs Diagonale) Soit A∈ Mn(K) nilpotente. On suppose qu’elle est semblable à
une matrice diagonale D, c’est à dire qu’il existe une matrice inversible P∈GLn(K) telle que A=P DP −1.
Montrer que A= 0.
Exercice 18 (Inverse par blocs) Soit A, B, C dans Mn(K) avec Aet Binversibles. Démontrer que la matrice
tringulaire par blocs A C
0Best inversible et déterminer son inverse.
Exercice 19 Soit p∈ {1,...,n}et α1,...,αndes réels avec αp6= 0. Soit A= (aij ) la matrice de Mn(K)
définie par :
•pour j∈ {1,...,n} − {p}, aij = 1 si i=jet 0 si i6=j;
•enfin, aip =αipour i∈ {1, . . . , n}.
Montrer que Aest inversible, calculer son inverse.
3 Plus difficile
Exercice 20 Soit Nune matrice nilpotente de Mn(K).
1. Démontrer que Nn’est pas inversible.
2. Démontrer que la matrice In+Nest inversible et donner son inverse.
Exercice 21 (Matrice de rang un) Soit Cune colonne de nréels et l1,...,lndes réels. On considère la
matrice Ade Mn(R) dont les colonnes sont l1C,...,lnC.
1. Déterminer une matrice ligne Ltelle que A=CL.
2. Comparer Tr Aet LC, en déduire que A2= Tr(A)A.
3. En déduire un calcul de Anpour n∈N∗.
4. En déduire un calcul de M2où M= (mi,j ) est la matrice de Mn(K) définie par mi,j =ai
ajavec a1,...,an
des scalaires non nuls.
Exercice 22 Soit Aet Bdans Mn(K) telles que pour toute matrice Mde Mn(K), on a
Tr(AM) = Tr(BM ).
Démontrer que A=B(on pourra calculer Tr(AEi,j )).

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Exercice 23 Soit A∈ Mn(K) et Bla matrice «blocs» définie par B=A A
0A.
1. Déterminer Bnpour n∈N.
2. En déduire pour P∈K[X], une expression de la matrice P(B) en fonction des matrices P(A) et P′(A).
Exercice 24 Démontrer par récurrence sur n, qu’une matrice triangulaire supérieure stricte de Mn(K) est
nilpotente. Démontrer que la réciproque est fausse en considérant N=1 1
−1−1.
Exercice 25 (Qui commute avec tout le monde ?) Démontrer que les seules matrices qui commutent avec
toutes les matrices de Mn(K) sont les matrices d’homothétie, c’est-à-dire de la forme kInavec kréel. On pourra
calculer AEi,j et Ei,j A.