BCPST 1B 2015/2016 Feuille 42 : Variables aléatoires. Exemples

BCPST 1B2015/2016
Feuille 42 : Variables al´eatoires. Exemples de loi.
1) 20 bovins se r´epartissent au hasard et ind´ependamment les uns des autres, dans 3 ´etables E1,E2et E3.
On suppose que chaque ´etable peut abriter la totalit´e du troupeau.
Soit Xkla variable al´eatoire d´efinie par le nombre d’animaux ayant choisi l’´etable Ek.
a. D´eterminer les lois de probabilit´e de ces trois variables.
b. Quelle est la loi de X1+X2+X3?
c. Quelle est la loi de X1+X2.
2) On lance dix d´es pip´es et dix d´es normaux ; la probabilit´e d’obtenir 6 sur un d´e pip´e vaut 1
2.
On note Xle nombre de 6 obtenus.
a. Donner une fonction Python permettant de simuler la loi de X.
b. Quelle est l’esp´erance de X?
3) Sur un stock de 100 d´es, 25 sont pip´es ; la probabilit´e d’obtenir 6 sur un d´e pip´e vaut 1
2.
On choisit un d´e au hasard et on le lance 10 fois et on note Xla variable al´eatoire comptant le nombre
de 6 obtenu.
a. Donner une fonction Python permettant de simuler la loi de X.
b. Ecrire un programme permettant d’estimer l’esp´erance.
c. Quelle est la loi de Xet son esp´erance ?
4) On estime `a Nle nombre de poissons vivant dans un lac. On effectue une premi`ere capture de npoissons
que l’on bague avant de les remettre dans le lac. Peu de temps apr`es, on capture `a nouveau npoissons,
en prenant soin de les pr´elever un par un et de rejetter le poisson pr´elev´e avant de pr´elever le suivant. On
note Bla variable al´eatoire qui compte le nombre de poissons bagu´es pr´elev´es.
a. A chaque pr´el`evement d’un poisson, quelle est la probabilit´e de pr´elever un poisson bagu´e ?
b. Quelle est la loi de cette variable ?
c. Quel est le nombre moyen de poisson bagu´es pr´elev´es ?
d. On capture maintenant npoissons simultan´ement et on note Xla variable al´eatoire qui compte le
nombre de poissons bagu´es pr´elev´es.
Quelle est la loi de X?
5) Lors d’un concours d’´equitation, un cavalier effectue un parcours de 1 500 m `a la vitesse de 10 km/h et
franchit sur ce parcours six obstacles ind´ependamment.
Pour ce cavalier, la probabilit´e de franchir ”sans faute” un obstacle est 2
3; le passage sans faute d’un
obstacle ne ralentit pas le cavalier, tandis qu’un passage avec faute lui fait perdre une minute.
Soit Xla variable al´eatoire qui prend pour valeur le nombre d’obstacles franchis sans faute.
a. D´eterminer la loi de X.
b. Donner la dur´ee moyenne du parcours.
6) Soit X → B 10 ; 1
2
a. Donner l’esp´erance et la variance de X.
b. Quel majorant de P(|X−5|>4) obtient-on en appliquant l’in´egalit´e de Bienaym´e-Tchebychev ?
c. Calculer P(|X−5|>4).
7) Dans une population de 500 personnes, la moiti´e poss`ede un ordinateur. On fait un sondage aupr`es de
npersonnes de cette population. On note Ynla proportion de sond´es ayant un ordinateur. D´eterminer
`a l’aide de l’in´egalit´e de Bienaym´e-Tchebychev, une valeur de n`a partir de laquelle cette proportion se
trouve dans l’intervalle ]0,48 ,0,52[, avec une probabilit´e sup´erieure `a 0,5

8) Dans une population, la moiti´e poss`ede un ordinateur. On fait un sondage aupr`es de npersonnes de
cette population. On suppose que la population est suffisamment importante pour assimiler ce sondage `a
un tirage avec remise. On note Ynla proportion de sond´es ayant un ordinateur. D´eterminer `a l’aide de
l’in´egalit´e de Bienaym´e-Tchebychev, une valeur de n`a partir de laquelle cette proportion se trouve dans
l’intervalle ]0,48 ,0,52[, avec une probabilit´e sup´erieure `a 0,5
9) Un mobile se d´eplace de fa¸con al´eatoire sur un axe gradu´e. A l’instant 0, il est `a l’origine. A chaque instant
entier, son abscisse varie de +1 avec la probabilit´e p(on parle de ”pas vers la droite”) et de −1 avec la
probabilit´e q= 1 −p(on parle de ”pas vers la gauche”). On note Xnl’abscisse du point occup´e par le
mobile `a l’instant n.
a. Donner Xn(Ω)
b. Donner une fonction Python permettant de simuler la loi de Xn. (n´etant un argument de cette
fonction).
c. On note Dnle nombre de pas vers la droite effectu´ees par le mobile jusqu’`a l’instant n. Exprimer Xn
en fonction de net de Dn.
d. En d´eduire, `a l’aide de la loi de Dn, la loi de Xn.
e. D´eterminer l’esp´erance et la variance de Xn.
f. Pour quelle valeur de pla variable est-elle centr´ee ? Interpr´eter.
10) Une urne contient 5 d´es truqu´es et 15 d´es normaux `a six faces. Les d´es truqu´es donnent 6 avec une
probabilit´e ´egale `a 1
3. On pr´el`eve au hasard 5 d´es de l’urne et on les lance et on note Xle nombre de 6
obtenus.
Le but de cet exercice est de d´eterminer l’esp´erance de X.
a. Donner l’ensemble des valeurs prises par X.
b. Ecrire un programme Python permettant d’´evaluer l’esp´erance de X.
On note Yla variable al´eatoire ´egale au nombre de d´es truqu´es pr´elev´es dans l’urne.
c. D´eterminer la loi de Yet son esp´erance.
d. Sachant que dans l’urne on n’a pr´elev´e que des d´es normaux, quelle est la loi de Xet son esp´erance ?
e. Sachant que dans l’urne on n’a pr´elev´e que des d´es truqu´es, quelle est la loi de Xet son esp´erance ?
f. Pour i∈[[1; 4]], on suppose que l’´ev´enement (Y=i) est r´ealis´e,
d´ecrire alors l’exp´erience et d´eterminer pour la probabilit´e conditionnelle P(Y=i)l’esp´erance de X.
g. Montrer que :
E(X) =
5
X
i=0 P(Y=i)×
5
X
k=0
k P(Y=i)(X=k)!
h. En d´eduire que : E(X) = 25
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