Fiche 2 : les fonctions

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LE TALENT C’EST D’AVOIR ENVIE
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MATHEMATIQUES Série S
Nº : 32002
Fiche Cours
Plan de la che
I - Limites, comportement asymptotique
II - Dérivation
III - Continuité
I - Limites, comportement asymptotique
Dénitions
Une fonction f a pour limite
∞+
en
∞+
lorsque :
• la fonction f est dénie sur un intervalle illimité à droite ;
• tout intervalle illimité à droite contient toutes les valeurs prises par la fonction, la variable étant sufsamment grande.
On note
∞+=
∞+ flim
ou
( ) ∞+=
∞+→ xlim xf
.
Une fonction f a pour limite
∞+
en
∞−
lorsque :
• la fonction f est dénie sur un intervalle illimité à gauche ;
• tout intervalle illimité à droite contient toutes les valeurs prises par la fonction, la variable étant négative et de valeur absolue
sufsamment grande.
On note
∞+=
∞− flim
ou
( ) ∞+=
∞−→ xlim xf
.
Une fonction f a pour limite
∞−
en
∞+
lorsque :
• la fonction f est dénie sur un intervalle illimité à droite ;
• tout intervalle illimité à gauche contient toutes les valeurs prises par la fonction, la variable étant sufsamment grande.
On note
∞−=
∞+ flim
ou
( ) ∞−=
∞+→ xlim xf
.
Une fonction f a pour limite
∞−
en
∞−
lorsque :
• la fonction f est dénie sur un intervalle illimité à gauche ;
• tout intervalle illimité à gauche contient toutes les valeurs prises par la fonction, la variable étant négative et de valeur absolue
sufsamment grande.
On note
∞−=
∞− flim
ou
( ) ∞−=
∞−→ xlim xf
.
Une fonction f a pour limite un réel en
∞+
lorsque :
• la fonction f est dénie sur un intervalle illimité à droite ;
• tout intervalle ouvert contenant contient aussi toutes les valeurs prises par la fonction, la variable étant sufsamment grande.
On note
=
∞+ flim
ou
( ) =
∞+→ xlim xf
.
Une fonction f a pour limite un réel en
∞−
lorsque :
• la fonction f est dénie sur un intervalle illimité à gauche ;
• tout intervalle ouvert contenant contient aussi toutes les valeurs prises par la fonction, la variable étant négative et de valeur
absolue sufsamment grande.
On note
=
∞− flim
ou
( ) =
∞−→ xlim xf
.
Une fonction f a pour limite
∞+
en a réel lorsque :
• la fonction f est dénie soit sur un intervalle qui contient a, soit sur un intervalle ouvert dont a est une borne ;
• tout intervalle illimité à droite contient toutes les valeurs prises par la fonction, la variable étant sufsamment proche de a.
On note
∞+=f
a
lim
ou
( ) ∞+=
→xlim ax f
.
Une fonction f a pour limite
∞−
en a réel lorsque :
• la fonction f est dénie soit sur un intervalle qui contient a, soit sur un intervalle ouvert dont a est une borne ;
• tout intervalle illimité à gauche contient toutes les valeurs prises par la fonction, la variable étant sufsamment proche de a.
On note
∞−=f
a
lim
ou
( ) ∞−=
→xlim ax f
.
Une fonction f a pour limite un réel en a réel lorsque :
• la fonction f est dénie soit sur un intervalle qui contient a, soit sur un intervalle ouvert dont a est une borne ;
Fiche 2 : les fonctions

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Fiche Cours
• tout intervalle ouvert contenant contient aussi les valeurs prises par la fonction, la variable étant sufsamment proche de a.
On note
=f
a
lim
ou
( ) =
→xlim ax f
.
Asymptotes
• Asymptote horizontale : lorsque
=
∞+ flim
ou
=
∞− flim
( réel), la courbe représentative de f admet la droite d’équation y =
pour asymptote horizontale.
• Asymptote verticale : lorsque
∞+=f
a
lim
ou
∞−=f
a
lim
(a réel), la courbe représentative de f admet la droite d’équation x = a
pour asymptote verticale.
• Asymptote oblique : lorsque
( ) ( )( ) 0xxlim
x=β+α− ∞+→ f
ou
( ) ( )( ) 0xxlim
x=β+α− ∞−→ f
, la courbe représentative de f admet la
droite d’équation y = αx + β pour asymptote oblique.
 Méthode : « Montrer qu’une droite est une asymptote oblique », che exercices n°2 « Les fonctions ».
Limites et opérations
La lettre a désigne soit un réel, soit
∞+
, soit
∞−
. Les lettres et ’ désignent des réels.
Somme
• Si
=f
a
lim
et
'glim
a
=
alors
( ) 'glim
a
 +=+f
.
• Si
=f
a
lim
et
∞+=glim
a
alors
( ) ∞+=+glim
af
.
• Si
blim
a=f
et
∞−=glim
a
alors
( ) ∞−=+glim
af
.
• Si
∞+=f
a
lim
et
∞+=glim
a
alors
( ) ∞+=+glim
af
.
• Si
∞−=f
a
lim
et
∞−=glim
a
alors
( ) ∞−=+glim
af
.
Produit
• Si
=f
a
lim
et
'glim
a
=
alors
( ) 'glim
a
=f
.
• Si
0lim
a>= f
et
∞+=glim
a
alors
( ) ∞+=glim
af
.
• Si
0lim
a>= f
et
∞−=glim
a
alors
( ) ∞−=glim
af
.
• Si
0lim
a>= f
et
∞+=glim
a
alors
( ) ∞−=glim
af
.
• Si
0lim
a>= f
et
∞−=glim
a
alors
( ) ∞+=glim
af
.
• Si
∞+=f
a
lim
et
∞+=glim
a
alors
( ) ∞+=glim
af
.
• Si
∞+=f
a
lim
et
∞−=glim
a
alors
( ) ∞−=glim
af
.
• Si
∞−=f
a
lim
et
∞−=glim
a
alors
( ) ∞+=glim
af
.
Inverse
• Si
=glim
a
et ≠ 0 alors =
1
g
1
lim
a=
.
• Si
0glim
a=
et g > 0 alors =
∞+=
g
1
lim
a
.
• Si
0glim
a=
et g < 0 alors =
∞−=
g
1
lim
a
.
• Si
∞−=glim
a
alors =
0
g
1
lim
a=
.
• Si
∞+=glim
a
alors =
0
g
1
lim
a=
.
Il est essentiel de garder à l’esprit que ces théorèmes sont des conditions sufsantes. Les cas non envisagés sont
des « formes indéterminées » qui demandent à être étudiées cas par cas.

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Pour déterminer des limites
► À SAVOIR FONCTIONS DE RÉFÉRENCE
n est un entier strictement positif.
•
∞+=
∞+→ xlim x
;
∞+=
∞+→
n
xxlim
;
0
x
1
lim n
x= ∞+→
;
•
0xlim
0x = →
;
0xlim n
0x = →
;
∞+=
>→ n 0x,0x x
1
lim
;
∞+=
→x
1
lim
0x
;
∞+=
<→ n2 0x,0x x
1
lim
;
∞−=
−
<→ 1n2 0x,0x
x
1
lim
;
•
1
x
xnis
lim
0x = →
;
A propos des notations :
•
∞+=
>→ n 0x,0x x
1
lim
signie que c’est la fonction
] [
→∞+
n
x
1
x
,0
;
qui a pour limite
∞+
lorsque la variable tend vers zéro.
•
∞+=
<→ n2 0x,0x x
1
lim
signie que c’est la fonction
] [
→∞−
n2
x
1
x
0,
;
qui a pour limite
∞+
lorsque la variable tend vers zéro.
 Méthode : « Calculer des limites », che exercices n°2 « Les fonctions ».
Théorèmes de comparaison
La lettre a désigne soit un réel, soit
∞+
, soit
∞−
. Les lettres et désignent des réels. Les lettres f, g, u et v désignent des
fonctions.
• Si f ≤ g au voisinage de a et si
∞+=f
a
lim
alors
∞+=glim
a
.
• Si f ≥ g au voisinage de a et si
∞−=f
a
lim
alors
∞−=glim
a
.
• Si u ≤ f ≤ v au voisinage de a et si
=ulim
a
et
=vlim
a
alors
=f
a
lim
(théorème des gendarmes).
• Si f ≤ g au voisinage de a et si
=f
a
lim
et
'glim
a
=
alors ≤ .
Limite d’une fonction composée
Chacune des lettres a, et désigne un réel,
∞+
ou
∞−
. Les lettres u et v désignent des fonctions.
Si
=ulim
a
et
'vlim 
=
alors
'uvlim
a
 =
.

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Exemples :
a)
( ) ∞+=−
∞−→ x1lim x
et
∞+=
∞+→ tlim t
entraînent
∞+=−
∞+→ x1lim x
.
b)
0
x
1
lim
x= ∞+→
et
1
t
tsin
lim
0= →
entraînent
1
x
1
sinxlim
x= ∞+→
car
x
1
x
1
sin
x
1
sinx =
pour x > 0.
Fonctions et suites
• Si
=
∞+ flim
alors
( )( ) =
n
nlim f
.
• Si
( ) aulim n
n=
et
=f
a
lim
alors
( )( ) =
n
n
ulim f
.
Exemples :
a) La suite
0n
n
1
sinn
>
converge vers 1 car
1
x
1
sinxlim
x= ∞+→
, d’après l’exercice précédent.
b) La suite
0n
n
1
>
converge vers 0 et la fonction
x
xsin
x
a pour limite 1 en 0. Il en résulte que la suite
0n
n
1
n
1
sin
>
converge vers 1.
On retrouve le résultat ci-dessus.
II - Continuité
Dénitions
• Une fonction f dénie sur un intervalle I est continue en a appartenant à I lorsque
( )
alim
aff =
.
• Elle est continue sur l’intervalle I lorsqu’elle est continue en tout point de I .
Propriétés
• Toute fonction usuelle est continue sur tout intervalle sur lequel elle est dénie.
• Une somme, un produit de fonctions continues sur I est une fonction continue I . L’inverse d’une fonction continue sur I et qui
ne s’annule pas sur I est continu sur I.
Théorème des valeurs intermédiaires
Soit f une fonction continue sur un intervalle I et deux réels a et b appartenant à I et tels que a < b. Pour tout réel k compris entre
f (a) et f (b), il existe un réel c compris entre a et b tel que f (c) = k.
Cela revient à exprimer que le réel c est une solution de l’équation f (x) = k dans l’intervalle I.
Corollaire
Pour que l’équation f (x) = 0 admette une solution dans l’intervalle I il suft que la fonction f soit continue sur l’intervalle I et qu’il
existe dans cet intervalle deux réels dont les images sont de signes contraires.
Fonction continue strictement monotone
Soit f une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle [a, b]. Pour tout réel k compris entre f (a) et f (b), il existe
un réel c et un seul appartenant à l’intervalle [a, b] tel que f (c) = k.
Cela revient à exprimer que le réel c est l’unique solution de l’équation f (x) = k dans l’intervalle [a, b].
Corollaire
Pour que l’équation f (x) = 0 admette une solution et une seule dans l’intervalle I , il suft que la fonction f soit continue et
strictement monotone sur l’intervalle I et qu’il existe dans cet intervalle deux réels dont les images sont de signes contraires.

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Exemple :
Résoudre dans [0, 1] l’équation cos x = x.
La fonction f : x x − cos x est continue et strictement croissante (somme des fonctions x x et x − cos x continues
et strictement croissantes sur [0, 1]). Les images des bornes de l’intervalle [0, 1] sont −1 et 1 − cos 1, réel strictement
négatif, elles encadrent donc 0. Par suite il existe un réel c unique appartenant à [0, 1] tel que f (x) = 0.
 Méthode : « Résoudre une équation », che exercices n°2 « Les fonctions ».
 Méthode : « Encadrer une solution d’une équation du type f (x) = 0 », che exercices n°2 « Les fonctions ».
III - Dérivation
Dénitions
Soit f une fonction dénie sur un intervalle I et un réel a appartenant à I . Les propositions suivantes sont équivalentes :
• il existe un réel tel que
( ) ( ) =
−
−
→ax
ax
lim
ax
ff
;
• il existe un réel tel que
( ) ( ) = −+
→h
aha
lim
0h
ff
;
• il existe un réel et une fonction ε tels que f (x) − f (a) = (x − a) + (x − a) ε (x − a) pour x sufsamment proche de a, avec
( ) 0axlim
ax =−ε →
;
• il existe un réel et une fonction ε tels que f (a + h) − f (a) = h + h ε (h) pour x sufsamment petit, avec
( )
0hlim
0h =ε →
.
Lorsque ces propositions sont satisfaites, on dit que la fonction f est dérivable en a et que le réel est le nombre dérivé de f
en a.
Exemples :
Etudier la dérivabilité de f en a et déterminer, le cas échéant, le nombre dérivé de f en a.
a)
x
1
x: f
et a = 1
( ) ( ) ( )
h1
1
h
h1
h11
h
1
h1
1
h
aha
+
−
=
+
+−
=
−
+
=
−+ ff
pour h non nul et sufsamment petit. De
1
h1
1
lim
0h −=
+
−
→
, il résulte que f est
dérivable en 1 et le nombre dérivé est −1.
b)
2xxx: 2+−f
et a = 0
f (h) − f (0) = − h + h ε (h) avec ε (h) = h. Donc f est dérivable en 0 et le nombre dérivé est 1.
c)
xx: f
et a = 0
x
1
x
0x = −
pour x > 0 et
∞+=
→x
1
lim
0x
prouvent que f n’est pas dérivable en 0.
d) f : x |x| et a = 0.
<−
>
=
−
0xpour1
0xpour1
x
0x
. Donc f n’est pas dérivable en 0. Cependant on dit qu’elle est dérivable à gauche et à droite,
le nombre dérivé à gauche étant −1 et le nombre dérivé à droite étant 1.
Continuité et dérivabilité
Si une fonction est dérivable en a réel alors elle est continue en a. Les fonctions
xx 
et
xx 
sont continues en 0 et non
dérivables en 0.
Pour qu’une fonction soit continue en a réel, il est sufsant, mais non nécessaire, qu’elle soit dérivable en a.
Pour qu’une fonction soit dérivable en a réel, il est nécessaire, mais non sufsant, qu’elle soit continue en a.