UNIVERSIT´
E SULTAN MOULAY SLIMANE Ann´ee Universitaire :2021-2022
´
Ecole Nationale de Commerce et de Gestion Section A
De B´eni Mellal Professeure: H. SABIKI
S´erie Num´ero 03 : Variable al´eatoire continue et Lois de Probabilit´es
Exercice 1 On consid`ere une variable al´eatoire Xdont une fonction de densit´e fest d´efinie
par :
f(x) =
x+ 1 si x∈[−1,0],
cos(x)
2si x∈[0,π
2]
0 sinon .
(a) V´erifier que fest bien une densit´e de probabilit´e
(b) D´eterminer la fonction de r´epartition de X
(c) Calculer l’esp´erence de X
Exercice 2 Dans une usine, on fabrique des boules pour le d´ecoration. Le rayon de ces boules
est une variable al´eatoire Rqui a pour fonction de densit´e :
fR(r) = 2
9r(3 −r) si r∈[0,3]
0 sinon .
(a) L’usine s’int´eresse `a la quantit´e de mati`ere n´ecessaire pour fabriquer ces boules et demande
de calculer la fonction de densit´e de la surface S= 4πR2d’une boule.
(b) Calculer l’esp´erence de la variable al´eatoire S.
Exercice 3 Le candidat se pr´esente `a un oral de concours. Le jury qui l’a convoqu´e lui pose
20 questions. Pour chaque question, le mˆeme nombre k>2 de r´eponses lui sont propos´ees dont
une et une seule est la bonne. Le candidat qui n’a pas travaill´e son oral, choisit au hasard une
des r´eponses propos´ees.
1. Le jury attribue un point par bonne r´eponse. Soit Xle nombre de points obtenus `a l’issue
de l’oral. Quelle est la loi de la variable al´eatoire X?
2. Lorsque le candidat donne une mauvaise r´eponse, il peut choisir `a nouveau une des autres
r´eponses propos´ees. Le jury lui attribue alors 1/2 point par bonne r´eponse. Soit Yle
nombre de 1/2 points obtenus lors de ces secondes tentatives.Quelle est la loi de la variable
a´eatoire Y?
3. Soit Tle nombre total de points obtenus. D´eterminez kpour que le candidat obtienne en
moyenne une note sup´erieure ou ´egale `a 10 sur 20 afin qu’il soit admis.
1
Exercice 4 Supposons qu’une tentative pour obtenir une communication t´el´ephonique ´echoue
(par exemple, parce que la ligne est occup´ee) avec la probabilit´e 0.25 et r´eussisse avec la
probabilit´e 0.75. On suppose que les tentatives sont ind´ependantes les unes des autres. Quelle
est la probabilit´e d’obtenir la communication si l’on peut effectuer trois tentatives au maximum ?
Exercice 5
Un fabricant de pi`eces de machine pr´etend qu’au plus 10% de ses pi`eces sont d´efectueuses. Un
acheteur a besoin de 120 pi`eces. Pour disposer d’un nombre suffisant de bonnes pi`eces, il en
commande 140. Si l’affirmation du fabricant est valable, quelle est la probabilit´e que l’acheteur
re¸coive au moins 120 bonnes pi`eces ?
Exercice 6 Les statistiques ant´erieures d’une compagnie d’assurances permettent de pr´evoir
qu’elle recevra en moyenne 300 r´eclamations durant l’ann´ee en cours. Quelle est la probabilit´e
que la compagnie re¸coive plus de 350 r´eclamations pendant l’ann´ee en cours ?
Exercice 7 Le nombre moyen de clients qui se pr´esentent `a la caisse d’un supermarch´e sur
un intervalle de 5 minutes est de 10. Quelle est la probabilit´e qu’aucun client ne se pr´esente `a
la caisse dans un intervalle de deux minutes (deux m´ethodes possibles) ?
Exercice 8 Soit une variable al´eatoire X≈ N (53, σ = 10) repr´esentant le r´esultat d’un
examen pour un ´etudiant d’une section. D´eterminer la probabilit´e pour que le r´esultat soit
compris entre 33.4 et 72.6.
Exercice 9 On suppose que la glyc´emie est distribu´e normalement dans la population, avec
une moyenne de 1g/l et un ´ecart type 0.03g/l. On mesure la glyc´emie chez un individu. Calculer
la probabilit´e pour que sa glyc´emie soit :
(a) Inf´erieure `a 1.06.
(c) Sup´erieure 0.9985.
2
1
/
2
100%
