BCPST 1B 2015/2016 Feuille 42 : Variables aléatoires. Exemples de loi. 1) 20 bovins se répartissent au hasard et indépendamment les uns des autres, dans 3 étables E1 , E2 et E3 . On suppose que chaque étable peut abriter la totalité du troupeau. Soit Xk la variable aléatoire définie par le nombre d’animaux ayant choisi l’étable Ek . a. Déterminer les lois de probabilité de ces trois variables. b. Quelle est la loi de X1 + X2 + X3 ? c. Quelle est la loi de X1 + X2 . 2) On lance dix dés pipés et dix dés normaux ; la probabilité d’obtenir 6 sur un dé pipé vaut 12 . On note X le nombre de 6 obtenus. a. Donner une fonction Python permettant de simuler la loi de X. b. Quelle est l’espérance de X ? 3) Sur un stock de 100 dés, 25 sont pipés ; la probabilité d’obtenir 6 sur un dé pipé vaut 12 . On choisit un dé au hasard et on le lance 10 fois et on note X la variable aléatoire comptant le nombre de 6 obtenu. a. Donner une fonction Python permettant de simuler la loi de X. b. Ecrire un programme permettant d’estimer l’espérance. c. Quelle est la loi de X et son espérance ? 4) On estime à N le nombre de poissons vivant dans un lac. On effectue une première capture de n poissons que l’on bague avant de les remettre dans le lac. Peu de temps après, on capture à nouveau n poissons, en prenant soin de les prélever un par un et de rejetter le poisson prélevé avant de prélever le suivant. On note B la variable aléatoire qui compte le nombre de poissons bagués prélevés. a. A chaque prélèvement d’un poisson, quelle est la probabilité de prélever un poisson bagué ? b. Quelle est la loi de cette variable ? c. Quel est le nombre moyen de poisson bagués prélevés ? d. On capture maintenant n poissons simultanément et on note X la variable aléatoire qui compte le nombre de poissons bagués prélevés. Quelle est la loi de X ? 5) Lors d’un concours d’équitation, un cavalier effectue un parcours de 1 500 m à la vitesse de 10 km/h et franchit sur ce parcours six obstacles indépendamment. Pour ce cavalier, la probabilité de franchir ”sans faute” un obstacle est 32 ; le passage sans faute d’un obstacle ne ralentit pas le cavalier, tandis qu’un passage avec faute lui fait perdre une minute. Soit X la variable aléatoire qui prend pour valeur le nombre d’obstacles franchis sans faute. a. Déterminer la loi de X. b. Donner la durée moyenne du parcours. 6) Soit X ,→ B 10 ; 1 2 a. Donner l’espérance et la variance de X. b. Quel majorant de P (|X − 5| > 4) obtient-on en appliquant l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev ? c. Calculer P (|X − 5| > 4). 7) Dans une population de 500 personnes, la moitié possède un ordinateur. On fait un sondage auprès de n personnes de cette population. On note Yn la proportion de sondés ayant un ordinateur. Déterminer à l’aide de l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, une valeur de n à partir de laquelle cette proportion se trouve dans l’intervalle ]0,48 , 0,52[, avec une probabilité supérieure à 0,5 8) Dans une population, la moitié possède un ordinateur. On fait un sondage auprès de n personnes de cette population. On suppose que la population est suffisamment importante pour assimiler ce sondage à un tirage avec remise. On note Yn la proportion de sondés ayant un ordinateur. Déterminer à l’aide de l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, une valeur de n à partir de laquelle cette proportion se trouve dans l’intervalle ]0,48 , 0,52[, avec une probabilité supérieure à 0,5 9) Un mobile se déplace de façon aléatoire sur un axe gradué. A l’instant 0, il est à l’origine. A chaque instant entier, son abscisse varie de +1 avec la probabilité p (on parle de ”pas vers la droite”) et de −1 avec la probabilité q = 1 − p (on parle de ”pas vers la gauche”). On note Xn l’abscisse du point occupé par le mobile à l’instant n. a. Donner Xn (Ω) b. Donner une fonction Python permettant de simuler la loi de Xn . (n étant un argument de cette fonction). c. On note Dn le nombre de pas vers la droite effectuées par le mobile jusqu’à l’instant n. Exprimer Xn en fonction de n et de Dn . d. En déduire, à l’aide de la loi de Dn , la loi de Xn . e. Déterminer l’espérance et la variance de Xn . f. Pour quelle valeur de p la variable est-elle centrée ? Interpréter. 10) Une urne contient 5 dés truqués et 15 dés normaux à six faces. Les dés truqués donnent 6 avec une 1 probabilité égale à . On prélève au hasard 5 dés de l’urne et on les lance et on note X le nombre de 6 3 obtenus. Le but de cet exercice est de déterminer l’espérance de X. a. Donner l’ensemble des valeurs prises par X. b. Ecrire un programme Python permettant d’évaluer l’espérance de X. On note Y la variable aléatoire égale au nombre de dés truqués prélevés dans l’urne. c. Déterminer la loi de Y et son espérance. d. Sachant que dans l’urne on n’a prélevé que des dés normaux, quelle est la loi de X et son espérance ? e. Sachant que dans l’urne on n’a prélevé que des dés truqués, quelle est la loi de X et son espérance ? f. Pour i ∈ [[1; 4]], on suppose que l’événement (Y = i) est réalisé, décrire alors l’expérience et déterminer pour la probabilité conditionnelle P(Y =i) l’espérance de X. g. Montrer que : E(X) = 5 X i=0 h. En déduire que : E(X) = 25 24 P (Y = i) × 5 X k=0 ! k P(Y =i) (X = k)