Optimisation sous contrainte en probabilité (résumé de

Optimisation sous contrainte en probabilit´e (r´esum´e de th`ese)
Laetitia Andrieu
La d´ecision dans l’incertain est un th`eme de recherche particuli`erement actif `a l’heure
actuelle, en raison notamment de ses nombreuses applications dans diff´erents domaines de
l’ing´eni´erie (t´el´ecommunications, transports, . . .), de la gestion et de la finance, etc. La
formulation de ces probl`emes en termes de probl`emes d’optimisation sous contraintes est une
approche classique. Cependant, dans un contexte al´eatoire (ou stochastique), la nature des
contraintes prises en compte requiert une attention particuli`ere :
•les contraintes `a satisfaire “presque sˆurement” sont g´en´eralement irr´ealistes ou
anti´economiques (on ne dimensionne pas les r´eseaux pour ´ecouler le trafic des heures de
pointe de l’ann´ee), en dehors bien sˆur des relations math´ematiques qui repr´esentent les
lois de la Physique ;
•les contraintes `a satisfaire “en esp´erance”, quoique math´ematiquement agr´eables, n’ont
pas de signification pratique tr`es utile, dans la mesure o`u le respect d’une in´egalit´e sur
l’esp´erance ne garantit rien sur la fr´equence des d´epassements de cette in´egalit´e ;
•les contraintes `a satisfaire avec une certaine probabilit´e sont g´en´eralement celles qui ont
le plus de signification pratique, mais elles sont difficiles `a traiter math´ematiquement ;
•d’autres mesures de risque ont ´et´e r´ecemment propos´ees (conditional value-at-risk, ordres
stochastiques mettant en jeu les fonctions de r´epartition ou leurs int´egrales. . .), notamment
dans le domaine de la finance, pour aller dans le sens d’un traitement math´ematique
plus facile (pr´eservation de la convexit´e par exemple), mais avec une certaine perte de
l’interpr´etation intuitive qu’on peut leur donner.
Dans le cadre de ma th`ese, je m’int´eresse `a la th´ematique de l’optimisation sous contrainte en
probabilit´e, `a la fois dans ses aspects th´eoriques et sous l’angle de la r´esolution num´erique de ces
probl`emes par des techniques de gradient stochastique. L’objectif consiste `a essayer de mettre
au point des m´ethodes de r´esolution num´erique bas´ees sur les id´ees g´en´erales de la dualit´e et
des algorithmes de type “gradient stochastique”. Sur le plan th´eorique, l’une des difficult´es
fondamentales que soul`eve le traitement des contraintes en probabilit´e est que ces contraintes
s’expriment essentiellement comme l’esp´erance d’une fonction indicatrice d’ensemble, fonction
`a la fois non convexe et discontinue : le traitement de telles quantit´es par des m´ethodes
d’approximation stochastique est donc tr`es difficile. Trois voies sont actuellement explor´ees
pour contourner ces difficult´es :
•des m´ethodes permettant, sous certaines conditions, d’´echanger la contrainte en probabi-
lit´e avec une mesure de risque plus agr´eable sur le plan math´ematique ;
•des m´ethodes d’int´egration par parties ou de changement de variables dans le calcul de
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l’esp´erance permettant, sous certaines conditions, de remplacer la fonction indicatrice
par sa primitive, ´evidemment plus r´eguli`ere, et donc plus facile `a traiter du point de
vue de l’approximation stochastique : on obtient ainsi des estimateurs non biais´es mais
pr´esentant une certaine variance ;
•des m´ethodes de “lissage” rempla¸cant la fonction indicatrice par une approximation
“adoucie”, ce qui introduit un certain biais dans l’estimation, biais qu’on cherche ensuite
`a faire tendre asymptotiquement vers z´ero.
Ces m´ethodes doivent ˆetre ´evalu´ees et compar´ees `a la fois sur les plans th´eorique et num´erique,
en utilisant pour cela deux exemples issus l’un d’un probl`eme de parcours optimal avec risque
et l’autre d’un probl`eme d’investissement en finance. Sur le plan th´eorique, la fa¸con de faire
tendre de fa¸con optimale le biais vers z´ero avec l’avancement des it´erations de l’algorithme d’ap-
proximation stochastique est une pr´eoccupation fondamentale. Les ´etudes num´eriques doivent
permettre de mener les comparaisons pratiques entre m´ethodes qui ´echappent `a la th´eorie (no-
tamment parce qu’il est difficile d’´evaluer a priori la variance des estimateurs que chaque ap-
proche permet de construire).
Enfin, une autre difficult´e est li´ee `a la strat´egie de r´esolution elle-mˆeme. En effet, dans le
cas non-convexe, ou mˆeme dans le cas limite de probl`emes convexes mais pas strictement ou
fortement convexes, il est pr´ef´erable de recourir `a l’id´ee du Lagrangien augment´e ; cependant,
sur le m´elange de l’esp´erance (trait´ee comme dans le gradient stochastique) et des non lin´earit´es
du Lagrangien augment´e, des difficult´es, qu’il serait trop long de tenter d’expliciter ici, doivent
ˆetre surmont´ees.
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