Sujet

Ecole des mines de Douai — Formation initiale 1ère année
Mathématiques
Année 2002-2003
Devoir surveillé du 15 mai 2003
Durée : 2h. Aucun document n’est autorisé. La calculatrice école est autorisée.
L’orthographe et la clarté seront pris en compte dans l’appréciation de la copie.
Les trois problèmes sont indépendants ; on veillera à bien numéroter les questions sur la copie.
Problème 1
Une variante du hhquitte ou double ii
La question 1 est indépendante du reste du problème.
On considère le jeu de hasard suivant. Un joueur, démarrant avec un crédit de 1 euro, jette une pièce
de monnaie équilibrée (une face hhpile ii et une face hhface ii). Si le résultat est pile, le joueur double son
crédit et le jeu continue ; sinon le jeu s’arrête.
On appelle X la variable aléatoire indiquant le nombre de parties jouées, Y la variable aléatoire
indiquant le crédit du joueur à la fin de la partie.
On veillera à bien préciser les hypothèses faites sur les lancers permettant de calculer les probabilités
demandées.
1. En introduisant une suite d’évènements (An )n∈N∗ convenable, déterminer la probabilité que la partie
dure indéfiniment (évènement noté {X = ∞}).
Dans toute la suite, on suppose que la partie s’arrête.
2. Montrer que la variable aléatoire X suit une loi géométrique dont on précisera le paramètre p, c’està-dire que
∀k ∈ N∗ ,
P (X = k) = p(1 − p)k−1 .
3. Exprimer la variable Y en fonction de X.
4.
4.1 Montrer que X admet une espérance que l’on calculera (on pourra utiliser un développement en
2
série entière associé à
).
2−x
4.2 La variable aléatoire Y admet-elle une espérance ?
5. On suppose maintenant la pièce truquée : pile n’a qu’une chance sur trois d’apparaı̂tre.
5.1 Déterminer la loi de X.
5.2 En déduire l’espérance de X.
5.3 Montrer que E[Y ] = 3.
Problème 2
Une personne entre dans un magasin à une heure notée X et y reste pendant une durée notée Y
(X et Y sont exprimées en heures). On suppose que X suit la loi uniforme U([8, 12]) et que Y suit la loi
exponentielle E(4).
1. Donner les densités de probabilité de X et Y , notées respectivement fX et fY , ainsi que leurs espérances
et variances (s’agissant de questions de cours, aucun calcul n’est demandé).
2. On suppose que les variables X et Y sont indépendantes. Déterminer la densité de probabilité de la
variable aléatoire Z, heure à laquelle la personne sort du magasin.
3. Quelle est l’espérance de Z ?
4. On suppose que 100 personnes entrent indépendamment dans le magasin, et on suppose que leurs
heures d’entrée, notées X1 , . . . , X100 , suivent toutes la loi U([8, 12]). En utilisant le théorème central
limite, déterminer une valeur approchée de la probabilité que l’heure moyenne d’entrée
X1 + · · · + X100
100
soit strictement supérieure à 10h15.
N.B. : on trouvera un extrait de la table des valeurs de Φ à la fin de l’énoncé.
1
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Année 2002-2003
Mathématiques
Problème 3
On considère un couple (X, Y ) de variables aléatoires conjointement continues de densité conjointe
-R
f : R2
- C exp −|x|(1 + y 2 )
(x, y) 7
1
.
2π
2. Déterminer la densité marginale en Y puis la fonction de répartition marginale en Y .
1. Montrer que la constante réelle C vaut
3.
3.1 La variable aléatoire Y admet-elle une espérance ?
p
3.2 Montrer que la variable aléatoire |Y | admet une espérance.
Bon courage !
Barême indicatif :
Question 1 Question 2 Question 3 Question 4 Question 5 Total
2
Problème 1
2
2
2
3
Problème 2
3
3
1
2
Problème 3
2
2
2
5
14
9
6