Cours de mathématiques – Première scientifique

Cours de mathématiques – Première
scientifique
Chapitre 1 – Généralités sur les fonctions............................................................................................4
I – Rappels sur les fonctions............................................................................................................4
II – La fonction racine carrée...........................................................................................................4
a) Sens de variation.....................................................................................................................4
b) Représentation graphique.......................................................................................................5
c) Comparaison...........................................................................................................................5
III – La fonction valeur absolue.......................................................................................................6
a) Définition................................................................................................................................6
b) Représentation graphique.......................................................................................................6
c) Distance entre deux réels........................................................................................................6
IV – Étude des variations.................................................................................................................7
a) Sens de variation et ajout d'une constante...............................................................................7
b) Sens de variation et multiplication par une constante............................................................7
c) Sens de variation et racine carrée............................................................................................8
d) Sens de variation et inversion.................................................................................................8
Chapitre 2 – Fonctions polynômes du second degré............................................................................9
I – Définitions..................................................................................................................................9
II – Forme canonique d'un trinôme du second degré.......................................................................9
a) Discriminant d'un trinôme du second degré..........................................................................10
b) Forme canonique et sens de variation...................................................................................10
c) Représentation graphique......................................................................................................11
d) Racines et factorisation d'un trinôme du second degré.........................................................12
e) Signe d'un trinôme................................................................................................................13
III – Tableau récapitulatif des trinômes du second degré..............................................................14
Chapitre 3 – Trigonométrie................................................................................................................15
I – Mesure des angles orientés.......................................................................................................15
a) Angles orientés et cercle trigonométrique.............................................................................15
b) Mesure d'un angle de vecteurs non nuls...............................................................................17
II – Cosinus et sinus.......................................................................................................................18
a) Cosinus et sinus d'un réel......................................................................................................18
b) Cosinus et sinus d'un angle orienté.......................................................................................18
c) Cosinus et sinus d'angles associés.........................................................................................19
d) Valeurs usuelles.....................................................................................................................20
e) Représentation graphique des fonctions cosinus et sinus.....................................................21
Chapitre 4 – Dérivation......................................................................................................................22
I – Nombre dérivé d'une fonction en un réel.................................................................................22
II – Tangente à une courbe en un point..........................................................................................23
III – Fonction dérivée....................................................................................................................24
a) Dérivées des fonctions de référence......................................................................................24
b) Somme de deux fonctions dérivables et produit d'une fonction dérivable par une constante
...................................................................................................................................................25
c) Produit de deux fonctions dérivables....................................................................................25
d) Inverse d'une fonction dérivable...........................................................................................26
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e) Quotient de deux fonctions dérivables..................................................................................26
Chapitre 5 – Dérivation et variations..................................................................................................28
I – Dérivée et sens de variation......................................................................................................28
a) Dérivée d'une fonction monotone.........................................................................................28
b) Sens de variation d'une fonction dérivable sur un intervalle................................................28
II – Extrema locaux et dérivée.......................................................................................................29
Chapitre 6 – Statistiques.....................................................................................................................31
I – Indicateurs statistiques..............................................................................................................31
a) Indicateurs de tendance centrale...........................................................................................31
b) Indicateurs de position..........................................................................................................32
c) Boîtes-à-moustaches.............................................................................................................32
d) Indicateurs de dispersion......................................................................................................32
e) Résumer une série statistique................................................................................................33
II – Transformation affine des données.........................................................................................33
a) Ajout d'un même nombre aux valeurs d'une série statistique :.............................................33
b) Multiplication par un même nombre strictement positif des valeurs d'une série :...............34
c) Résumé..................................................................................................................................34
Chapitre 7 – Vecteurs et colinéarité....................................................................................................35
I – Vecteurs colinéaires..................................................................................................................35
a) Définition et conséquences...................................................................................................35
b) Colinéarité et coordonnées...................................................................................................35
II – Décomposition d'un vecteur....................................................................................................36
a) Les repères............................................................................................................................36
b) Expression d'un vecteur en fonction de deux vecteurs non colinéaires................................37
III – Équation cartésienne d'une droite..........................................................................................39
a) Vecteur directeur d'une droite...............................................................................................39
b) Équation cartésienne d'une droite.........................................................................................39
Chapitre 8 – Produit scalaire dans le plan..........................................................................................41
I – Définition et expression du produit scalaire.............................................................................41
a) Norme d'un vecteur...............................................................................................................41
b) Définition du produit scalaire avec la norme........................................................................41
c) Expression analytique du produit scalaire............................................................................42
d) Expression du produit scalaire en fonction de la norme et de l'angle...................................43
II – Produit scalaire et orthogonalité..............................................................................................44
a) Orthogonalité........................................................................................................................44
b) Projection orthogonale..........................................................................................................45
III – Droite et produit scalaire........................................................................................................46
a) Vecteur normal à une droite..................................................................................................46
b) Vecteur normal et équation de droite....................................................................................47
IV – Applications du produit scalaire............................................................................................48
a) Relations métriques dans le triangle.....................................................................................48
b) Relation d'Al-Kashi..............................................................................................................48
c) Trigonométrie........................................................................................................................49
d) Équations de cercle...............................................................................................................50
Chapitre 9 – Probabilités....................................................................................................................51
I – Quelques rappels de probabilités..............................................................................................51
a) Évènements...........................................................................................................................51
b) Probabilités...........................................................................................................................52
II – Loi d'une variable aléatoire.....................................................................................................52
a) Variable aléatoire...................................................................................................................52
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b) Loi de probabilité d'une variable aléatoire............................................................................52
c) Espérance, variance, écart-type d'une variable aléatoire......................................................53
d) Loi de probabilité et distribution des fréquences..................................................................53
Chapitre 10 – Suites numériques........................................................................................................54
I – Définition..................................................................................................................................54
II – Suites définies par une relation explicite................................................................................54
III – Suites définies par une relation de récurrence.......................................................................55
IV – Sens de variation d'une suite numérique................................................................................57
V – Suites arithmétiques................................................................................................................58
a) Définition..............................................................................................................................58
b) Sens de variation...................................................................................................................58
c) Terme général d'une suite arithmétique................................................................................58
d) Somme des termes consécutifs d'une suite arithmétique......................................................58
VI – Suites géométriques...............................................................................................................59
a) Définition..............................................................................................................................59
b) Terme général d'une suite géométrique................................................................................59
c) Sens de variation...................................................................................................................60
d) Somme des termes consécutifs d'une suite géométrique......................................................60
VII – Comportement d'une suite à l'infini......................................................................................61
a) Divergence et limite..............................................................................................................61
b) Suite convergente..................................................................................................................62
c) Suite divergente sans limite..................................................................................................62
Chapitre 11 – Loi de Bernoulli et loi binomiale.................................................................................63
I – Modélisation d'une répétition d'expériences.............................................................................63
a) Expériences indépendantes...................................................................................................63
b) Répétition d'une même expérience.......................................................................................63
II – Loi de Bernoulli......................................................................................................................64
III – Loi binomiale.........................................................................................................................65
a) Schéma de Bernoulli.............................................................................................................65
b) Coefficients binomiaux.........................................................................................................65
c) Le triangle de Pascal.............................................................................................................66
d) Loi binomiale........................................................................................................................67
IV – Loi binomiale et échantillonnage...........................................................................................68
a) Représentation graphique d'une loi binomiale......................................................................68
b) Échantillonnage et règle de décision....................................................................................69
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Chapitre 1 – Généralités sur les
fonctions
I – Rappels sur les fonctions
On note
ℝ
l'ensemble des nombres réels.
Une fonction
f
définie sur une partie
D
de
ℝ
transforme tout réel
x∈D
en un unique réel noté
fx
, que l'on appelle image de
x
par
f
.
Exemples :
•La fonction carré est la fonction
f
définie sur
ℝ
par
fx=x2
.
•La fonction inverse est la fonction
g
définie sur
]–∞;0[∪]0;∞ [
par
gx= 1
x
.
II – La fonction racine carrée
La fonction racine carrée est la fonction
f
définie sur
[0 ;+ ∞[
par
fx= x
.
Elle est définie sur
[0 ;∞[
car seuls les réels positifs ont une racine carrée.
Une racine carrée est toujours positive.
a) Sens de variation
La fonction racine carrée est strictement croissante sur
[0 ;+ ∞[
.
Preuve : Soient
a
et
b
deux réels tels que
0≤ab
. On remarque que
(
√
a−
√
b ) (
√
a+
√
b ) =
√
a2−
√
b2=a−b
, donc comme
√
a+
√
b≠0
,
√
a−
√
b=a−b
√
a+
√
b
.
Comme
0≤a<b
,
a−b<0
et
√
a+
√
b>0
, donc
a−b
√
a+
√
b<0
, c'est-à-dire
√
a−
√
b<0
.
La fonction racine carrée est donc strictement croissante sur
[0 ;+ ∞[
.
x
0 + ∞
f
0
Chapitre 1 – Généralités sur les fonctions : 4/69

b) Représentation graphique
Les fonctions carré
et racine carrée
étant réciproques
l'une de l'autre sur
[0 ;+ ∞[
, leurs
courbes dans un
repère orthonormal
sont symétriques
par rapport à la
droite
y=x
.
c) Comparaison
Sur
[0 ;+ ∞[
, les fonctions
f
,
g
et
h
définies par
f(x)=x2
,
g(x)= x
et
h(x)=
√
x
sont toutes
strictement croissantes. Graphiquement, on peut constater le résultat suivant :
Théorème :
•Sur
]1 ;+ ∞[
,
√
x<x<x2
.
•Sur
]0;1 [
,
√
x>x>x2
.
•Si
x=0
ou
x=1
,
√
x=x=x2
.
Preuve : Comparons sur
[0 ;+ ∞[
les fonctions
f(x)=x2
et
g(x)= x
.
Pour
x⩾0
,
f(x)−g(x)= x2−x=x(x−1)
. Étudions le signe de cette quantité :
x
0 1 + ∞
x
0 + | +
x−1
| – 0 +
x(x−1)
0–0+
On en déduit que sur
]0 ;1[
,
f(x)−g(x)< 0
donc que
f(x)< g(x)
, que sur
]1;+ ∞[
,
f(x)−g(x)> 0
donc que
f(x)> g(x)
, et que si
x=0
ou
x=1
,
f(x)−g(x)=0
donc que
f(x)=g(x)
.
La comparaison entre les fonctions
g(x)= x
et
h(x)=
√
x
se traite de manière analogue.
Chapitre 1 – Généralités sur les fonctions : 5/69