Feuille de TD n˚11

Feuille de TD n˚11
MP Lyc´ee Clemenceau
Novembre 2016
Exercice 1 : Loi de Zipf
Soit a∈]1,+∞[. On d´efinit le r´eel
ζ(a) =
+∞
X
n=1
1
na
1) D´emontrer qu’on peut d´efinir une probabilit´e Pasur IN∗`a l’aide des r´eels :
∀k∈IN∗pk=1
ζ(a)ka
Cette probabilit´e est appel´ee loi de Zipf de param`etre a.
Cette loi a ´et´e introduite par le math´ematicien Georges Zipf pour rendre compte de la fr´equence d’apparition
d’un mot dans une langue donn´ee.
On consid`ere d´esormais l’espace probabilis´e (IN∗,P(IN∗), Pa).
2) Soient m∈IN∗et Am=mIN = {km, k ∈IN∗}. Calculer Pa(mIN).
3) Donner une condition n´ecessaire et suffisante sur deux entiers iet jpour que Aiet Ajsoient ind´ependants
4) (Application) On note pile ii`eme nombre premier et Cnl’ensemble des entiers divisibles par aucun des
nombres pipour i∈[[1, n]].
(a) Calculer Pa(Cn)
(b) D´eterminer ,\
n>1
Cn
(c) En d´eduire le d´eveloppement eul´erien de la fonction ζ:
∀a > 1ζ(a) =
+∞
Y
i=1 1−1
pa
i−1
Exercice 2 : Soient Xet Ydeux variables al´eatoires ind´ependantes. Donner la loi de Z=X+Ydans les cas
suivants :
1) X∼P(λ) et Y∼P(µ), avec λ6=µ
2) X∼G(p) et Y∼G(q), avec p6=q
Exercice 3 : Soient Xet Ydeux variables al´eatoires ind´ependantes, telles que X∼P(λ) et Y∼P(µ).
D´eterminer la loi de Xsachant que (X+Y=n).
Exercice 4 : Soient X1et X2deux variables al´eatoires ind´ependantes suivant les lois respectives G(p1) et
G(p2).
1) Calculer P(X1>k) et P(X2>k) pour k∈IN∗
2) Calculer la probabilit´e des ´ev´enements (X16X2) et (X26X1).
3) On pose M= min(X1, X2). Calculer P(M>m) pour m∈M(Ω). En d´eduire la loi de M.
4) Retrouver la loi de Mpar un raisonnement direct.
5) D´emontrer que la loi de X1sachant (X16X2), la loi de X2sachant (X26X1) et la loi de Msont identiques.
Interpr´etation ?
1

Exercice 5 : In´egalit´e de Jensen
Soient Xune variable al´eatoire `a valeurs dans IN et fune fonction de IR dans IR d´erivable, convexe. On
suppose que Xet f(X) admettent toutes deux une esp´erance.
1) Montrer que
∀x∈IR f(x)>f0(E(x)) (x−E(X)) + f(E(X))
2) En d´eduire l’in´egalit´e de Jensen :
f(E(X)) 6E(f(X))
Exercice 6 : Soient Xune variable al´eatoire suivant une loi de Poisson de param`etre λ > 0 et Yune variable
al´eatoire r´eelle ind´ependante de Xsuivant la loi uniforme sur {1,2}.
1) Donner la loi, l’esp´erance et la variance de Z=XY .
2) Calculer la probabilit´e que Zsoit paire.
Exercice 7 : Soit (Xn)n∈IN∗une suite de variables al´eatoires ind´ependantes suivant toutes une loi de Bernoulli
de param`etre p∈]0,1[ et d´efinies sur le mˆeme espace probabilis´e (Ω,T, P ).
On pose, pour k∈IN∗,Yk=XkXk+1.
1) Donner la loi de Yk, ainsi que l’esp´erance et la variance de Yk.
2) Soient iet jdeux entiers naturels distincts. Discuter, suivant les valeurs de iet j, de l’ind´ependance de Yi
et Yj.
D´eterminer cov (Yi, Yj).
3) On pose, pour n∈IN∗,Zn=1
n
n
P
k=1
Yi.
Calculer l’esp´erance et la variance de Zn.
4) En d´eduire que, pour tout ε > 0, PZn−p2>ε−→
n→+∞0.
Fonctions `a valeurs vectorielles.
Exercice 8 : Soit fune fonction d´erivable de IR dans IR.
Montrer que |f|admet en tout point une d´eriv´ee `a droite et une d´eriv´ee `a gauche.
Exercice 9 : Pour tout r´eel x, on pose :
Dn(x) =
x1 0
x2/2! x1
x3/3! x2/2! x...
.
.
.......1
xn/n!··· ··· x2/2! x
a) Montrer que Dnest une fonction d´erivable et calculer D0
n(x).
b) En d´eduire l’expression de Dn(x).
Exercice 10 : D´eterminer les applications fde IR dans IR telles qu’il existe une application g∈C0(IR,IR)
v´erifiant :
∀(x, y)∈IR2f(x+y)−f(x−y)=2yg(x)
Indication : on pourra s’int´eresser `a l’existence des d´eriv´ees successives de f
Exercice 11 : D´eterminer l’ensemble des fonctions f: IR →IR, d´erivables en 0 et telles que
∀x∈IR f(2x)=2f(x)
2

Exercice 12 : Soit fune fonction d´efinie sur IR `a valeur dans E.
1) On suppose que fest d´erivable en 0.
Calculer, pour k∈]0,1[
lim
x→0
1
x(f(x)−f(kx))
2) R´eciproque : on suppose que la fonction est continue en 0 et que pour k∈]0,1[
lim
x→0
1
x(f(x)−f(kx)) = L
(a) Montrer que pour tout ε > 0,il existe η > 0 tel que pour tout x∈]−η, η[, pour tout n∈IN∗
1
x(f(x)−f(knx)) −L1−kn 1−k
≤ε1−kn
1−k
(b) En d´eduire que fest d´erivable en 0 et exprimer f0(0)
Exercice 13 : Soit fune fonction de IR dans IR d´erivable en 0 et telle que f(0) = 0.
Calculer la limite suivante :
lim
n→+∞
n
X
k=0
fk
n2
Exercice 14 : Calculer les d´eriv´ees ni`emes, pour n∈IN, des fonctions suivantes :
1) x7→ x2+ 1e−2x
2) x7→ x2e−xcos(x)
3) x7→ xn−1ln(x)
Exercice 15 : Soit fla restriction de la fonction tan `a l’intervalle −π
2,π 2.
On note an=1
n!f(n)(0) pour tout n∈IN.
Montrer que :
∀n∈IN∗(n+ 1)an+1 =
n
X
k=0
akan−k
En d´eduire le d´eveloppement limit´e `a l’ordre 7 en 0 de la fonction tan.
Exercice 16 : Soit fde classe C2sur Rtelle que fet f00 soient born´ees.
Montrer, `a l’aide d’une formule de Taylor, que
kf0k2
∞64kfk∞kf00k∞
Exercice 17 : Calculer les int´egrales suivantes :
1) Zπ
2
−π
2
sin2(t) cos3(t)dt
2) Zπ
2
0
sin(2t)
p1−asin(t)dt
3) Z1
0
tarctan(t)
1 + t2dt
4) Z1
−1
1
√1−t+√1 + tdt
5) Zπ
6
π
12
dx
sin(x).(sin(x)−cos(x))
Exercice 18 : Soit fune fonction continue sur [0,1] telle que
∀n∈IN Z1
0
xnf(x)dx = 0
Montrer que f= 0.
Exercice 19 : Soit (a, b)∈IR2tel que a<b.
Soit f∈ C0((a, b],IR) et ϕ:I→IR une fonction continue et convexe sur un intervalle Icontenant f([a, b]).
Montrer que :
ϕ 1
b−aZb
a
f(t)dt!61
b−aZb
a
ϕ◦f(t)dt
3

Exercice 20 :
Soient f et g continues sur [a, b], g positive sur [a, b]. Montrer qu’il existe c∈[a, b] tel que
Zb
a
f(t).g(t).dt =f(c).Zb
a
g(t).dt
Trouver un exemple, avec g changeant de signe, o`u l’´egalit´e est fausse.
Exercice 21 :
Soit Eun espace vectoriel norm´e de dimension finie et f∈C2([a, b], E) telle que f(a) = f(b) = 0.Montrer
que
Zb
a
f(t)dt
≤(b−a)3
12 sup
[a,b]kf00k
indication : on pourra comparer Rb
af(t)dt et Rb a(t−a) (t−b)f00 (t)dt
Exercice 22 : Soit f∈ C2([0,1] ,IR) telle que f(0) = f0(0) = f0(1) = 0 et f(1) = 1.
Montrer qu’il existe a∈[0,1] tel que |f00(a)|>4.
4