Sujet

Ecole des mines de Douai — Formation initiale 1`ere ann´ee Math´ematiques Ann´ee 2002-2003
Devoir surveill´e du 15 mai 2003
Dur´ee : 2h. Aucun document n’est autoris´e. La calculatrice ´ecole est autoris´ee.
L’orthographe et la clart´e seront pris en compte dans l’appr´eciation de la copie.
Les trois probl`emes sont ind´ependants ; on veillera `a bien num´eroter les questions sur la copie.
Probl`eme 1
Une variante du hhquitte ou double ii
La question 1 est ind´ependante du reste du probl`eme.
On consid`ere le jeu de hasard suivant. Un joueur, d´emarrant avec un cr´edit de 1 euro, jette une pi`ece
de monnaie ´equilibr´ee (une face hhpileii et une face hhfaceii). Si le r´esultat est pile, le joueur double son
cr´edit et le jeu continue ; sinon le jeu s’arrˆete.
On appelle Xla variable al´eatoire indiquant le nombre de parties jou´ees, Yla variable al´eatoire
indiquant le cr´edit du joueur `a la fin de la partie.
On veillera `a bien pr´eciser les hypoth`eses faites sur les lancers permettant de calculer les probabilit´es
demand´ees.
1. En introduisant une suite d’´ev`enements (An)n∈N∗convenable, d´eterminer la probabilit´e que la partie
dure ind´efiniment (´ev`enement not´e {X=∞}).
Dans toute la suite, on suppose que la partie s’arrˆete.
2. Montrer que la variable al´eatoire Xsuit une loi g´eom´etrique dont on pr´ecisera le param`etre p, c’est-
`a-dire que
∀k∈N∗, P (X=k) = p(1 −p)k−1.
3. Exprimer la variable Yen fonction de X.
4.
4.1 Montrer que Xadmet une esp´erance que l’on calculera (on pourra utiliser un d´eveloppement en
s´erie enti`ere associ´e `a 2
2−x).
4.2 La variable al´eatoire Yadmet-elle une esp´erance ?
5. On suppose maintenant la pi`ece truqu´ee : pile n’a qu’une chance sur trois d’apparaˆıtre.
5.1 D´eterminer la loi de X.
5.2 En d´eduire l’esp´erance de X.
5.3 Montrer que E[Y] = 3.
Probl`eme 2
Une personne entre dans un magasin `a une heure not´ee Xet y reste pendant une dur´ee not´ee Y
(Xet Ysont exprim´ees en heures). On suppose que Xsuit la loi uniforme U([8,12]) et que Ysuit la loi
exponentielle E(4).
1. Donner les densit´es de probabilit´e de Xet Y, not´ees respectivement fXet fY, ainsi que leurs esp´erances
et variances (s’agissant de questions de cours, aucun calcul n’est demand´e).
2. On suppose que les variables Xet Ysont ind´ependantes. D´eterminer la densit´e de probabilit´e de la
variable al´eatoire Z, heure `a laquelle la personne sort du magasin.
3. Quelle est l’esp´erance de Z?
4. On suppose que 100 personnes entrent ind´ependamment dans le magasin, et on suppose que leurs
heures d’entr´ee, not´ees X1,...,X100, suivent toutes la loi U([8,12]). En utilisant le th´eor`eme central
limite, d´eterminer une valeur approch´ee de la probabilit´e que l’heure moyenne d’entr´ee
X1+···+X100
100
soit strictement sup´erieure `a 10h15.
N.B. : on trouvera un extrait de la table des valeurs de Φ`a la fin de l’´enonc´e.
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Ecole des mines de Douai — Formation initiale 1`ere ann´ee Math´ematiques Ann´ee 2002-2003
Probl`eme 3
On consid`ere un couple (X, Y ) de variables al´eatoires conjointement continues de densit´e conjointe
f:R2-R
(x, y)7-Cexp −|x|(1 + y2)
1. Montrer que la constante r´eelle Cvaut 1
2π.
2. D´eterminer la densit´e marginale en Ypuis la fonction de r´epartition marginale en Y.
3.
3.1 La variable al´eatoire Yadmet-elle une esp´erance ?
3.2 Montrer que la variable al´eatoire p|Y|admet une esp´erance.
Bon courage !
Barˆeme indicatif :
Question 1 Question 2 Question 3 Question 4 Question 5 Total
Probl`eme 1 2 2 2 3 5 14
Probl`eme 2 3 3 1 2 9
Probl`eme 3 2 2 2 6
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