Champ électrique

MP – Cours de physique
Jean Le Hir, 3 septembre 2005 Page 1 sur 25
ÉLECTROSTATIQUE
Chapitre 1
Champ électrique
1.1. Définition du champ électrique
Loi de Coulomb
En 1777 Charles de Coulomb fabriqua une balance à torsion et à partir de cette balance, fit des recherches
sur la force de torsion et l’élasticité des fils de métal. Il utilisa sa balance de torsion pour étudier les forces
d’attraction et de répulsion entre des corps électrisés et il publia en 1785 un mémoire présentant la loi
exprimant la force d’interaction entre deux charges ponctuelles. Aujourd’hui, cette loi porte son nom :
Deux charges électriques
1
q
et
2
q
, disposées dans le vide, exercent l’une sur l’autre des forces
d’interaction opposées, répulsives pour des charges de même signe, attractives pour des charges
de signes opposés, dirigées selon la droite qui les joint, de module proportionnel au produit des
deux charges et inversement proportionnel au carré de leur distance mutuelle.
Dans le Système international, le coefficient de proportionnalité est noté
0
00
0
1
11
1
4πε
4πε4πε
4πε
0
00
0
ε
εε
ε
s’appelle la permittivité du vide et a pour valeur 1≈ ⋅
µ
F m
−12 −1
−12 −1−12 −1
−12 −1
0
00
02
22
2
0 0
0 00 0
0 0
ε = 8,85×10
ε = 8,85×10ε = 8,85×10
ε = 8,85×10
c
Remarque : la valeur de
0
ε
ne peut faire l’objet d’aucune mesure, elle est actuellement fixée par
convention dans le système international. En effet, la perméabilité du vide a, par définition, pour valeur
exacte
7 2
0
4 10 N A
− −
µ = π× ⋅
et la valeur de la vitesse des ondes électromagnétiques dans le vide,
couramment appelée « vitesse de la lumière » est fixée par décret, depuis 1983, à la valeur exacte
1
299 792 458 m s
−
⋅
, définissant ainsi l’unité de longueur comme unité dérivée de l’unité de temps.
12
e
12
F
1 2
12 12
2
0 12
1
4q q
F e
r
=
==
=πε
πεπε
πε
12
r
1
q
2
q

ÉLECTROSTATIQUE Chapitre 1 Champ électrique
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La force exercée par q sur
'
q
est proportionnelle à
'
q
et traduit ainsi une propriété de l’espace à l’endroit
où se trouve la charge
'
q
dont est responsable la charge
q
. Nous définirons ainsi le champ électrique créé
dans tout l’espace par la charge q :
2
0
1
4
r
q
E e
r
=πε
Le champ électrique créé par une charge positive est divergent tandis que le champ créé par une charge
négative est convergent.
Les lignes de champs, que l’on définit comme les courbes de l’espace tangentes en tout point au champ
électrique et orientées par celui-ci, forment, dans le cas d’une charge positive, un faisceau de demi-droites
divergent et, dans le cas d’une charge négative, un faisceau de demi-droites convergent.
Théorème de superposition
On constate expérimentalement que les influences des différentes charges s’ajoutent linéairement : la loi
de Coulomb est linéaire par rapport à la charge. La force exercée sur une charge par plusieurs autres
charges est égale à la somme des forces qu’exerceraient chacune des charges prise isolément : c’est ce
que l’on appelle théorème de superposition. Ce principe s’applique à l’identique aux champs électriques :
Le champ électrique créé en un point de l’espace par un système de charges est égal à la somme
des champs électriques qui seraient créés par chaque charge individuelle si elle était seule dans
l’espace.
Nous appliquerons ce principe pour déterminer le champ électrique créé par une distribution de charges,
aussi bien s’agissant de charges ponctuelles que de répartitions continues.
À l’approche infinie d’une charge ponctuelle, le module du champ électrique tend vers l’infini : les
charges sont des singularités pour le champ électrique. Cela implique que le comportement topologique
des lignes de champ électrique au voisinage immédiat d’une charge ponctuelle n’est pas modifié par la
présence d’autres charges dans l’espace. Il s’ensuit la propriété suivante des lignes de champ
électrostatiques :
Quelle que soit la distribution de charges, les lignes de champ électrostatique prennent
naissance là où se trouvent des charges positives et aboutissent là où se trouvent des charges
négatives.
Remarque : toutefois, dans un modèle « d’école » pour lequel l’Univers n’est pas électriquement neutre, il
peut se faire que certaines lignes de champs viennent de l’infini ou se dirigent vers l’infini. Cela se
produit dans le cas le plus simple d’une charge ponctuelle « seule dans l’espace ».
q
+
++
+
q
−
−−
−

ÉLECTROSTATIQUE Chapitre 1 Champ électrique
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Invariances, symétries et antisymétries
Invariance par translation
Il s’agit d’une forme de symétrie particulière : la distribution de charge est invariante par translation dans
l’espace. Conformément au principe de Curie affirmant qu’une symétrie des causes implique une
symétrie au moins égale des effets, le champ électrique sera lui aussi invariant par la même translation.
On choisira alors pour traiter ce problème un système de coordonnées ayant un axe coïncidant avec cette
direction de la translation.
— Il peut s’agir d’une invariance par translation finie : nous
décrivons alors une structure cristalline. Les grandeurs physiques
conséquences de la distribution de charge auront la même
périodicité.
Par exemple, un cristal de chlorure de sodium correspond à une
structure alternée triplement périodique d’anions chlorure
Cl
−
et
de cations sodium
Na
+
.
— Il peut s’agir aussi d’une invariance par translation quelconque dans une direction donnée : ce cas de
figure ne peut bien sûr exister que dans le cas d’une distribution continue de charges. Les grandeurs
physiques conséquences de la distribution de charge ne dépendront alors pas de la coordonnée
associée à l’axe de translation.
Par exemple, une distribution de charge cylindrique est invariante par translation quelconque dans la
direction de l’axe du cylindre. Uns distribution de charge plane uniforme est invariante par translation
quelconque parallèle au plan.
Attention ! Une invariance par translation de la distribution de charge implique que l’on
envisage l’existence de charges à l’infini, ce qui n’est pas très réaliste. Nous dirons qu’un
problème décrit de la sorte est un « problème d’école ». L’étude peut quand même présenter
un grand intérêt dans la mesure où les solutions à très haut degré de symétrie que nous
mettrons en évidence dans ce cadre d’hypothèse pourront être d’excellentes solutions
approchées de certains problèmes réels.
q
+
++
+
q
−
−−
−
q
−
−−
−

ÉLECTROSTATIQUE Chapitre 1 Champ électrique
JLH 04/10/2007 Page 4 sur 25
Invariance par rotation autour d’un axe
Si la distribution de charge est invariante par rotation autour d’un axe, il en sera de même du champ
électrique et de toute autre grandeur conséquence de cette distribution de charge. Nous choisirons alors un
système de coordonnées comprenant l’angle de rotation autour de l’axe de révolution : selon les autres
éléments de symétrie du problème, il s’agira soit des coordonnées cylindriques, soit des coordonnées
sphériques.
— Il peut s’agir d’une invariance par rotation d’une fraction entière de tour 2
n
π
: nous parlerons alors
d’un axe de symétrie d’ordre n. Les grandeurs physiques conséquences de la distribution de charge
obéiront à la même invariance par rotation.
— Il peut s’agir aussi d’une invariance par rotation d’un angle quelconque : ce cas de figure ne peut bien
sûr exister que dans le cas d’une distribution continue de charges et nous parlerons alors d’une
symétrie de révolution autour de cet axe. Les grandeurs physiques conséquences de la distribution de
charge ne dépendront alors pas de l’angle de rotation.
Existence d’un plan de symétrie
Dire qu’il existe un plan de symétrie dans la distribution des charges, c’est dire que s’il existe une charge
q en un point M de l’espace, alors il existe la même charge q au point
M'
symétrique de M par rapport à
ce plan.
Les champs électriques sont dus aux charges et, selon le principe de Curie
1
, les conséquences ayant au
moins autant de symétries que les causes, dans une telle situation de symétrie les champs
E
et
E
′
en
deux points symétriques M et
M'
sont nécessairement symétriques par rapport au plan de symétrie.
Cas particulier important : pour un point P appartenant au plan de symétrie de la distribution de
charge, le champ doit être son propre symétrique par rapport à ce plan, c’est-à-dire qu’il doit
être contenu dans ce plan.
Corollaire : s’il existe deux plans de symétries non parallèles, en un point de la droite d’intersection
(
)
∆
de ces plans, le champ appartient à chacun des deux plans. Il est donc nécessairement porté par cette
droite
(
)
∆
.
1
Un des principes les plus généraux de la physique, connu sous l’appellation de « principe de Curie » affirme qu’une symétrie
des causes implique une symétrie au moins égale des effets.
1
q
1 1
q q
′
=
2
q
2 2
q q
′
=
M
M
′
E
E
′
M
M
′
E
E
′
q
q
P

ÉLECTROSTATIQUE Chapitre 1 Champ électrique
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Existence d’un plan d’antisymétrie
Dire qu’il existe un plan d’antisymétrie dans la distribution des charges, c’est dire que s’il existe une
charge q en un point M de l’espace, alors il existe la charge opposée
q
−
au point
M'
symétrique de M
par rapport à ce plan.
Dans une telle circonstance, changer le signe de toutes les charges revient à réaliser une symétrie par
rapport au plan d’antisymétrie. Le fait de changer le signe de toutes les charges change le champ en son
opposé : en conséquence, en un point
M'
symétrique de M, le champ
E
′
est l’opposé du symétrique (on
dira aussi bien l’antisymétrique) du champ
E
en M.
Cas particulier important : pour un point appartenant au plan d’antisymétrie de la distribution
de charge, le champ doit être son propre antisymétrique par rapport à ce plan, c’est-à-dire qu’il
doit être orthogonal à ce plan.
1.2. Théorème de Gauss
Angle solide
Rappel de la définition d’un angle plan
Un angle plan est associé à une portion de plan définie par l’intersection de deux demi-droites.
Considérant un cercle de rayon R centré à l’intersection O des deux demi-droites et la longueur de l’arc
de cercle intercepté, la mesure
θ
de l’angle plan en radians (symbole : rad) est définie comme le rapport
de la longueur de l’arc sur le rayon du cercle :
1
q
1 1
q q
′
= −
2
q
2 2
q q
′
= −
M
M
′
E
E
′
M
M
′
E
E
′
q
q
−
P
R
θ
R
θ=