est vraie.
Initialisation : Si r=1, c’est évidemment vrai par définition des premiers de type 1.
Hérédité : Supposons que Prsoit vraie pour un certain r≥1. On note 4k1+1,...,4kr+1+1 des
nombres premiers impairs de type 1 (où les kisont des entiers naturels). On a alors, par hypothèse
de récurrence, l’existence de k∈Ntel que
r
Y
i=1
(4ki+1) = 4k+1. Ainsi
r+1
Y
i=1
(4ki+1) = (4k+1)(4kr+1+1) = 4(4kkr+1+k+kr+1) + 1
donc Pr+1est vérifiée.
D’après le principe de récurrence,
lorsqu’on divise par 4 un produit fini de premiers impairs de type 1, le reste est 1.
5. En déduire que Nadmet au moins un facteur premier de type 3.
D’après le théorème de décomposition en facteurs premiers, Ns’écrit comme produit de nombres
premiers. Comme 2 ne divise pas N, ces premiers sont tous impairs. S’ils étaient tous de type 1, alors,
par la question précédente, le reste de la division de Npar 4 serait 1. Or l’égalité N=4q2···qn+3
est la division euclidienne de Npar 4, puisque q2···qn∈Net 0 ≤3<4, et le reste de la division de
Npar 4 est 3 6=1. Par contraposition, Les facteurs premiers de Nne sont pas tous de type 1. Comme
ils sont impairs, c’est qu’il en existe de type 3, par une question précédente.
Ainsi, Nadmet au moins un facteur premier de type 3.
6. Conclure.
Notons pun facteur premier de type 3 divisant N, ce qui existe d’après la question précédente. Soit
i∈[[2,n]]. Comme qi>3, l’écriture N=4q2···qn+3 donne aussi la division euclidienne de Npar
qi, avec un reste de 3. Ainsi qine divise pas N. Donc qi6=p. Par ailleurs, comme q1=3 est premier
avec tous les qipour i≥2, car ce sont des nombres premiers différents de 3. Alors 3 est premier
avec q2· · · qnet comme il est aussi premier avec 4, il est premier avec le produit 4q2···qn, donc il
ne le divise pas, ce qui serait le cas par combinaison linéaire s’il divisait N=4q2···qn+3. Ainsi 3
ne divise pas N, donc p6=3.
Ainsi pest un nombre premier impair de type 3 qui n’apparaît pas dans la liste de tous les nombres
premiers impairs de type 3, ce qui est une contradiction qui clôt le raisonnement par l’absurde.
Il y a donc une infinité de nombres premiers impairs de type 3.
II. Preuve combinatoire de l’infinitude des nombres premiers
Dans cette partie, on construit une preuve de l’infinitude des nombres premiers totalement différente de
celle d’Euclide, qui repose sur des arguments combinatoires. Par conséquent, pour répondre aux questions
de cette partie, on s’interdira d’utiliser l’argument d’Euclide.
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