Optimisation sous contrainte en probabilité (résumé de

Optimisation sous contrainte en probabilité (résumé de thèse)
Laetitia Andrieu
La décision dans l’incertain est un thème de recherche particulièrement actif à l’heure
actuelle, en raison notamment de ses nombreuses applications dans différents domaines de
l’ingéniérie (télécommunications, transports, . . .), de la gestion et de la finance, etc. La
formulation de ces problèmes en termes de problèmes d’optimisation sous contraintes est une
approche classique. Cependant, dans un contexte aléatoire (ou stochastique), la nature des
contraintes prises en compte requiert une attention particulière :
• les contraintes à satisfaire “presque sûrement” sont généralement irréalistes ou
antiéconomiques (on ne dimensionne pas les réseaux pour écouler le trafic des heures de
pointe de l’année), en dehors bien sûr des relations mathématiques qui représentent les
lois de la Physique ;
• les contraintes à satisfaire “en espérance”, quoique mathématiquement agréables, n’ont
pas de signification pratique très utile, dans la mesure où le respect d’une inégalité sur
l’espérance ne garantit rien sur la fréquence des dépassements de cette inégalité ;
• les contraintes à satisfaire avec une certaine probabilité sont généralement celles qui ont
le plus de signification pratique, mais elles sont difficiles à traiter mathématiquement ;
• d’autres mesures de risque ont été récemment proposées (conditional value-at-risk, ordres
stochastiques mettant en jeu les fonctions de répartition ou leurs intégrales. . .), notamment
dans le domaine de la finance, pour aller dans le sens d’un traitement mathématique
plus facile (préservation de la convexité par exemple), mais avec une certaine perte de
l’interprétation intuitive qu’on peut leur donner.
Dans le cadre de ma thèse, je m’intéresse à la thématique de l’optimisation sous contrainte en
probabilité, à la fois dans ses aspects théoriques et sous l’angle de la résolution numérique de ces
problèmes par des techniques de gradient stochastique. L’objectif consiste à essayer de mettre
au point des méthodes de résolution numérique basées sur les idées générales de la dualité et
des algorithmes de type “gradient stochastique”. Sur le plan théorique, l’une des difficultés
fondamentales que soulève le traitement des contraintes en probabilité est que ces contraintes
s’expriment essentiellement comme l’espérance d’une fonction indicatrice d’ensemble, fonction
à la fois non convexe et discontinue : le traitement de telles quantités par des méthodes
d’approximation stochastique est donc très difficile. Trois voies sont actuellement explorées
pour contourner ces difficultés :
• des méthodes permettant, sous certaines conditions, d’échanger la contrainte en probabilité avec une mesure de risque plus agréable sur le plan mathématique ;
• des méthodes d’intégration par parties ou de changement de variables dans le calcul de
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l’espérance permettant, sous certaines conditions, de remplacer la fonction indicatrice
par sa primitive, évidemment plus régulière, et donc plus facile à traiter du point de
vue de l’approximation stochastique : on obtient ainsi des estimateurs non biaisés mais
présentant une certaine variance ;
• des méthodes de “lissage” remplaçant la fonction indicatrice par une approximation
“adoucie”, ce qui introduit un certain biais dans l’estimation, biais qu’on cherche ensuite
à faire tendre asymptotiquement vers zéro.
Ces méthodes doivent être évaluées et comparées à la fois sur les plans théorique et numérique,
en utilisant pour cela deux exemples issus l’un d’un problème de parcours optimal avec risque
et l’autre d’un problème d’investissement en finance. Sur le plan théorique, la façon de faire
tendre de façon optimale le biais vers zéro avec l’avancement des itérations de l’algorithme d’approximation stochastique est une préoccupation fondamentale. Les études numériques doivent
permettre de mener les comparaisons pratiques entre méthodes qui échappent à la théorie (notamment parce qu’il est difficile d’évaluer a priori la variance des estimateurs que chaque approche permet de construire).
Enfin, une autre difficulté est liée à la stratégie de résolution elle-même. En effet, dans le
cas non-convexe, ou même dans le cas limite de problèmes convexes mais pas strictement ou
fortement convexes, il est préférable de recourir à l’idée du Lagrangien augmenté ; cependant,
sur le mélange de l’espérance (traitée comme dans le gradient stochastique) et des non linéarités
du Lagrangien augmenté, des difficultés, qu’il serait trop long de tenter d’expliciter ici, doivent
être surmontées.
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