3 Fonctions d`une variable aléatoire

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3. Caractéristiques et fonctions d’une v.a.
MTH2302D
S. Le Digabel, École Polytechnique de Montréal
A2016
(v1)
MTH2302D: fonctions d’une v.a.
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Plan
1. Caractéristiques d’une distribution
2. Fonctions d’une variable aléatoire
3. Distribution d’une fonction d’une variable aléatoire
4. Espérance et variance de fonctions de v.a.
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1. Caractéristiques d’une distribution
2. Fonctions d’une variable aléatoire
3. Distribution d’une fonction d’une variable aléatoire
4. Espérance et variance de fonctions de v.a.
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Espérance mathématique
Soit X une variable aléatoire. L’espérance mathématique (ou
moyenne) de X est
X
I µ=
xi pX (xi ) si X est discrète.
xi ∈RX
Z
I
+∞
µ=
xfX (x)dx si X est continue.
−∞
Autres notations : µ = E(X) = E[X].
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Exemple 1
Une boı̂te contient 5 DVDs parmi lesquels 2 sont défectueux. Un
échantillon de 2 disques est prélevé (sans remise) de la boı̂te.
Soit X : le nombre de DVDs défectueux dans l’échantillon.
Calculer l’espérance de la v.a. discrète X.
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Exemple 2
L’erreur commise lors de la mesure du diamètre d’une pièce
produite en série est approximée par une v.a. X (en mm) dont la
fonction de densité est
3
2
4 (1 − x ) si − 1 < x < 1,
f (x) =
0
sinon.
Calculer l’espérance de la v.a. continue X.
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Variance et écart-type
Soit X une variable aléatoire. La variance de X est
X
I σ2 =
(xi − µ)2 pX (xi ) si X est discrète.
xi ∈RX
I
2
Z
+∞
σ =
(x − µ)2 fX (x)dx si X est continue.
−∞
L’écart-type de X est σ =
√
σ2.
Autres notations : σ 2 = Var(X) = V(X) = V(X).
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Variance (suite)
I
V(X) = E[(X − E[X])2 ]
= E[X 2 ] − (E[X])2 .
I
Si X est discrète,
P
V(X) =
(xi − µ)2 pX (xi ) =
xi ∈RX
I
Si X est continue,
+∞
R
V(X) =
(x − µ)2 fX (x)dx =
−∞
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!
P
xi ∈RX
+∞
R
x2i pX (xi )
− µ2 .
!
x2 fX (x)dx
− µ2 .
−∞
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Exemple 3
Montrer que dans l’exemple 1, σ 2 = 0.36, et que dans l’exemple 2,
σ 2 = 0.2.
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Inégalité de Bienaymé-Tchebychev
Théorème
Si E(X) = µ et V(X) = σ 2 , alors, pour tout a > 0, on a
P (µ − aσ ≤ X ≤ µ + aσ) > 1 − 1/a2 .
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Moments d’ordre supérieur
Soit X une variable aléatoire et k ≥ 0 un entier.
1. Le k e moment de X par rapport à l’origine est
I
I
X
µ0k =
µ0k =
xki pX (xi ) si X est discrète.
xi ∈RX
Z +∞
xk fX (x)dx si X est continue.
−∞
2. Le k e moment de X par rapport à la moyenne µ est
I
X
µk =
(xi − µ)k pX (xi ) si X est discrète.
xi ∈RX
+∞
Z
I
µk =
(x − µ)k fX (x)dx si X est continue.
−∞
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Moments d’ordre supérieur (suite)
3. Moyenne : µ = µ01 .
4. Variance : σ 2 = µ2 .
5. Relation entre µk et µ0k :
k
X
k
j
µk =
(−1)
µj µ0k−j .
j
j=0
Exemple 4
Utiliser ces relations pour montrer que σ 2 = µ02 − µ2 .
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Coefficients de forme
I
Coefficient d’asymétrie (skewness) :
I
I
I
γ1 = µ3 /σ 3 .
Si γ1 > 0, la distribution est étalée vers la droite. Si γ1 < 0,
c’est vers la gauche. Si la distribution est symétrique, alors
γ1 = 0. L’inverse n’est pas vrai.
Coefficient d’aplatissement (kurtosis) :
I
β2 = µ4 /σ 4
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Médiane
I
La médiane de la v.a. X est une valeur x̃ telle que
P (X ≤ x̃) ≥ 1/2 et P (X ≥ x̃) ≥ 1/2
ou bien
P (X ≤ x̃) ≥ 1/2 et P (X < x̃) ≤ 1/2.
I
I
Utile si on a de grandes valeurs dans RX car cette valeur est
moins influencée que la moyenne par les valeurs extrêmes.
On n’a pas forcément x̃ ∈ RX .
I
Si X est discrète, alors x̃ peut ne pas être unique.
I
Si X est continue, x̃ est unique et peut être trouvée avec
P (X ≤ x̃) = P (X ≥ x̃) = 1/2.
Dans le cas continu, la médiane est un cas particulier de la
notion de quantile.
I
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Les centiles (quantiles ou percentiles)
On considère une v.a. X continue et p un nombre réel avec
0 ≤ p ≤ 1. On appelle le 100p-ième quantile (ou quantile d’ordre
p, ou centile, ou percentile) de X le nombre xp tel que
P (X ≤ xp ) = p et P (X ≥ xp ) = 1 − p.
I
Le 50-ième centile est la médiane : x̃ = x0.5 .
I
Quartiles : Q1 = x0.25 , Q2 = x̃ = x0.5 , Q3 = x0.75 .
I
Écart interquartile : IQR = Q3 − Q1 . Mesure la dispersion de
la moitié de la distribution car P (Q1 ≤ X ≤ Q3 ) = 50%.
I
Parfois, xp est noté le 100(1 − p)-ième quantile.
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Autres caractéristiques
I
Mode de X : c’est la (ou les) valeur x∗ telle que
pX (x∗ ) ≥ pX (x) pour tout x ∈ RX (cas discret). Dans le cas
continu, remplacer pX par fX .
I
Étendue de X : c’est max{RX } − min{RX }. Peut être +∞.
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1. Caractéristiques d’une distribution
2. Fonctions d’une variable aléatoire
3. Distribution d’une fonction d’une variable aléatoire
4. Espérance et variance de fonctions de v.a.
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Événements équivalents
Soit X une variable aléatoire et H une fonction. Alors Y = H(X)
est une autre variable aléatoire.
On calcule la probabilité d’un événement C de RY en considérant
l’événement équivalent B de RX :
B = {x ∈ RX |H(x) ∈ C} .
La probabilité est donnée par
P (Y ∈ C) = P (X ∈ B).
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Exemple 5
Le diamètre d’un fil est une v.a. de densité
fX (x) =
200 si 1 ≤ x ≤ 1.005 ,
0 sinon.
Quelle est la probabilité que l’aire de la section de ce fil soit
inférieure à 1.01π/4 ?
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1. Caractéristiques d’une distribution
2. Fonctions d’une variable aléatoire
3. Distribution d’une fonction d’une variable aléatoire
4. Espérance et variance de fonctions de v.a.
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Cas 1 : X et Y sont discrètes
Si X est une v.a. discrète et Y = H(X) est discrète, alors la
fonction de masse de Y est donnée par
X
pY (y) = P (Y = y) =
P (X = x).
{x∈RX |H(x)=y}
Exemple 6
Soit X une v.a. dont la fonction de masse est donnée par la
tableau suivant :
x
pX (x)
-2
-1
0
1
2
1
8
1
4
1
8
1
4
1
4
Déterminer la fonction de masse de Y = X 2 .
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Cas 2 : X est continue et Y est discrète
Si X est une v.a. continue et Y = H(X) est discrète alors la
fonction de masse de Y est donnée par
Z
pY (y) = P (Y = y) =
fX (x)dx.
{x∈RX |H(x)=y}
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Exemple 7
Pour 1 kg d’un certain alliage
X de densité


fX (x) =

la teneur en magnésium est une v.a.
x
8
0
si 0 ≤ x ≤ 4 ,
sinon.
Chaque kg de cet alliage génère une perte de 100$ si la teneur est
inférieure à 2, aucun profit si la teneur est supérieure à 2 mais
inférieure à 3, et un profit de 400$ si la teneur est supérieure à 3.
On considère 1 kg de cet alliage.
Déterminer la fonction de masse du profit Y et le profit moyen
E(Y ).
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Cas 3 : X et Y sont continues
Si X est une v.a. continue et Y = H(X) est continue alors il y a
deux façons de déterminer la fonction de densité de Y ,
dépendamment de la fonction H.
Première façon, qui s’applique toujours.
1. Déterminer la fonction de répartition de Y :
FY (y) = P (Y ≤ y) = P (H(X) ≤ y).
2. Obtenir la densité fy en dérivant FY :
fY (y) =
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d
FY (y).
dy
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Cas 3 : X et Y sont continues (suite)
Deuxième façon, si H est strictement croissante ou décroissante.
Dans ce cas, la densité de Y est donnée par
dx fY (y) = fX (x) dy
où x = H −1 (y) et fX (x) est exprimée en fonction de y.
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Cas 3 : X et Y sont continues (suite)
Exemple 8
Première façon.
Un courant électrique d’intensité aléatoire X traverse un appareil
de résistance constante r. La puissance obtenue est alors donnée
par la v.a. Y = rX 2 (loi d’Ohm).
Supposons que la fonction de densité de X soit
2
2xe−x si x ≥ 0 ,
fX (x) =
0
sinon.
Déterminer la fonction de densité de Y .
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Cas 3 : X et Y sont continues (suite)
Exemple 9
Deuxième façon.
Soit X une v.a. de densité
fX (x) =
e−x si x > 0 ,
0 sinon
et Y = 3X − 2.
Déterminer la fonction de densité de Y .
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1. Caractéristiques d’une distribution
2. Fonctions d’une variable aléatoire
3. Distribution d’une fonction d’une variable aléatoire
4. Espérance et variance de fonctions de v.a.
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Définition
Soit X et Y = H(X) des v.a. L’espérance mathématique de Y est
I
E[H(X)] =
X
H(xi )pX (xi ) si X est discrète.
xi ∈RX
Z
I
∞
E[H(X)] =
H(x)fX (x)dx si X est continue.
−∞
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Cas particuliers
1. Si H(x) = x, alors E[H(X)] = µ (moyenne de X).
2. Si H(x) = (x − µ)2 , alors E[H(X)] = σ 2 (variance de X).
3. Si H(x) = (x − µ)k , alors E[H(X)] = µk (moments par
rapport à la moyenne).
4. Si H(x) = xk , alors E[H(X)] = µ0k (moments par rapport à
l’origine).
1 si x ∈ A
, alors
0
sinon
E[H(X)] = P (X ∈ A).
5. Si H(x) = 1A (x) =
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Variance
Soit X une variable aléatoire et Y = H(X). La variance de Y est
h
i
V[H(X)] = E (H(X) − E[H(X)])2
h
i
= E (H(X))2 − (E[H(X)])2 .
Cas particulier important
Si H(x) = ax + b (H est linéaire) alors
I
E(aX + b) = aE(X) + b.
I
V(aX + b) = a2 V(X).
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Exemple 10
Soit X une variable aléatoire de densité

 1 si − 1 ≤ x ≤ 1 ,
2
fX (x) =
 0 sinon.
Si Y = X 2 , calculer E[Y ] et V[Y ].
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