UNIVERSITÉ SULTAN MOULAY SLIMANE École Nationale de Commerce et de Gestion De Béni Mellal Année Universitaire :2021-2022 Section A Professeure: H. SABIKI Série Numéro 03 : Variable aléatoire continue et Lois de Probabilités Exercice 1 par : On considère une variable aléatoire X dont une fonction de densité f est définie f (x) = x+1 si x ∈ [−1, 0], si x ∈ [0, π2 ] sinon . cos(x) 2 0 (a) Vérifier que f est bien une densité de probabilité (b) Déterminer la fonction de répartition de X (c) Calculer l’espérence de X Exercice 2 Dans une usine, on fabrique des boules pour le décoration. Le rayon de ces boules est une variable aléatoire R qui a pour fonction de densité : 2 r(3 − r) si r ∈ [0, 3] 9 fR (r) = 0 sinon . (a) L’usine s’intéresse à la quantité de matière nécessaire pour fabriquer ces boules et demande de calculer la fonction de densité de la surface S = 4πR2 d’une boule. (b) Calculer l’espérence de la variable aléatoire S. Exercice 3 Le candidat se présente à un oral de concours. Le jury qui l’a convoqué lui pose 20 questions. Pour chaque question, le même nombre k > 2 de réponses lui sont proposées dont une et une seule est la bonne. Le candidat qui n’a pas travaillé son oral, choisit au hasard une des réponses proposées. 1. Le jury attribue un point par bonne réponse. Soit X le nombre de points obtenus à l’issue de l’oral. Quelle est la loi de la variable aléatoire X ? 2. Lorsque le candidat donne une mauvaise réponse, il peut choisir à nouveau une des autres réponses proposées. Le jury lui attribue alors 1/2 point par bonne réponse. Soit Y le nombre de 1/2 points obtenus lors de ces secondes tentatives.Quelle est la loi de la variable aéatoire Y ? 3. Soit T le nombre total de points obtenus. Déterminez k pour que le candidat obtienne en moyenne une note supérieure ou égale à 10 sur 20 afin qu’il soit admis. 1 Exercice 4 Supposons qu’une tentative pour obtenir une communication téléphonique échoue (par exemple, parce que la ligne est occupée) avec la probabilité 0.25 et réussisse avec la probabilité 0.75. On suppose que les tentatives sont indépendantes les unes des autres. Quelle est la probabilité d’obtenir la communication si l’on peut effectuer trois tentatives au maximum ? Exercice 5 Un fabricant de pièces de machine prétend qu’au plus 10% de ses pièces sont défectueuses. Un acheteur a besoin de 120 pièces. Pour disposer d’un nombre suffisant de bonnes pièces, il en commande 140. Si l’affirmation du fabricant est valable, quelle est la probabilité que l’acheteur reçoive au moins 120 bonnes pièces ? Exercice 6 Les statistiques antérieures d’une compagnie d’assurances permettent de prévoir qu’elle recevra en moyenne 300 réclamations durant l’année en cours. Quelle est la probabilité que la compagnie reçoive plus de 350 réclamations pendant l’année en cours ? Exercice 7 Le nombre moyen de clients qui se présentent à la caisse d’un supermarché sur un intervalle de 5 minutes est de 10. Quelle est la probabilité qu’aucun client ne se présente à la caisse dans un intervalle de deux minutes (deux méthodes possibles) ? Exercice 8 Soit une variable aléatoire X ≈ N (53, σ = 10) représentant le résultat d’un examen pour un étudiant d’une section. Déterminer la probabilité pour que le résultat soit compris entre 33.4 et 72.6. Exercice 9 On suppose que la glycémie est distribué normalement dans la population, avec une moyenne de 1g/l et un écart type 0.03g/l. On mesure la glycémie chez un individu. Calculer la probabilité pour que sa glycémie soit : (a) Inférieure à 1.06. (c) Supérieure 0.9985. 2
