PROBABILITES - Variables aleatoires discretes

Variables aléatoires discrètes - Page 1 sur 8
Cours
V A R IABLE S A L E A T O I R E S D I S C R E T E S
Le hasard, c’est « l’involontaire simulant le volontaire » - Tarde
I
II
I -
--
- DEFINITIONS
DEFINITIONS DEFINITIONS
DEFINITIONS
Soit Ω un univers.
Variable aléatoire
Variable aléatoireVariable aléatoire
Variable aléatoire
Définir une variable aléatoire sur Ω, c’est associer à chaque éventualité de Ω un unique nombre réel.
Exercice corrigé : On lance 3 fois une pièce équilibrée . Soit X le nombre de piles obtenu.
On a Ω = { FFF, FFP, FPF, FPP, PFF, PFP, PPF, PPP }
X prend alors respectivement les valeurs 0 1 1 2 1 2 2 3
Les valeurs possibles de X sont donc 0, 1, 2, 3.
La probabilité que X prenne la valeur 0 vaut
1
8
, comme pour la valeur 3 . On note P ( X = 0 ) =
1
8
.
La probabilité que X prenne la valeur 1 vaut
3
8
, comme pour la valeur 2 .
On désigne par X ( Ω ) l’ensemble des valeurs possibles de X : X ( Ω ) = {
x x x
n1 2
, ,...,
} .
Variable aléatoire discrète
Variable aléatoire discrèteVariable aléatoire discrète
Variable aléatoire discrète
On dit qu'une variable aléatoire X est discrète
si l’ensemble des valeurs possibles X ( Ω ) est fini ou dénombrable.
En mathématiques, un ensemble est dit dénombrable, ou infini dénombrable, lorsque ses éléments
peuvent être listés sans omission ni répétition dans une suite indexée par les entiers.
Exemple : N est dénombrable alors que R ne l’est pas.
Loi de probabilité
Loi de probabilitéLoi de probabilité
Loi de probabilité
La loi de probabilité d’une variable aléatoire X est la fonction qui , à tout élément x de X ( Ω ),
fait correspondre la probabilité que X prenne cette valeur x ( que l’on note P ( X = x ) ) .
Il est commode de présenter cette loi de probabilité sous forme d’un tableau :
Valeurs prises par X :
x
i
. . .
Probabilité p
i
= P ( X =
x
i
) . . .
On a :
p
i
i
n
=
∑
=
1
1
Exemple précédent : La loi de probabilité de X est résumée dans ce tableau :
x
i
0 1 2 3
P ( X =
x
i
)
1
8
3
8
3
8
1
8

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I
II
II
I I
I -
--
- ESPERANCE MATHEMATIQUE
ESPERANCE MATHEMATIQUE ESPERANCE MATHEMATIQUE
ESPERANCE MATHEMATIQUE
Déf
DéfDéf
Déf
On appelle espérance mathématique de la variable aléatoire X le nombre : E ( X ) =
p x
i i
i
n
=
∑
1
Propriété : Pour tous réels a et b : E (a X + b) = a E (X) + b
Exemple précédent : L’espérance mathématique de X est :
E (X) =
1 3 3 1 12
0 1 2 3 1,5
8 8 8 8 8
× + × + × + × = =
I
II
III
IIII
II -
--
- VARIANCE , ECART
VARIANCE , ECART VARIANCE , ECART
VARIANCE , ECART-
--
-TYPE
TYPETYPE
TYPE
Variance
VarianceVariance
Variance
La variance de la variable aléatoire X est le nombre : V ( X ) =
1
2
( )
( )
n
i i
i
p x E X
=
−
∑
Propriété : On montre que : V ( X ) =
( )
1
2
2
n
i i
i
p x E X
=
−
∑
= E ( X
2
) + [ E ( X ) ]
2
.
Propriété : Pour tous réels a et b : V (a X + b) = a
2
V (X)
Ecart
EcartEcart
Ecart-
--
-type
typetype
type
L’ écart-type de la variable aléatoire X est le nombre : σ
X
=
( )
V X
Exemple précédent :
La variance de X est : V (X) =
1 3 3 1
0² 1² 2² 3² 1,5² 3 1,5² 0,75
8 8 8 8
× + × + × + × − = − =
L’écart-type de X est : σ
X
=
0,75 0,87
≈
I
II
IV
VV
V –
––
– VARIABLES ALEATOIRES INDEPENDANTES
VARIABLES ALEATOIRES INDEPENDANTES VARIABLES ALEATOIRES INDEPENDANTES
VARIABLES ALEATOIRES INDEPENDANTES
Déf
DéfDéf
Déf
Deux variables aléatoires sont indépendantes ssi les événements ( X =
i
x
) et ( Y =
j
y
)
sont indépendants , c’est-à-dire que P ( ( X =
i
x
)
∩
( Y =
j
y
) ) = P ( X =
i
x
)
×
P ( Y =
j
y
) .

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Cours
EX EM P L E S D E L O I S D I S C R E T E S
LOI UNIFORME discrète
LOI UNIFORME discrèteLOI UNIFORME discrète
LOI UNIFORME discrète
Loi uniforme discrète
Loi uniforme discrèteLoi uniforme discrète
Loi uniforme discrète
On appelle loi uniforme discrète , ou encore loi équirépartie ,
toute loi d’une variable aléatoire X qui peut prendre n valeurs avec une probabilité identique.
Ensemble des valeurs possibles : X ( Ω ) = {
x x x
n1 2
, ,...,
}
P ( X =
1
x
) = P ( X =
2
x
) = … = P ( X =
n
x
) =
1
n
Exemple :
On joue avec une roulette comportant 8 secteurs de même angle au centre, numérotés de 1 à 8.
La variable X prend les valeurs du numéro obtenu .
Donner la loi de probabilité de la variable X ;
Calculer E (X).
LOI DE BERNOULLI
LOI DE BERNOULLILOI DE BERNOULLI
LOI DE BERNOULLI
Epreuve de Bernoulli
Epreuve de BernoulliEpreuve de Bernoulli
Epreuve de Bernoulli
Une épreuve de BERNOULLI de paramètre p
est une épreuve aléatoire ayant deux issues contraires
appelées SUCCES et ECHEC
de probabilités respectives
p et q = 1 - p.
Exemple : Voici quelques situations qui peuvent être modélisées par une épreuve de Bernoulli :
- Le lancer d’une pièce,
- Le lancer d’un dé – avoir 6 ou non
- Gagner à un jeu de hasard.
- La réussite à un examen …
Loi de BERNOULLI
Loi de BERNOULLILoi de BERNOULLI
Loi de BERNOULLI
La variable aléatoire X qui prend la valeur 1 en cas de succès et 0 en cas d’échec
est appelée variable de Bernoulli.
La loi de probabilité de cette variable X est appelée : loi de Bernoulli.
Ensemble des valeurs possibles : X ( Ω ) = { 0 , 1 }
P ( X = 1 ) = p et P ( X = 0 ) = q = 1 − p
x 0 1
probabilité 1 − p p

Variables aléatoires discrètes - Page 4 sur 8
Propriétés :
Si X suit une loi de Bernoulli alors :
E ( X ) = p
et
V ( X ) = p q
Exemple :
On lance une fois une pièce mal équilibrée pour laquelle la probabilité d’obtenir Pile est 0,7.
Soit X la variable aléatoire qui prend la valeur 1 quand on obtient Pile et la valeur 0 quand
on obtient Face.
Donner la loi de probabilité de X, son espérance et sa variance.
SIMULATION
Algo
AlgoAlgo
Algorithme de simulation d'une épreuve de Bernouilli de paramètre p
rithme de simulation d'une épreuve de Bernouilli de paramètre prithme de simulation d'une épreuve de Bernouilli de paramètre p
rithme de simulation d'une épreuve de Bernouilli de paramètre p
Données : p : nombre entre 0 et 1 ;
Début traitement
t prend une valeur aléatoire entre 0 et 1 ;
si t < p alors
Afficher "Succès" ;
fin
sinon
Afficher "Échec" ;
fin
Fin
TI :
TI :TI :
TI :
Prompt P
NbreAleatoire( ) →
→→
→T
If T < P
Then
Disp "SUCCES"
Else
Disp "ECHEC"
Casio :
Casio :Casio :
Casio :
"P"? →
→→
→ P
Rand# →
→→
→ T
If T < P
Then "SUCCES"
Else "ECHEC"
XCas :
XCas :XCas :
XCas :
saisir("Entrer p : ",p) ;
t :=alea(0,1) ;
si (t<p) alors
afficher("Succès") ;
sinon
afficher("Echec") ;
fsi ;
Python :
Python :Python :
Python :
from random import*
p=float(raw_input("Entrer p : "))
t=random( )
if (t<p) :
print("Succès")
else :
print("Echec")
Tableur
TableurTableur
Tableur :
::
:
Pour simuler une épreuve de Bernoulli de paramètre p, on utilise dans la formule
=Ent(Alea( )+p) ou =SI(ALEA( )<p;1;0)

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LOI BINOMIALE
LOI BINOMIALELOI BINOMIALE
LOI BINOMIALE
Schéma de Bernoulli
Schéma de BernoulliSchéma de Bernoulli
Schéma de Bernoulli
Un schéma de BERNOULLI est la répétition de n épreuves de BERNOULLI
identiques et indépendantes.
Loi
Loi Loi
Loi binomiale
binomialebinomiale
binomiale
La variable aléatoire X donnant le nombre de succès au cours de ces n épreuves
suit la loi binomiale de paramètres n et p, p étant la probabilité de succès.
On note : X ~ B ( n , p ).
Ensemble des valeurs possibles : X ( Ω ) = { 0 , 1 , 2 , . . . , n }
P ( X = k ) = knk
pp
k
n−
−
)1(
pour k
∈
{ 0 , 1 , 2 , . . . , n }
Coefficient binomial :
n
k
est le nombre de chemins de l’arbre réalisant k succès pour n répétitions. On lit « k parmi n »
TI :
TI :TI :
TI :
On utilise la fonctionnalité Combinaison
(ou nCr) qui se trouve dans Maths PRB.
Exemple : pour calculer
4
2
, on tape 4 nCr 2
Casio :
Casio :Casio :
Casio :
Pour la calculatrice Casio Graph 25+Pro,
on tape aussi 4 nCr 2, nCr est obtenu
par OPTN F6 PROB.
Tableur
TableurTableur
Tableur :
::
:
On utilise la fonctionnalité Combin (n ; k).
Propriétés :
Si X suit une loi binomiale B ( n , p ) alors :
E ( X ) = n p
et
V ( X ) = n p q
Exercice corrigé :
On lance quatre fois une pièce mal équilibrée pour laquelle la probabilité d’obtenir Pile est 0,7.
Soit X la variable aléatoire égale au nombre de piles obtenu à l’issue des 4 lancers.
Donner la loi de probabilité de X, son espérance et calculer la probabilité d’obtenir 3 piles.
La loi de probabilité de X est la loi binomiale B( 4 ; 0,7 ).
E ( X ) = n p = 2,8 ;
P ( X = 3 ) =
3 1
4
(1 )
3
p p
  −
P ( X = 3 ) = 0,4116