1 Apprentissage du calcul matriciel

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©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2014-2015
Feuille d’exercices sur le calcul matriciel
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Apprentissage du calcul matriciel
Exercice 1 Calculer les puissances n-ièmes des matrices
0 1
1 1
, A=
J=
2 0
1 1
et B =
2
0
1
.
2
Exercice 2 Calculer les puissances n-ièmes de la matrice
5 −4
.
A=
4 −3
On pourra considérer la matrice A − I2 et utiliser le binôme de Newton.
Exercice 3 (Matrices stochastiques) On dit que A ∈ Mn (R) est stochastique si tous les coefficients de A
sont positifs ou nuls et si la somme des coefficients de chaque ligne de A est égale à 1. Démontrer que le produit
de deux matrices stochastiques est encore une matrice stochastique. Et pour la somme ?
Exercice 4 (Racines carrées de matrices) Soit A ∈ Mn (K). Si une matrice R ∈ Mn (K) vérifie R2 = A,
on dit que R est une racine carrée de A. On se propose au travers de quelques exemples de découvrir le nombre
de racines carrées possibles.
1. Soit λ ∈ K, calculer
1 λ
0 −1
2
, interpréter en terme de racines carrées.
2. Un résultat général : soit A ∈ Mn (K). Démontrer que si R est une racine carrée de A, alors R commute
avec A.
3. En déduire que si R est une racine carrée de A = diag(16, 9), alors R est diagonale. Conclure.
4. Déterminer les racines carrées de A = diag(−1, 0).
cos θ − sin θ
5. Déterminer une racine carrée de R(θ) =
. On pourra calculer R(θ)2 .
sin θ
cos θ
Exercice 5 (espace des matrices antisymétriques) On note A3 (K) le K-espace vectoriel des matrices antisymétriques de M3 (K).
1. Déterminer une famille génératrice de A3 (K), en déduire sa dimension.
2. Deviner la dimension de An (K).
Exercice 6 (Espace des matrices de trace nulle) Justifier que l’ensemble des matrices de de Mn (K) de
trace nulle est un K-espace vectoriel dont on précisera la dimension.
Exercice 7 Démontrer que l’égalité AB − BA = In est impossible dans Mn (K).
Exercice 8 (Matrices symétriques et antisymétriques)
1. Soit A ∈ Mn (K). Parmi les matrices suivantes, lesquelles sont symétriques ?
A + t A,
A − t A,
At A,
A2 .
2. Démontrer à l’aide d’un raisonnement par analyse-synthèse que
Mn (K) = An (K) ⊕ Sn (K).
3. Justifier que l’application «transposée» est une symétrie de Mn (K). Quel résultat cela permet-il de retrouver ?
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Exercice 9 (Polynôme annulateur en taille 2) Soit A ∈ M2 (R).
1. Démontrer que :
A2 − Tr(A)A + det(A)I2 = 0.
0 −6
2. On prend A =
et P = X 2 − 5X + 6. Déterminer le reste de la division euclidienne de X n par
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P . En déduire An .
Exercice 10 (Un calcul «élémentaire» ?) Dans Mn (K), calculer Eij Ekl avec i, j, k, l, dans J1, nK.
Exercice 11 (Un exo complet) On pose


0 1 0
N = 0 0 1
0 0 0

2 1
et A = 0 2
0 0

0
1
2
1. Calculer N n pour n ∈ N.
2. Déterminer toutes les matrices qui commutent avec N , en déduire que cet ensemble de matrices est un
R-espace vectoriel de dimension finie dont on donnera une base.
3. Calculer An pour n ∈ N.
4. On définit les suites (un ), (vn ) et (wn ) par
un+1 = 2un + vn , vn+1 = 2vn + wn , wn+1 = 2wn
 
un
avec les conditions initiales u0 = v0 = 1 et w0 = 2. On pose Xn =  vn .
wn
(a) Ecrire Xn+1 en fonction de Xn et de A.
(b) En déduire Xn en fonction de X0 .
(c) En déduire un , vn et wn en fonction de n.
Exercice 12 (Un ensemble de matrices) Soit E l’ensemble des matrices de M3 (K) de la forme


a 0 b
0 2a c  avec (a, b, c, d) ∈ K4
0 0 d
1. Démontrer que E est un K-espace vectoriel dont on précisera la dimension.
2. L’espace E est-il un sous-anneau de M3 (K) ?
3. Justifier que E contient des matrices nilpotentes. L’ensemble E est-il commutatif, intègre ?
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Inverse d’une matrice
Exercice 13 On pose

0 1
A = 1 0
1 1

1
1 .
0
Calculer A2 − A − 2I3 , en déduire que A est inversible, donner son inverse.
Exercice 14 (Calculs d’inverses) Les matrices



1
1
2 −1
1 2
4 −1, C =  2
,B= 2
A=
−1 3
−2
−2 −5 3
suivantes sont-elles inversibles ? Si oui donner
leur inverse
 :




1 1 1 1
2 −3 −1
2 −1
0 1 1 1

1 −3, E = 
4 −2, D =  1
0 0 1 1.
−3 −1 7
−5 3
0 0 0 1
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Exercice 15 Soit A une matrice inversible de Mn (K). Démontrer que t A est encore une matrice inversible,
donner son inverse.
Exercice 16 (Un petit vrai-faux) Les matrices considérées sont dans Mn (K).
1. Le produit de deux matrices inversibles est une matrice inversible.
2. La somme de deux matrices inversibles est une matrice inversible.
3. Si A et B sont dans Mn (K), on a (AB)2 = A2 B 2 .
4. L’inverse d’une matrice inversible symétrique est encore une matrice symétrique.
5. Si les coefficients diagonaux de la matrice A sont non nuls alors A est inversible.
6. Si la matrice A possède une ligne nulle, alors A n’est pas inversible.
7. Le produit de deux matrices triangulaires supérieures est une matrice triangulaire supérieure.
Exercice 17 (Nilpotent Vs Diagonale) Soit A ∈ Mn (K) nilpotente. On suppose qu’elle est semblable à
une matrice diagonale D, c’est à dire qu’il existe une matrice inversible P ∈ GLn (K) telle que A = P DP −1 .
Montrer que A = 0.
Exercice 18 (Inverse
blocs) Soit A, B, C dans Mn (K) avec A et B inversibles. Démontrer que la matrice
par A C
est inversible et déterminer son inverse.
tringulaire par blocs
0 B
Exercice 19 Soit p ∈ {1, . . . , n} et α1 , . . . , αn des réels avec αp 6= 0. Soit A = (aij ) la matrice de Mn (K)
définie par :
• pour j ∈ {1, . . . , n} − {p},
aij = 1 si i = j et 0 si i 6= j ;
• enfin, aip = αi pour i ∈ {1, . . . , n}.
Montrer que A est inversible, calculer son inverse.
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Plus difficile
Exercice 20 Soit N une matrice nilpotente de Mn (K).
1. Démontrer que N n’est pas inversible.
2. Démontrer que la matrice In + N est inversible et donner son inverse.
Exercice 21 (Matrice de rang un) Soit C une colonne de n réels et l1 , . . . , ln des réels. On considère la
matrice A de Mn (R) dont les colonnes sont l1 C, . . . , ln C.
1. Déterminer une matrice ligne L telle que A = CL.
2. Comparer Tr A et LC, en déduire que A2 = Tr(A)A.
3. En déduire un calcul de An pour n ∈ N∗ .
4. En déduire un calcul de M 2 où M = (mi,j ) est la matrice de Mn (K) définie par mi,j =
des scalaires non nuls.
Exercice 22 Soit A et B dans Mn (K) telles que pour toute matrice M de Mn (K), on a
Tr(AM ) = Tr(BM ).
Démontrer que A = B (on pourra calculer Tr(AEi,j )).
ai
aj
avec a1 , . . . , an
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Exercice 23 Soit A ∈ Mn (K) et B la matrice «blocs» définie par B =
A A
.
0 A
1. Déterminer B n pour n ∈ N.
2. En déduire pour P ∈ K[X], une expression de la matrice P (B) en fonction des matrices P (A) et P ′ (A).
Exercice 24 Démontrer par récurrence sur n, qu’une matrice triangulaire
supérieure
stricte de Mn (K) est
1
1
.
nilpotente. Démontrer que la réciproque est fausse en considérant N =
−1 −1
Exercice 25 (Qui commute avec tout le monde ?) Démontrer que les seules matrices qui commutent avec
toutes les matrices de Mn (K) sont les matrices d’homothétie, c’est-à-dire de la forme kIn avec k réel. On pourra
calculer AEi,j et Ei,j A.