2013-2014

Universit´ ePierreetMarieCurie(Paris6)
Probabilit´ es et statistiques ´ el´ ementaires – LM231
Contrˆ ole continu du 28 f´ evrier 2014 - Dur´ ee 1h30
Exercice 1 Un voyageur se d´eplace par avion de la ville A`a la ville Den
faisant escale par les villes Bet C. Les probabilit´es de perdre un bagage en A
lors du vol de A`a B(´ev´enement ˜ EA), en Blors du vol de B`a C(´ev´enement
˜
EB)ouenClors du vol de C`a D(´ev´enement ˜ EC) sont ´egales et valent p.
On appelle EA(resp. EB,,EC) les ´ev´enements “le bagage s’est perdu en A”
(resp. en B,resp.enC).
1) On note Pl’´ev´enement “le bagage s’est perdu pendant le trajet de A`a
D”. Exprimer Pen fonction de EA,E
B,E C.
2) Calculer les probabilit´es des ´ev´enements EA,EB,ECet P.
2) A son arriv´ee en Dle voyageur constate que son bagage s’est perdu.
Calculer les probabilit´es respectives que celui-ci soit rest´e en A,B,C(on
supposera que les ´ev´enements EA,E
B,E Csont mutuellement ind´ependants).
Exercice 2 On dispose de quatre d´es, chacun num´erot´es de 1 `a 6. On jette
les quatre d´es et on note k1,k
2,k 3,k 4les chiffres lus respectivement sur le
premier, le deuxi`eme, le troisi`eme d´e et le quatri`eme d´e. Pour i=1,2,3,4,
on note Ail’´ev´enement “le nombre de valeurs distinctes lues sur les d´es ´egale
i”. On note ´egalement
–B:“obtenir des nombres diff´erents sur chacun des d´es” ;
–C: “obtenir une paire” c’est-`a dire deux et seulement deux d´es parmi
les quatre portent la mˆeme valeur.
–D: “obtenir une double paire” : c’est-`a-dire deux d´es avec une mˆeme
valeur et les deux autres avec une mˆeme valeur distincte de la premi`e r e .
–E: “obtenir un brelan” c’est-`a-dire trois d´es et seulement trois d´es
parmi les quatre portent une mˆeme valeur.
1) D´efinir un espace probabilis´e qui mod´elise le jeu.
2) Expliquer pourquoi B=A4,C=A3,A2=D∪E.
3) Calculer les probabilit´es des ´ev´enements Ai,i=1,2,3,4. B,C, D,E.
4) Le joueur gagne 1/P(Ai) euros si l’´ev´enement Aise r´ealise. On note Xle
gain du joueur.
4.a) Expliquer pourquoi Xest une variable al´eatoire.
4.b) Calculer son esp´erance.
1

Exercice 3 On suppose que (Ai)i∈{1,...,n}est une suite d’´ev´enements de
l’espace probabilis´e (Ω,B,P).
1) Quelle est la tribu engendr´ee par Ai?
2) On suppose que la famille (Ai)i∈{1,...,n}est ind´ependante. D´emontrer que
la famille d’´ev´enements (Ac
i)i∈{1,...,n}est ind´ependante.
3) On suppose en outre que chaque ´ev´enement Aiest de probabilit´e 1/n.On
note Bn=A1∪···∪Anet pn=P(Bn). D´emontrer que pnadmet une limite
quand n→∞et la d´eterminer.
2

Universit´ e Pierre et Marie Curie
UE LM231 – Probabilit´ es et Statistiques
Licence de Math´ ematiques L2
Ann´ ee 2013-14
Contrˆ ole continu du 11 avril 2014 - Dur´ ee 1h30
Exercice 1
1. Calculer la fonction g´en´eratrice d’une v.a.r. suivant une loi de Poisson de param`etre
λ.
2. On consid`ere deux v.a.r. Xi,i=1,2ind´ependantes,chacunesuivantuneloide
Poisson de param`etre λi,i=1,2. Quelle est la fonction g´en´eratrice de la v.a.
X1+X2?
3. Que dire de la loi de X1+X2?
Exercice 2 On suppose que Xest une v.a.r ne prenant que des valeurs sup´erieures ou
´e g a l e s `a 1 /2etadmettantunedensit´econtinueparmorceaux´egale`aρX:R→]0,∞[. On
note FXla fonction de r´epartition de X(on rappelle que pour tout tr´eel FX(t)=P(X≤
t)).
1. D´emontrer que FXest d´erivable en tout point o`u ρXest continue et qu’en un tel
point ton a F′
X(t)=ρX(t).
2. On note Y=1
X.
(a) Expliquer pourquoi Yest une variable al´eatoire.
(b) D´emontrer que si FYest la fonction de r´epartition de Yon a pour tout r´eel
t>0
FY(t)=1−FX(1
t).
3. Expliquer rapidement pourquoi Yadmet une densit´e et la calculer en fonction de
celle de X.
4. On suppose que Xsuit une loi uniforme sur [1/2,1]. Calculer l’esp´erance et la
variance de Y.
5. On suppose `a pr´esent que (Xk)k≥1est une suite de v.a.r. i.i.d. suivant une loi
uniforme sur [1/2,1].
(a) D´emontrer que P-presque sˆurement la somme
Mn:= 1
n
n
!
k=1
1
Xk
converge vers une v.a.r. que l’on identifiera.
(b) Expliquer pourquoi il existe un r´eel apour lequel la limite suivante existe
lim
n→∞
P(√n(Mn−a)∈[−1,1])?

Universit´ ePierreetMarieCurie
UE LM231 – Probabilit´ es et Statistiques
Licence de Math´ ematiques L2
Ann´ ee 2013-14
Examen du 6 mai 2014 - Dur´ ee 2h
Aucun document autoris´e ni calculatrices, t´el´ephones portables etc.
Exercice 1 On dispose de deux pi`eces de monnaie Aet Btruqu´ees que l’on ne peut pas
distinguer l’une de l’autre. Quand on lance la pi`ece Ale cˆot´e pile sort avec probabilit´e p
tandis que le lancer de la pi`ece Bfait apparaˆıtre pile avec probabilit´e 1 −p. On choisit
une des deux pi`eces au hasard et on la lance successivement deux fois. On se propose de
r´epondre `a la question suivante : sachant que pile apparaˆıt lors du premier lancer, quelle
est la probabilit´e que pile apparaisse lors du second lancer ?
On mod´elisera le probl`eme de la fa¸con suivante : Il existe un espace probabilis´e
(Ω,B,P) et des variables al´eatoires L:Ω→{A, B},X1,X
2:Ω→{1,0}(pile =1,
face = 0) tels que : (i) P(L=A)=P(L=B)=1/2 et (ii) P(Xi=1|L=A)=p,
P(Xi=1|L=B)=1−p(pour i=1,2). On suppose en outre que : (iii) X1et X2
sont ind´ependantes conditionnelement `a Lc’est-`a-dire que pour tout l∈{A, B}et tout
(x1,x
2)∈{0,1}2on a P(X1=x1et X2=x2|L=l)=P(X1=x1|L=l)P(X2=x2|L=
l).
1. Que repr´esentent dans le probl`eme les variables al´eatoires L, X1,X
2et la quantit´e
P(X2=1|X1=1)?
2. Calculer en fonction de ples probabilit´es P(X1=1)etP(X1=1etX2=1).
3. En d´eduire P(X2=1|X1=1).
4. Comparer P(X2=1|X1=1)`a1/2.
5. Construire un espace (Ω,B,P) et des variables al´eatoires L:Ω→{A, B},X1,X
2:
Ω→{1,0}v´erifiant les conditions (i), (ii) et (iii).
Exercice 2
1. On suppose que Uest une variable al´eatoire r´eelle suivant une loi uniforme sur [0,1].
(a) Calculer la fonction de r´epartition de la variable al´eatoire −ln U.
(b) En d´eduire que −ln Usuit une loi exponentielle de param`etre 1.
(c) Pour λ>0, d´eterminer la loi de la variable al´eatoire (−1/λ) ln U.
2. Soient X1,...,X
n,... une suite de variables al´eatoires r´eelles ind´ependantes de
mˆeme loi de densit´e ρ:R→[0,∞[etg:R→Rune fonction continue par
morceaux et born´ee.
(a) Calculer l’esp´erance et la variance de la variable al´eatoire g(X1) en fonction
de get de ρ. Que dire de l’esp´erance et de la variance de g(Xi)pouri≥2?
(b) Exprimer la fonction caract´eristique de la v.a.r. g(Xi) en fonction de ρ.
(c) D´emontrer que les variables al´eatoires g(Xi), i=1,2,..., admettent toutes la
mˆeme loi.

(d) On pose Sn(g)=g(X1)+···+g(Xn).D´emontrer que la suite de v.a.r. Sn(g)/n
converge presque sˆurement vers !Rρ(x)g(x)dx.
(e) D´emontrer pour tout a≥0 l’´egalit´e :
lim
n→∞
P"#
#
#
#
Sn(g)
n−$R
ρ(x)g(x)dx#
#
#
#≤aσ(g)
√n%=1 √2π$a
−a
e−x2/2dx
avec (σ(g))2=!Rg2(x)ρ(x)dx −"!Rg(x)ρ(x)dx%2
.
3. On suppose `a pr´esent que U1,...,U
n,... est une suite de v.a.r. i.i.d suivant une
mˆeme loi uniforme sur [0,1] et on pose pour i≥1, Xi=−ln Ui.
(a) Expliquer pourquoi X1,...,X
n,...est une suite de v.a.r. i.i.d et d´eterminer la
densit´e ρde leur loi commune.
(b) On pose f(x)=e−x4(sin x)1]0,∞[(x), g=f/ρ(ρde la question 3a) et on d´efinit
comme dans la question 2 la v.a.r. Sn(g)=g(X1)+···+g(Xn). D´emontrer
que pour nassez grand on a avec probabilit´e sup´erieure ou ´egale `a 0.95
$∞
0
e−x4sin xdx ∈[Sn(g)
n−C
√n,Sn(g)
n+C
√n]
o`u C≈1.96e,e´etant la base du logarithme n´ep´erien (e≈2,718). On rappelle
que (2π)−1/2!c
−ce−t2/2dt =0.95 pour c≈1.96
Exercice 3
1. On suppose que Yest une v.a.r. suivant une loi normale N(µ, σ2)(esp´eranceµ,
variance σ2, densit´e (2πσ2)−1/2e−(t−µ)2/2σ2). D´emontrer qu’il existe une v.a.r. ˜ Y
suivant une loi normale centr´ee r´eduite N(0,1) telle que Y=σ˜ Y+µ.
2. On rappelle que la fonction caract´eristique d’une v.a.r. suivant une loi normale
centr´ee r´eduite est la fonction ϕ:R→R,ϕ(t)=e−t2/2. Que vaut la fonction
caract´eristique d’une v.a.r. suivant une loi normale N(µ, σ2)?
3. On suppose que pour tout n≥0 la v.a.r. Xnsuit une loi normale N(0,σ
2
n)(centr´ee
de variance σ2
n). D´emontrer que si la suite de v.a.r. (Xn)n≥0converge en loi vers
une v.a.r. Xalors Xsuit une loi normale centr´ee.
FIN
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