Feuille de TD n˚11

Feuille de TD n˚11
MP Lycée Clemenceau
Novembre 2016
Exercice 1 : Loi de Zipf
Soit a ∈ ]1, +∞[. On définit le réel
ζ(a) =
+∞
X
1
a
n
n=1
1) Démontrer qu’on peut définir une probabilité Pa sur IN∗ à l’aide des réels :
∀k ∈ IN∗
pk =
1
ζ(a)k a
Cette probabilité est appelée loi de Zipf de paramètre a.
Cette loi a été introduite par le mathématicien Georges Zipf pour rendre compte de la fréquence d’apparition
d’un mot dans une langue donnée.
On considère désormais l’espace probabilisé (IN∗ , P(IN∗ ), Pa ).
2) Soient m ∈ IN∗ et Am = mIN = {km, k ∈ IN∗ }. Calculer Pa (mIN).
3) Donner une condition nécessaire et suffisante sur deux entiers i et j pour que Ai et Aj soient indépendants
4) (Application) On note pi le i ième nombre premier et Cn l’ensemble des entiers divisibles par aucun des
nombres pi pour i ∈ [[1, n]].
(a) Calculer Pa (Cn )
\
(b) Déterminer ,
Cn
n>1
(c) En déduire le développement eulérien de la fonction ζ :
∀a > 1
ζ(a) =
+∞
Y
i=1
1
1− a
pi
−1
Exercice 2 : Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes. Donner la loi de Z = X + Y dans les cas
suivants :
1) X ∼ P(λ) et Y ∼ P(µ), avec λ 6= µ
2) X ∼ G (p) et Y ∼ G (q), avec p 6= q
Exercice 3 : Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes, telles que X ∼ P(λ) et Y ∼ P(µ).
Déterminer la loi de X sachant que (X + Y = n).
Exercice 4 : Soient X1 et X2 deux variables aléatoires indépendantes suivant les lois respectives G (p1 ) et
G (p2 ).
1) Calculer P (X1 > k) et P (X2 > k) pour k ∈ IN∗
2) Calculer la probabilité des événements (X1 6 X2 ) et (X2 6 X1 ).
3) On pose M = min(X1 , X2 ). Calculer P (M > m) pour m ∈ M (Ω). En déduire la loi de M .
4) Retrouver la loi de M par un raisonnement direct.
5) Démontrer que la loi de X1 sachant (X1 6 X2 ), la loi de X2 sachant (X2 6 X1 ) et la loi de M sont identiques.
Interprétation ?
1
Exercice 5 : Inégalité de Jensen
Soient X une variable aléatoire à valeurs dans IN et f une fonction de IR dans IR dérivable, convexe. On
suppose que X et f (X) admettent toutes deux une espérance.
1) Montrer que
∀x ∈ IR
f (x) > f 0 (E(x)) (x − E(X)) + f (E(X))
2) En déduire l’inégalité de Jensen :
f (E(X)) 6 E (f (X))
Exercice 6 : Soient X une variable aléatoire suivant une loi de Poisson de paramètre λ > 0 et Y une variable
aléatoire réelle indépendante de X suivant la loi uniforme sur {1, 2}.
1) Donner la loi, l’espérance et la variance de Z = XY .
2) Calculer la probabilité que Z soit paire.
Exercice 7 : Soit (Xn )n∈IN∗ une suite de variables aléatoires indépendantes suivant toutes une loi de Bernoulli
de paramètre p ∈ ]0, 1[ et définies sur le même espace probabilisé (Ω, T , P ).
On pose, pour k ∈ IN∗ , Yk = Xk Xk+1 .
1) Donner la loi de Yk , ainsi que l’espérance et la variance de Yk .
2) Soient i et j deux entiers naturels distincts. Discuter, suivant les valeurs de i et j, de l’indépendance de Yi
et Yj .
Déterminer cov (Yi , Yj ).
n
P
3) On pose, pour n ∈ IN∗ , Zn = n1
Yi .
k=1
Calculer l’espérance et la variance de Zn .
4) En déduire que, pour tout ε > 0, P Zn − p2 > ε −→ 0.
n→+∞
Fonctions à valeurs vectorielles.
Exercice 8 : Soit f une fonction dérivable de IR dans IR.
Montrer que |f | admet en tout point une dérivée à droite et une dérivée à gauche.
Exercice 9 : Pour tout réel x, on pose :
x
1
2
x /2!
x
1
3
Dn (x) = x /3! x2 /2! x
..
..
.
.
xn /n! · · ·
···
..
..
.
.
x /2!
2
0 1 x a) Montrer que Dn est une fonction dérivable et calculer Dn0 (x).
b) En déduire l’expression de Dn (x).
Exercice 10 : Déterminer les applications f de IR dans IR telles qu’il existe une application g ∈ C 0 (IR, IR)
vérifiant :
∀ (x, y) ∈ IR2 f (x + y) − f (x − y) = 2yg(x)
Indication : on pourra s’intéresser à l’existence des dérivées successives de f
Exercice 11 : Déterminer l’ensemble des fonctions f : IR → IR, dérivables en 0 et telles que
∀x ∈ IR
f (2x) = 2f (x)
2
Exercice 12 : Soit f une fonction définie sur IR à valeur dans E.
1) On suppose que f est dérivable en 0.
Calculer, pour k ∈ ]0, 1[
lim
x→0
1
(f (x) − f (kx))
x
2) Réciproque : on suppose que la fonction est continue en 0 et que pour k ∈ ]0, 1[
1
lim (f (x) − f (kx)) = L
x→0 x
(a) Montrer que pour tout ε > 0, il existe η > 0 tel que pour tout x ∈ ]−η, η[, pour tout n ∈ IN∗
n
n
1
(f (x) − f (k n x)) − L 1 − k ≤ ε 1 − k
x
1−k
1−k
(b) En déduire que f est dérivable en 0 et exprimer f 0 (0)
Exercice 13 : Soit f une fonction de IR dans IR dérivable en 0 et telle que f (0) = 0.
Calculer la limite suivante :
n
X
k
lim
f
n→+∞
n2
k=0
Exercice 14 : Calculer les dérivées nièmes, pour n ∈ IN, des fonctions suivantes :
1) x 7→ x2 + 1 e−2x
2) x 7→ x2 e−x cos(x)
3) x 7→ xn−1 ln(x)
Exercice 15 : Soit f la restriction de la fonction tan à l’intervalle − π2 , π2 .
1 (n)
On note an = n!
f (0) pour tout n ∈ IN.
Montrer que :
n
X
∀n ∈ IN∗ (n + 1)an+1 =
ak an−k
k=0
En déduire le développement limité à l’ordre 7 en 0 de la fonction tan.
Exercice 16 : Soit f de classe C 2 sur R telle que f et f 00 soient bornées.
Montrer, à l’aide d’une formule de Taylor, que
2
kf 0 k∞ 6 4 kf k∞ kf 00 k∞
Exercice 17 : Calculer les intégrales suivantes :
Z
π
2
1)
2
3
sin (t) cos (t) dt
−π
2
π
2
Z
2)
0
Z
1
3)
0
sin(2t)
p
dt
1 − a sin(t)
Z
t arctan(t)
dt
1 + t2
1
4)
−1
√
Z
π
6
5)
π
12
dx
sin(x).(sin(x) − cos(x))
1
√
dt
1−t+ 1+t
Exercice 18 : Soit f une fonction continue sur [0, 1] telle que
Z
∀n ∈ IN
1
xn f (x) dx = 0
0
Montrer que f = 0.
Exercice 19 : Soit (a, b) ∈ IR2 tel que a < b.
Soit f ∈ C 0 ((a, b] , IR) et ϕ : I → IR une fonction continue et convexe sur un intervalle I contenant f ([a, b]).
Montrer que :
!
Z b
Z b
1
1
ϕ
f (t) dt 6
ϕ ◦ f (t) dt
b−a a
b−a a
3
Exercice 20 :
Soient f et g continues sur [a, b], g positive sur [a, b]. Montrer qu’il existe c ∈ [a, b] tel que
Z
b
Z
b
g(t).dt
f (t).g(t).dt = f (c).
a
a
Trouver un exemple, avec g changeant de signe, où l’égalité est fausse.
Exercice 21 :
Soit E un espace vectoriel normé de dimension finie et f ∈ C 2 ([a, b] , E) telle que f (a) = f (b) = 0. Montrer
que
Z
(b − a)3
b
f (t) dt ≤
sup kf 00 k
a
12
[a,b]
indication : on pourra comparer
Rb
a
f (t) dt et
Rb
a
(t − a) (t − b) f 00 (t) dt
Exercice 22 : Soit f ∈ C 2 ([0, 1] , IR) telle que f (0) = f 0 (0) = f 0 (1) = 0 et f (1) = 1.
Montrer qu’il existe a ∈ [0, 1] tel que |f 00 (a)| > 4.
4