TD 01 - Révisions d`électrocinétique

TD 01 Révisions d’électrocinétique
⋆Dipôles et circuits du premier ordre
1. Loi des nœuds en terme de potentiel
En partant de la loi des nœuds et de la loi d’Ohm, exprimer le potentiel VDdu
noeud Den fonction des potentiels VA,VB,VCdes nœuds respectifs A,Bet C.
2. Point de fonctionnement d’un circuit à diode Zener
Un générateur idéal de tension de f.é.m. E > 0et branché en série avec une
résistance Ret une diode Zener Ddont la caractéristique courant tension I(U)
est donnée dans la figure ci-dessous (à droite).
1. Déterminer le point de fonctionnement du montage, c’est-à-dire l’intensité du
courant et la tension aux bornes de la diode.
2. Même question si on retourne la diode.
3. Charge d’un condensateur
On considère le circuit ci-contre. À t= 0, on
met le circuit sous tension par l’intermédiaire du
générateur antérieurement éteint.
1. Déterminer i(0+)et i(∞)par des considéra-
tions simples.
2. Déterminer i(t).
3. Calculer la constante de temps τpour C=
10 µF,R1= 6 kΩ,r= 100 Ω et R= 4 kΩ.
La comparer à la valeur qu’elle aurait si R1
était infinie et rnulle.
E
r
R1
R
C
i
u
⋆Oscillateurs amortis
4. Décrément logarithmique
On étudie la réponse u(t)à
un échelon de tension e(t)
dans le circuit ci-contre.
e
LR1
R2Cu
1. Déterminer la valeur u(∞)vers laquelle tend u(t)lorsque la valeur de e(t)est
E, en dessinant un schéma équivalent en régime permanent.
2. Démontrer que
d2u(t)
dt2+ 2λdu dt +ω2
0u(t) = ω2 0u(∞).
On exprimera λet ω0en fonction de L,R1,R2et C.
3. Définir et tracer un échelon de tension. Expliquer comment on le réalise ex-
périmentalement.
4. On observe sur un oscilloscope la courbe u(t)suivante.
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(a) Déterminer la valeur numérique
de la pseudo-période T.
(b) Déterminer la valeur numérique
du décrément logarithmique dé-
fini par
δ=1
nln u(t)−u(∞) u−t+nT )−u(∞).
5. Exprimer la forme mathématique de u(t)en fonction de λ,ω0,u(∞)et t. On
ne cherchera pas à déterminer les constantes d’intégration.
6. Déterminer la relation entre δ,λet T. En déduire la valeur numérique de λ.
Relier λau facteur de qualité Q.
7. Sachant que R1= 200 Ω,R2= 5 kΩ,L= 100 mH, déterminer la valeur
numérique de C.
5. Oscillateur à deux ressorts
Un mobile supposé ponctuel de masse mest astreint à glisser le long d’une tige
horizontale de direction (Ox). Ce mobile est relié par deux ressorts linéaires à
deux points fixes Aet B.
Les deux ressorts sont identiques : même constante de raideur ket même longueur
au repos ℓ0. Dans la position d’équilibre du système, les longueurs des ressorts
sont identiques et valent ℓeq, et le mobile se trouve à l’origine Ode l’axe (Ox).
On se place dans le référentiel terrestre, considéré comme galiléen. À t= 0, le
mobile est abandonné sans vitesse initiale de la position x06= 0.
1. Dans un premier temps, on néglige tout frottement.
(a) Établir l’équation différentielle dont x(t)est solution.
(b) Montrer que le système constitue un oscillateur harmonique dont on pré-
cisera la pulsation ω0et la période T0en fonction de ket m.
(c) Donner l’expression de x(t)en tenant compte des conditions initiales.
2. En fait, il existe des frottements entre le mobile et la tige. On modélise ce
frottement visqueux linéaire par une force ~ F=−µ~v, où µest une constante
positive et ~v la vitesse du mobile.
(a) Établir l’équation différentielle dont x(t)est la solution. On posera h=
µ
m.
(b) Montrer que lorsque µ < 23/2√km, le mouvement est oscillatoire amorti.
Donner l’expression de x(t)en tenant compte des conditions initiales, et
exprimer la pseudo-période en fonction de ω0et h.
3. Tracer l’allure des deux trajectoires de phase suivies par cet oscillateur, dans
le plan de phase défini par (x, ˙x), en l’absence de frottement, puis en présence
de frottement.
⋆Régime sinusoïdal forcé
6. Dipôles équivalents
On se place en régime sinusoïdal forcé de pulsation ωet on considère les deux
dipôles ci-dessous.
R
L
R′
L′
1. Quelles doivent être les expressions de L′et R′(en fonction de R,Let ω)
pour que les deux dipôles soient équivalents ?
2. Pour quelle pulsation a-t-on L
R=L′ R′?
7. Équilibrage d’un pont
Soit le circuit de la figure suivante, connecté à une source libre de tension sinu-
soïdale :
VC−VD=e=Emcos ωt.
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Pour déterminer les caractéristiques d’une bobine réelle, modélisée par l’associa-
tion série d’une bobine idéale d’inductance Let d’un résistor de résistance r, on
place celle-ci dans une structure en pont, alimentée par une tension sinusoïdale.
2L
e(t)
r
R
bobine inconnue VR
C
R
1
1. Exprimer la tension complexe uAB qui s’applique aux bornes du voltmètre.
2. La capacité Cdu condensateur et la résistance Rsont ajustables. On choisit
leurs valeurs de manière à annuler la tension lue par le voltmètre (on dit alors
que le pont est équilibré). Déterminer l’expression de l’inductance Let de la
résistance ren fonction de R,C,R1et R2.
8. Oscillations forcées d’un véhicule sur une route ondulée
Un véhicule automobile est sommairement modélisé par une masse mplacée en
Met reposant sur une roue de centre O, par l’intermédiaire d’un ressort de
raideur kmis en parallèle sur un amortisseur de coefficient de frottement h. En
toutes circonstances, l’axe OM reste vertical.
On se propose d’examiner le comportement du véhicule lorsqu’il a la vitesse vsur
une route dont le profil impose au centre Ode la roue une élongation zO(t) =
acos 2πx
λpar rapport à sa position d’équilibre. On repère le mouvement de
la masse mpar l’élongation z(t)par rapport à sa position d’équilibre quand le
véhicule est au repos.
en mouvement
k h k h
M
Mz(t)
z (t)
0OO
au repos
1. Établir l’équation différentielle en z(t)du mouvement de la masse, lorsque le
véhicule se déplace à vitesse constante v.
2. Déterminer l’amplitude du mouvement d’oscillation vertical du véhicule en
régime permanent.
À quelle allure faut-il rouler pour que cette amplitude soit aussi faible que
possible ?
⋆Filtres
9. Filtre à retard de phase
On considère le filtre ci-contre. La tension d’entrée
est sinusoïdale, de pulsation ω. On posera α=R′
R
et x=RCω.
1. Faire une analyse qualitative de ce filtre pour les
hautes et basses fréquences.
2. Déterminer sa fonction de transfert H=us
ue
.
3. Tracer le diagramme de Bode asymptotique de ce
filtre.
C
R
R′
ueus
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10. Filtre de Hartley
On réalise le montage décrit sur la figure suivante :
1. Établir sa fonction de transfert H(jω)sous la forme H(jω) =
H0
jω
ω0
1 + 2jω
Qω0−ω2
ω2
0
. On exprimera H0,ω0et Qen fonction de R,L, et
C.
2. Dans le cas où R= 10,0kΩ,L= 1,0mH et C= 100,0nF , le diagramme
de Bode en amplitude a l’allure présentée sur la figure suivante :
Identifier les pentes des asymptotes, les valeurs de αet β. En déduire l’allure
du diagramme de Bode en phase.
3. Le montage peut-il servir d’intégrateur, ou de dérivateur ? Si oui, dans quelle
bande de fréquence ?
4. On étudie la sortie s1(t)associée à l’entrée e1(t) = E0+E1cos(ω1t), où
ω1=1
√2LC .
Comment réaliser expérimentalement ce signal en TP ?
5. Calculer l’expression littérale de la sortie s1(t), observée sur l’oscilloscope en
régime permanent.
6. On étudie maintenant la sortie s2(t)associée au signal créneau e2(t), de
période T2= 6π√2LC, d’amplitude E2,0= 1 V, représenté sur la figure
suivante :
On donne sa décomposition en série de Fourier :
e2(t) = 4E2,0
πsin(ω2t) + sin(3ω2t) 3+sin(5ω2t) 5+···+sin[(2n+ 1)ω2t] 2n+ 1 +. . . 
Calculer la valeur efficace E2,ef f de e2(t).
7. Tracer l’allure du spectre de e2(t). Préciser numériquement les pulsations des
3 premières harmoniques.
8. Calculer numériquement les amplitudes des 3 premières harmoniques du signal
de sortie s2.
Justifier alors le nom de "tripleur de fréquence" donné au montage.
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Éléments de réponse
1. VD=
VA
R1
+VB
R2
+VC
R3
1
R1
+1
R2
+1
R3
.
2. U=U1, I =E−U1
Rsi E > U1et (U=E, I =I0)si E < U1.
3. i(t) = ER1
r(R+R1) + RR1
e−t
τ;τ= 41 ms
4. (1) u(∞) = R2
R1+R2
E.
(2) d2u
dt2+1 R2C+R1 Ldu dt +R1+R2 R2LC u=R1+R2 R2LC R2 R1+R2
e.
(3) T= 620 µs ;δ= 1,4 = λT ;λ= 2,2.103s−1;
C=1
R2(2λ−R1
L)= 100 nF .
5. (1) ¨x+2k
mx= 0 ;ω0=r2k m;T0= 2πrm 2k;x(t) = x0cos ω0t.
(2) ¨x+h˙x+ω2
0x= 0 ; régime pseudo-périodique si h < 2ω0;
x(t) = x0exp −ht
2cos Ωt+h 2Ω sin Ωt.
6. R′=R2+L2ω2
Ret L′=R2+L2ω2 Lω2;ω=R L
7. uAB =r+jLω
r+R2+jLω −(1 + jRCω)R1 (1 + jRCω)R1+Re.
r=R1R2
RL=R1R2C.
8. ¨z+ 2α˙z+ω2
0z=a(ω2
0cos ωt −2αω sin ωt).
Il faut rouler à grande vitesse pour que les amplitudes des oscillations soient
faibles.
9. H=1 + jx
1 + j(1 + α)x
10. H(jω) =
jL
Rω
1 + 2jL
Rω+ 2LC(jω)2
.
Comportement intégrateur à THF et dérivateur à TBF.
L’harmonique de rang 3 domine les autres dans le signal de sortie (amplitude
bien supérieure aux autres).
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