Champ électrique

MP – Cours de physique
ÉLECTROSTATIQUE
Chapitre 1
Champ électrique
1.1. Définition du champ électrique
Loi de Coulomb
En 1777 Charles de Coulomb fabriqua une balance à torsion et à partir de cette balance, fit des recherches
sur la force de torsion et l’élasticité des fils de métal. Il utilisa sa balance de torsion pour étudier les forces
d’attraction et de répulsion entre des corps électrisés et il publia en 1785 un mémoire présentant la loi
exprimant la force d’interaction entre deux charges ponctuelles. Aujourd’hui, cette loi porte son nom :
Deux charges électriques q1 et q2 , disposées dans le vide, exercent l’une sur l’autre des forces
d’interaction opposées, répulsives pour des charges de même signe, attractives pour des charges
de signes opposés, dirigées selon la droite qui les joint, de module proportionnel au produit des
deux charges et inversement proportionnel au carré de leur distance mutuelle.
Dans le Système international, le coefficient de proportionnalité est noté
q2
q1
F12
1
4πε 0
1 q1q2 F12 =
e12
4πε 0 r122
e12
r12
ε 0 s’appelle la permittivité du vide et a pour valeur ε 0 =
1
≈ 8, 85 ×10 −12 F ⋅ m −1
2
µ 0 c0
Remarque : la valeur de ε 0 ne peut faire l’objet d’aucune mesure, elle est actuellement fixée par
convention dans le système international. En effet, la perméabilité du vide a, par définition, pour valeur
exacte µ 0 = 4π×10−7 N ⋅ A −2 et la valeur de la vitesse des ondes électromagnétiques dans le vide,
couramment appelée « vitesse de la lumière » est fixée par décret, depuis 1983, à la valeur exacte
299 792 458 m ⋅ s −1 , définissant ainsi l’unité de longueur comme unité dérivée de l’unité de temps.
Jean Le Hir, 3 septembre 2005
Page 1 sur 25
ÉLECTROSTATIQUE
Chapitre 1
Champ électrique
La force exercée par q sur q ' est proportionnelle à q ' et traduit ainsi une propriété de l’espace à l’endroit
où se trouve la charge q ' dont est responsable la charge q . Nous définirons ainsi le champ électrique créé
dans tout l’espace par la charge q :
1 q E =
er
4πε0 r 2
Le champ électrique créé par une charge positive est divergent tandis que le champ créé par une charge
négative est convergent.
Les lignes de champs, que l’on définit comme les courbes de l’espace tangentes en tout point au champ
électrique et orientées par celui-ci, forment, dans le cas d’une charge positive, un faisceau de demi-droites
divergent et, dans le cas d’une charge négative, un faisceau de demi-droites convergent.
+q
−q
Théorème de superposition
On constate expérimentalement que les influences des différentes charges s’ajoutent linéairement : la loi
de Coulomb est linéaire par rapport à la charge. La force exercée sur une charge par plusieurs autres
charges est égale à la somme des forces qu’exerceraient chacune des charges prise isolément : c’est ce
que l’on appelle théorème de superposition. Ce principe s’applique à l’identique aux champs électriques :
Le champ électrique créé en un point de l’espace par un système de charges est égal à la somme
des champs électriques qui seraient créés par chaque charge individuelle si elle était seule dans
l’espace.
Nous appliquerons ce principe pour déterminer le champ électrique créé par une distribution de charges,
aussi bien s’agissant de charges ponctuelles que de répartitions continues.
À l’approche infinie d’une charge ponctuelle, le module du champ électrique tend vers l’infini : les
charges sont des singularités pour le champ électrique. Cela implique que le comportement topologique
des lignes de champ électrique au voisinage immédiat d’une charge ponctuelle n’est pas modifié par la
présence d’autres charges dans l’espace. Il s’ensuit la propriété suivante des lignes de champ
électrostatiques :
Quelle que soit la distribution de charges, les lignes de champ électrostatique prennent
naissance là où se trouvent des charges positives et aboutissent là où se trouvent des charges
négatives.
Remarque : toutefois, dans un modèle « d’école » pour lequel l’Univers n’est pas électriquement neutre, il
peut se faire que certaines lignes de champs viennent de l’infini ou se dirigent vers l’infini. Cela se
produit dans le cas le plus simple d’une charge ponctuelle « seule dans l’espace ».
JLH 04/10/2007
Page 2 sur 25
ÉLECTROSTATIQUE
Chapitre 1
Champ électrique
−q
−q
+q
Invariances, symétries et antisymétries
Invariance par translation
Il s’agit d’une forme de symétrie particulière : la distribution de charge est invariante par translation dans
l’espace. Conformément au principe de Curie affirmant qu’une symétrie des causes implique une
symétrie au moins égale des effets, le champ électrique sera lui aussi invariant par la même translation.
On choisira alors pour traiter ce problème un système de coordonnées ayant un axe coïncidant avec cette
direction de la translation.
— Il peut s’agir d’une invariance par translation finie : nous
décrivons alors une structure cristalline. Les grandeurs physiques
conséquences de la distribution de charge auront la même
périodicité.
Par exemple, un cristal de chlorure de sodium correspond à une
structure alternée triplement périodique d’anions chlorure Cl− et
de cations sodium Na + .
— Il peut s’agir aussi d’une invariance par translation quelconque dans une direction donnée : ce cas de
figure ne peut bien sûr exister que dans le cas d’une distribution continue de charges. Les grandeurs
physiques conséquences de la distribution de charge ne dépendront alors pas de la coordonnée
associée à l’axe de translation.
Par exemple, une distribution de charge cylindrique est invariante par translation quelconque dans la
direction de l’axe du cylindre. Uns distribution de charge plane uniforme est invariante par translation
quelconque parallèle au plan.
Attention ! Une invariance par translation de la distribution de charge implique que l’on
envisage l’existence de charges à l’infini, ce qui n’est pas très réaliste. Nous dirons qu’un
problème décrit de la sorte est un « problème d’école ». L’étude peut quand même présenter
un grand intérêt dans la mesure où les solutions à très haut degré de symétrie que nous
mettrons en évidence dans ce cadre d’hypothèse pourront être d’excellentes solutions
approchées de certains problèmes réels.
JLH 04/10/2007
Page 3 sur 25
ÉLECTROSTATIQUE
Chapitre 1
Champ électrique
Invariance par rotation autour d’un axe
Si la distribution de charge est invariante par rotation autour d’un axe, il en sera de même du champ
électrique et de toute autre grandeur conséquence de cette distribution de charge. Nous choisirons alors un
système de coordonnées comprenant l’angle de rotation autour de l’axe de révolution : selon les autres
éléments de symétrie du problème, il s’agira soit des coordonnées cylindriques, soit des coordonnées
sphériques.
— Il peut s’agir d’une invariance par rotation d’une fraction entière de tour 2π n : nous parlerons alors
d’un axe de symétrie d’ordre n. Les grandeurs physiques conséquences de la distribution de charge
obéiront à la même invariance par rotation.
— Il peut s’agir aussi d’une invariance par rotation d’un angle quelconque : ce cas de figure ne peut bien
sûr exister que dans le cas d’une distribution continue de charges et nous parlerons alors d’une
symétrie de révolution autour de cet axe. Les grandeurs physiques conséquences de la distribution de
charge ne dépendront alors pas de l’angle de rotation.
Existence d’un plan de symétrie
Dire qu’il existe un plan de symétrie dans la distribution des charges, c’est dire que s’il existe une charge
q en un point M de l’espace, alors il existe la même charge q au point M ' symétrique de M par rapport à
ce plan.
Les champs électriques sont dus aux charges et, selon le principe de Curie1, les conséquences ayant au
moins autant de symétries que les causes, dans une telle situation de symétrie les champs E et E ′ en
deux points symétriques M et M ' sont nécessairement symétriques par rapport au plan de symétrie.
q1
q1′ = q1
q2
E
q2′ = q2
M
M′
q
q
E′
M
E
P
M′
E′
Cas particulier important : pour un point P appartenant au plan de symétrie de la distribution de
charge, le champ doit être son propre symétrique par rapport à ce plan, c’est-à-dire qu’il doit
être contenu dans ce plan.
Corollaire : s’il existe deux plans de symétries non parallèles, en un point de la droite d’intersection ( ∆ )
de ces plans, le champ appartient à chacun des deux plans. Il est donc nécessairement porté par cette
droite ( ∆ ) .
1
Un des principes les plus généraux de la physique, connu sous l’appellation de « principe de Curie » affirme qu’une symétrie
des causes implique une symétrie au moins égale des effets.
JLH 04/10/2007
Page 4 sur 25
ÉLECTROSTATIQUE
Chapitre 1
Champ électrique
Existence d’un plan d’antisymétrie
Dire qu’il existe un plan d’antisymétrie dans la distribution des charges, c’est dire que s’il existe une
charge q en un point M de l’espace, alors il existe la charge opposée −q au point M ' symétrique de M
par rapport à ce plan.
−q
q
q1
q2
M
E′
q1′ = −q1
q2′ = −q2
E′
M
M′
M′
E
E
P
Dans une telle circonstance, changer le signe de toutes les charges revient à réaliser une symétrie par
rapport au plan d’antisymétrie. Le fait de changer le signe de toutes les charges change le champ en son
opposé : en conséquence, en un point M ' symétrique de M, le champ E ′ est l’opposé du symétrique (on
dira aussi bien l’antisymétrique) du champ E en M.
Cas particulier important : pour un point appartenant au plan d’antisymétrie de la distribution
de charge, le champ doit être son propre antisymétrique par rapport à ce plan, c’est-à-dire qu’il
doit être orthogonal à ce plan.
1.2. Théorème de Gauss
Angle solide
Rappel de la définition d’un angle plan
Un angle plan est associé à une portion de plan définie par l’intersection de deux demi-droites.
Considérant un cercle de rayon R centré à l’intersection O des deux demi-droites et la longueur de l’arc
de cercle intercepté, la mesure θ de l’angle plan en radians (symbole : rad) est définie comme le rapport
de la longueur de l’arc sur le rayon du cercle :
R
θ=
R
JLH 04/10/2007
θ
Page 5 sur 25
ÉLECTROSTATIQUE
Chapitre 1
Champ électrique
Définition d’un angle solide
L’angle solide est à l’espace ce que l’angle précédent était au plan : un angle solide est associé à une
portion d’espace définie à l’intérieur d’un cône. Considérant une sphère de rayon R centrée au sommet O
du cône et la surface S de la calotte sphérique interceptée, la mesure Ω de l’angle solide en stéradians
(symbole : sr) est définie comme le rapport de cette surface sur le carré du rayon R 2 de la sphère :
Ω=
S
R2
De façon générale, on dit que, du point O, on voit une surface quelconque S ' sous un certain angle solide.
S′
R
S
Cas particuliers importants
1) L’angle solide de tout l’espace est égal, par définition au
rapport de la surface d’une sphère et du carré de son rayon,
soit 4π sr .
Ω
2) L’angle solide défini par un cône de révolution, de demi
angle au sommet α , a pour expression :
α
Ω = 2π (1 − cos α )
3) L’angle solide élémentaire δΩ sous lequel on peut, à partir
d’un point O, voir une surface élémentaire δS = n δS
située en un point M à une distance r, a pour expression, er
étant le vecteur unitaire selon OM :
er ⋅ n
cos α
δΩ = 2 δS = 2 δS
r
r
n
δΩ
r
δS
α
er
En procédant de la sorte, nous avons défini un angle solide algébrique, dont la valeur va dépendre du
choix arbitraire d’orientation du vecteur n .
Remarque : l’angle solide élémentaire peut aussi bien être défini comme le flux du vecteur er r 2 à
travers la surface orientée δS .
JLH 04/10/2007
Page 6 sur 25
ÉLECTROSTATIQUE
Chapitre 1
Champ électrique
De la loi de Coulomb au théorème de Gauss
Flux sortant du champ électrique créé par une charge intérieure
Considérons une charge ponctuelle q située en un point P quelconque intérieur à une surface fermée S
elle-même quelconque.
1
q Le champ électrique en un point M de la surface obéit à la loi de Coulomb : E =
ePM
4πε0 PM 2
Le flux de celui-ci à travers une surface élémentaire δS = next δS est proportionnel à l’angle solide
élémentaire δΩ sous lequel est vue la surface δS depuis le point P.
1
q q
ePM ⋅ next δS =
δφ = E ⋅ next δS =
δΩ
2
4πε0 PM
4πε0
P
δΩ
M
δS
er
next
E
Nous en déduisons que le flux sortant total à travers la surface S fermée du champ électrique créé par la
charge q est indépendant de la position du point P à l’intérieur de cette surface. Il ne dépend pas non plus
de la forme de cette surface. La seule exigence pour cette surface est d’être d’une topologie permettant de
définir un intérieur et un extérieur.
L’intégration se réduit à l’intégration de l’angle solide. Rappelons que la valeur de l’angle solide
correspondant à tout l’espace est égale à 4π .
q
q
φ=
E ( P ) ⋅ next δS =
δΩ =
4πε 0
ε0
P∈S
4π
∫∫
∫
Flux du champ électrique créé par une charge extérieure
Considérons une charge ponctuelle q située en un point P quelconque extérieur à une surface fermée S
elle-même quelconque.
Pour une direction quelconque de l’espace, la surface S est interceptée un nombre pair de fois. À chaque
surface élémentaire δS = next δS traversée dans le sens entrant correspondra une surface élémentaire
δS ' = n 'ext δS ' traversée dans le sens sortant. Les angles solides élémentaires δΩ et δΩ ' sous lesquels
sont vues les surfaces élémentaires δS et δS ' conjuguées sont algébriquement opposés.
Il s’ensuit que le flux du champ électrique créé par une charge extérieure à une surface fermée S est nul,
quelle que soit la position de cette charge, quelle que soit la forme de la surface S.
JLH 04/10/2007
Page 7 sur 25
ÉLECTROSTATIQUE
Chapitre 1
Champ électrique
P
δΩ
n 'ext
E′
δS '
M
δS
er
E
next
Expression intégrale du théorème de Gauss
Si nous considérons maintenant un ensemble de charges électriques qi int intérieures à une surface fermée
S et q j ext extérieures à cette même surface2. Par application du théorème de superposition, le champ
électrique en chaque point de la surface S est égal à la somme des champs électriques créés par toutes ces
charges, tant intérieures qu’extérieures. Il en est donc de même du flux.
Le flux sortant du champ électrique à travers cette surface S est égal à la somme algébrique des flux des
champs créés par chacune des charges, tant intérieures qu’extérieures. Comme nous avons montré que les
flux des champs créés par les charges extérieures sont nuls, nous en déduisons cette propriété des champs
électriques que l’on appelle « théorème de Gauss » :
Étant donnée une distribution de charges quelconque créant un champ électrique dans l’espace,
le flux sortant de ce champ électrique à travers une surface fermée quelconque est toujours égal
au rapport par ε 0 des seules charges intérieures à cette surface.
q2 ext
q5 ext
q1 ext
φ=
∫∫
P∈ S
E ( P ) ⋅ next δS =
q1 int
q2 int
∑ qi int
ε0
q4 ext
P
q3 int
q3 ext
q4 int
δS
E
next
L’équation de Maxwell-Gauss, expression locale du théorème de Gauss
Le théorème de Green-Ostrogradski stipule que le flux sortant d’un champ de vecteur à travers une
surface fermée est égal à l’intégrale de la divergence de ce champ de vecteur étendue au volume intérieur
à cette surface.
φ=
∫∫
S
E ⋅ next δS =
∫∫∫
τ
div E δτ
τ
S
2
Nous n’envisageons pas que des charges puissent se trouver exactement sur la surface S. Le cas échéant, on peut démontrer
que de telles charges seraient à diviser en deux : moitié à l’intérieur et moitié à l’extérieur.
JLH 04/10/2007
Page 8 sur 25
ÉLECTROSTATIQUE
Chapitre 1
Champ électrique
Rappelons l’expression analytique de la divergence d’un champ de vecteur en coordonnées cartésiennes
orthonormées :
∂E ∂E y ∂E
div E = x +
+ z
∂x
∂y
∂z
D’après le théorème de Gauss, le flux φ du champ électrique est proportionnel à la charge Qτ intérieure à
la surface S, que l’on peut aussi exprimer comme l’intégrale de volume de la densité volumique de
charge :
Q
ρ
φ= τ =
δτ
ε0
τ ε0
ρ 

En conséquence, quelque soit la portion d’espace de volume τ :
 div E −  δτ = 0
ε0 
τ
Pour que l’intégrale soit nulle quel que soit le domaine d’intégration, il faut et il suffit que l’expression
intégrée soit nulle en tout point de l’espace. Nous aboutissons ainsi à l’équation de Maxwell-Gauss,
expression locale du théorème de Gauss :
∫∫∫
∫∫∫
ρ
div E =
ε0
Remarque : nous avons démontré, dans le cadre restrictif de l’électrostatique, l’équivalence de cette
relation et du théorème de Gauss, lui-même équivalent à la loi de Coulomb. Il se trouve cependant que
cette équation de Maxwell-Gauss est une loi fondamentale de l’électromagnétisme qui restera valable
dans le cas le plus général des régimes variables, y compris en dehors de l’approximation quasi
stationnaire.
Note : voici les expressions de la divergence en coordonnées cylindriques et en coordonnées sphériques
(ces expressions ne sont pas à mémoriser : en cas de besoin, elles seront données).
En coordonnées cylindriques ( ρ, ϕ, z ) :
1 ∂
1 ∂Eϕ ∂Ez
div E =
ρEρ ) +
+
(
ρ ∂ρ
ρ ∂ϕ
∂z
En coordonnées sphériques ( r , θ, ϕ ) :
1 ∂
1 ∂
1 ∂Eϕ
div E = 2 ( r 2 Er ) +
( sin θ Eθ ) +
r ∂r
r sin θ ∂θ
r sin θ ∂ϕ
Discontinuité de la composante normale du champ électrique
à la traversée d’une surface chargée
Considérons une surface chargée de densité surfacique σ et une charge élémentaire δq = σ δS dans le
voisinage d’un point M de cette surface que nous supposerons localement plane.
Dans le but d’appliquer le théorème de Gauss, nous allons construire une surface fermée autour du point
M en imaginant une boîte cylindrique ayant pour « couvercles » les surfaces élémentaires δS1 et δS 2
immédiatement voisines de δS dans le milieu 1 et dans le milieu 2. Dans la limite considérée, la surface
latérale de la boîte cylindrique a une mesure nulle et le flux sortant du champ électrique à travers la
surface de Gauss se réduit aux deux seuls flux à travers les surfaces élémentaires δS1 et δS 2 . D’après le
théorème de Gauss, ce flux est égal à la charge intérieure σ δS divisée par ε 0 .
Nous noterons E1 et E2 les champs électriques dans les milieux 1 et 2 aux points M1 et M 2
immédiatement voisins de M.
JLH 04/10/2007
Page 9 sur 25
ÉLECTROSTATIQUE
Chapitre 1
Champ électrique
δS1
E1
milieu 1
n1
M1
δq = σ δS
M
M2
δS 2
milieu 2
E2
Dans la limite où les points M1 et M 2 tendent vers M, le théorème de Gauss s’écrit ici, en introduisant le
vecteur unitaire n1 en M dirigé vers le milieu 1 :
σ δS
δφ = E1 ⋅ δS1 + E2 ⋅ δS2 = E1 − E2 ⋅ n1 δS =
ε0
(
)
Nous en déduisons que la composante normale du champ électrique est nécessairement discontinue au
franchissement d’une surface chargée :
σ
E1 − E2 ⋅ n1 =
ε0
(
)
Nous montrerons plus loin que la composante tangentielle du champ électrique est quant à elle continue.
1.3. Exemples de calculs de champ par application du théorème de Gauss
Attention ! Tous ces exercices doivent être considérés comme des exercices de cours. Chacun
doit les avoir fait un jour ou l’autre et en tout état de cause, chacun doit connaître les
méthodes permettant dans chaque cas de symétrie particulière de calculer le champ électrique.
Distributions de charges à symétrie sphérique
z
Une distribution de charge sera dite « à symétrie sphérique
de centre O » dès lors que les densités de charges en tout
point de l’espace ne dépendent que de la distance au
point O. Le système de coordonnées sphériques ( r , θ, ϕ )
θ
M
de centre O sera alors privilégié : la densité de charge est la
même dans toutes les directions de l’espace autour du
point O, elle est indépendante des angles d’Euler ( θ, ϕ ) .
Une charge ponctuelle seule dans l’espace obéit à ce
critère. Une distribution uniforme de charges à la surface
d’une sphère correspond également à cette situation aussi
bien qu’une distribution uniforme de charges dans le
volume d’une sphère.
JLH 04/10/2007
er
r
O
x
eθ
eϕ
y
ϕ
Page 10 sur 25
ÉLECTROSTATIQUE
Chapitre 1
Champ électrique
Enfin, l’atome d’hydrogène, dans son état fondamental, correspond également à ce critère : le noyau est
porteur d’une charge élémentaire positive quasi ponctuelle au centre de l’atome et se trouve entouré d’un
« nuage » de charge négative correspondant à l’électron dans son état 1s.
Étude de symétrie
Nous pouvons tout d’abord remarquer qu’un tel système de charge présente le plus souvent un facteur
d’échelle : il existe un rayon R au-delà duquel l’espace est vide de charges. Dès lors, si l’on se place à une
distance très grande par rapport à R ( r R ) , le système de charges sera vu comme une charge quasi
ponctuelle et le champ électrique correspondant sera un champ coulombien radial, de module décroissant
comme l’inverse du carré de la distance aux charges, divergent si la charge totale est positive, convergent
si la charge totale est négative.
Pour chaque point M de l’espace, l’axe OM est un axe de symétrie de la distribution de charge : le champ
électrique en M est donc porté par cet axe, c’est-à-dire qu’il est radial. De plus, du fait de l’isotropie, la
valeur algébrique radiale du champ ne dépend que de la distance r au centre :
E ( r , θ, ϕ ) = Er ( r ) er ( θ, ϕ )
L’existence d’un si haut degré de symétrie permettra l’usage efficace du théorème de Gauss en vue de
déterminer le champ en un point quelconque de l’espace.
Sphère uniformément chargée en surface
Considérons une sphère de rayon R porteuse d’une charge totale Q répartie uniformément à sa surface. La
densité surfacique de charge a donc pour valeur :
σ=
Q
Q
=
S 4πR 2
Nous choisissons bien sûr une surface de Gauss conforme aux symétries, à savoir une surface SG ,
sphérique, de centre O passant par le point M où l’on désire connaître le champ. Pour tout point P de la
surface SG , le vecteur normal extérieur next s’identifie au vecteur unitaire radial er .
M
next
O
Qint = Q
JLH 04/10/2007
E (M)
er
O
er
M
next
Qint = 0
SG
SG
Page 11 sur 25
ÉLECTROSTATIQUE
Chapitre 1
Champ électrique
De plus la valeur algébrique radiale du champ ayant même valeur en tout point de la surface de Gauss, le
flux sortant du champ électrique prend la forme plus simple suivante :
φ=
E ( P ) ⋅ next δS =
Er ( r ) er ⋅ next δS = Er ( r )
δS = Er ( r ) SG = Er ( r ) × 4πr 2
∫∫
∫∫
P∈SG
∫∫
P∈SG
P∈SG
où r est le rayon de la surface de Gauss.
Pour la suite, c’est très simple : si le point M est à l’extérieur de la sphère chargée ( r > R ) , la charge
intérieure à la surface de Gauss SG est égale à la charge totale Q. Si, au contraire, le point M se trouve à
l’intérieur de la sphère chargée ( r < R ) , alors la charge intérieure est nulle. Dans chacun de ces cas de
figure, le théorème s’écrit :
Q 4πR 2 σ
Q σR 2 er
à l’extérieur : φ = 4πr Er ( r ) = =
soit pour r > R, E =
er =
ε0
ε0
ε0 r 2
4πε 0 r 2
à l’intérieur : φ = 4πr 2 Er ( r ) = 0
soit pour r < R, E = 0
2
Er ( r )
σ
ε0
Champ
coulombien en
1
r2
Champ nul
0
0
r
R
Remarque 1 : le champ électrique présente une discontinuité à la surface de la sphère égale à σ ε 0 . Ce
résultat est conforme au théorème démontré à la section précédente : la composante normale du champ
électrique est nécessairement discontinue à la traversée d’une surface chargée.
Remarque 2 : à l’extérieur de la sphère, le champ est identique au champ que produirait une charge
ponctuelle Q placée au centre de la sphère. On démontre sans difficulté que ce résultat est indépendant de
la façon dont les charges sont réparties à la surface ou à l’intérieur de la sphère, pourvu toutefois que cette
répartition de charge soit isotrope. En particulier, il en est de même dans le cas d’une sphère
uniformément chargée en volume.
Sphère uniformément chargée en volume
Considérons une sphère de rayon R porteuse d’une charge totale Q répartie uniformément dans son
volume τ . La densité volumique de charge a donc pour valeur :
ρ=
JLH 04/10/2007
Q
3Q
=
τ 4πR 3
Page 12 sur 25
ÉLECTROSTATIQUE
Chapitre 1
Champ électrique
Nous choisissons une surface de Gauss de la même façon que dans l’exercice précédent et l’expression du
flux sortant est la même :
φ=
E ( P ) ⋅ next δS = Er ( r ) × 4πr 2
∫∫
P∈SG
où r est le rayon de la surface de Gauss.
M
next
O
E (M)
E (M)
er
M
O
3 next
r
Qint = Q 3
R
er
Qint = Q
SG
SG
Si le point M est à l’extérieur de la sphère chargée ( r > R ) , la charge intérieure à la surface de Gauss SG
est égale à la charge totale Q et le champ est identique à celui d’une charge Q ponctuelle placée en O. Si,
au contraire, le point M se trouve à l’intérieur de la sphère chargée ( r < R ) , alors la charge intérieure ne
correspond qu’à une partie de la charge Q proportionnelle au volume délimité par la surface de Gauss.
Dans chacun de ces cas de figure, le théorème s’écrit :
Q 4πR 3ρ
à l'extérieur : φ = 4πr Er ( r ) = =
3ε 0
ε0
2
à l'intérieur :
φ = 4πr 2 Er ( r ) =
soit pour r > R, E =
Q ρR 3 er
er =
4πε 0 r 2
3ε 0 r 2
Qint 4πr 3ρ
Q r ρr =
soit pour r < R, E =
er =
er
ε0
3ε 0
4πε 0 R 3
3ε 0
Er ( r )
ρR
3ε 0
Champ
intérieur en r
Champ
coulombien en
1
r2
0
0
R
r
Remarque : le champ électrique, cette fois, ne présente aucune discontinuité ni à la surface de la sphère, ni
ailleurs. Nous observons de plus que le champ est nul au centre de la sphère : il n’y a pas ici de singularité
comme c’est le cas pour une charge ponctuelle.
JLH 04/10/2007
Page 13 sur 25
ÉLECTROSTATIQUE
Chapitre 1
Champ électrique
Distributions de charges à symétrie cylindrique de révolution
Étude de symétrie
Considérons une distribution de charge présentant une symétrie
cylindrique de révolution autour d’un axe ∆ . Nous choisissons
donc tout naturellement un système de coordonnées cylindriques
( r , ϕ, z ) dont l’axe polaire Oz coïncide avec l’axe ∆ .
∆
λ
Les composantes Er , Eϕ , Ez du champ électrique doivent être
invariantes par translation selon Oz ainsi que par rotation
quelconque autour de Oz. Cela implique qu’en tout point M de
l’espace ces composantes cylindriques du champ E ne
dépendent ni de l’angle ϕ , ni de la cote z.
E
H
M
ez
H étant le projeté orthogonal de M sur l’axe Oz, HM est un axe
de symétrie de la distribution de charge. Le champ E ( M ) est
ey
ex
donc porté par cet axe.
En conclusion, nous savons a priori que le champ électrique est
radial (au sens cylindrique du terme) et que sa valeur algébrique
ne dépend que de la distance r à l’axe polaire :
E ( M ) = Er ( r ) er
Attention ! Il n’est pas juste de dire que le champ électrique ne dépend que de r ! En effet, le
vecteur er est bien sûr fonction de l’angle ϕ . Le champ électrique est donc fonction de r et
de ϕ : E ( r , ϕ ) = Er ( r ) er ( ϕ ) .
Fil rectiligne infini de charge linéique uniforme
Le problème présente un niveau de symétrie suffisant pour que
le théorème de Gauss soit efficace dans une telle situation : il
ne faut donc pas s’en priver.
λ
∆
Pour calculer le champ électrique en un point M ( r , ϕ, z ) ,
nous choisissons pour surface de Gauss la surface SG d’une
boîte cylindrique d’axe ∆ et de hauteur h quelconque dont le
rayon est choisi égal à r de telle sorte que le point M
appartienne à cette surface.
S+
S
h
Comme l’impose le théorème de Gauss, la surface SG est une
surface fermée. Elle se partitionne en une paroi latérale de
surface S , d’un « couvercle » supérieur S + et d’un couvercle
M
E
S−
inférieur S − :
SG = S ⊕ S + ⊕ S −
Le flux φ du champ électrique à travers une telle surface est égal à la somme des flux φ , φ+ et φ− à
travers les diverses parties composant cette surface :
φ=
E ⋅ n δS =
E ⋅ next δS +
E ⋅ next δS +
E ⋅ next δS
S ⊕ S + ⊕ S −
S
S+
S−
φ
φ+
φ−
∫∫
JLH 04/10/2007
∫∫
∫∫
∫∫
Page 14 sur 25
ÉLECTROSTATIQUE
Chapitre 1
Champ électrique
Le vecteur unitaire normal extérieur s’identifie au vecteur unitaire +ez pour la deuxième intégrale et au
vecteur −ez pour la dernière : les flux φ+ et φ− sont donc nuls et le flux sortant de la surface de Gauss se
réduit au seul flux latéral φ .
Pour cette première intégrale, le vecteur unitaire normal extérieur s’identifie au vecteur er et l’on a, pour
tout point P appartenant à cette surface : E ⋅ next = E ⋅ er = Er ( r ) . Cette composante ne dépendant que de
r a même valeur en tout point de la surface S .
φ=
∫∫
P∈SG
E ( P ) ⋅ next δS =
∫∫
P∈S
E ( P ) ⋅ next δS =
∫∫
S
Er ( r ) δS = Er ( r )
∫∫ δS = E ( r ) S = E ( r ) × 2πrh
r
r
S
Appliquons maintenant le théorème de Gauss : ce flux est égal au rapport par ε 0 de la charge électrique
intérieure à la surface de Gauss. Cette charge s’exprime très simplement comme le produit de la charge
linéique λ par la longueur h du segment chargé intérieur.
φ=
qint λh
=
ε0
ε0
Nous en déduisons l’expression du champ en faisant correspondre ces deux expressions du flux :
λh
λ
λ er ( ϕ )
φ = Er ( r ) × 2πrh =
⇒
Er ( r ) =
soit
E ( r, ϕ) =
ε0
2πε 0 r
2πε 0 r
Cylindre de révolution uniformément chargé en surface
Considérons un cylindre de révolution de longueur infinie, d’axe ∆ , de rayon R, porteur d’une charge
répartie uniformément à sa surface avec une densité surfacique σ . Dans le but de calculer le champ en un
point M ( r , ϕ, z ) nous choisissons une surface de Gauss conforme aux symétries, à savoir la surface SG
d’une boîte cylindrique d’axe ∆ et de hauteur h quelconque dont le rayon est choisi égal à r de telle sorte
que le point M appartienne à cette surface. passant par le point M où l’on désire connaître le champ.
∆
∆
σ
σ
S+
M
h
S
M
Qint = 2πRh σ
E
Qint = 0
S−
JLH 04/10/2007
Page 15 sur 25
ÉLECTROSTATIQUE
Chapitre 1
Champ électrique
Comme précédemment, le flux du champ électrique sortant de la surface de Gauss se limite au seul flux à
travers la surface latérale et s’écrit :
φ=
E ⋅ n δS = Er ( r ) × 2πrh
∫∫
SG
où r est le rayon de la surface de Gauss.
Pour un point M est à l’extérieur du cylindre chargé ( r > R ) , la charge intérieure à la surface de Gauss
SG a pour valeur Qint = 2πRh σ tandis qu’au contraire, pour un point M à l’intérieur du cylindre chargé
( r < R ) , la charge intérieure est nulle. Dans chacun de ces cas de figure, le théorème s’écrit :
2πR σ e σR e
Qint 2πRh σ
r
r
à l'extérieur : φ = 2πrh Er ( r ) =
=
soit pour r > R, E =
=
ε0
ε0
2πε0 r
ε0 r
à l'intérieur : φ = 2πrh Er ( r ) = 0
soit pour r < R, E = 0
Er ( r )
σ
ε0
Champ en
1
r
Champ nul
0
0
R
r
Remarque 1 : le champ électrique présente une discontinuité à la surface du cylindre égale à σ ε0 . La
composante normale du champ électrique, comme il se doit, est discontinue à la traversée d’une surface
chargée.
Remarque 2 : à l’extérieur du cylindre, le champ est identique au champ que produirait une distribution
linéique uniforme λ = 2πR σ placée sur l’axe du cylindre. Ce résultat est indépendant de la façon dont les
charges sont réparties à la surface ou à l’intérieur du cylindre, pourvu toutefois que cette répartition de
charge ait une symétrie cylindrique de révolution. En particulier, il en est de même dans le cas d’un
cylindre de révolution uniformément chargé en volume.
Cylindre de révolution uniformément chargé en volume
Considérons un cylindre de révolution de longueur infinie, d’axe ∆ , de rayon R, porteur d’une charge
répartie uniformément dans son volume avec une densité volumique ρ
Nous choisissons une surface de Gauss de la même façon que dans l’exercice précédent et l’expression du
flux sortant est la même :
φ=
E ⋅ n δS = Er ( r ) × 2πrh
∫∫
SG
où r est le rayon de la surface de Gauss.
JLH 04/10/2007
Page 16 sur 25
ÉLECTROSTATIQUE
Chapitre 1
Champ électrique
∆
∆
ρ
ρ
S+
M
h
S
M
Qint = 2πRh σ
E
E
Qint = πR 2 h ρ
S−
Si le point M est à l’extérieur du cylindre chargé ( r > R ) , la charge intérieure à la surface de Gauss SG a
pour valeur Qint = πR 2 h ρ et le champ est identique à celui d’un fil rectiligne uniformément chargé placé
sur l’axe ∆ . Si, au contraire, le point M se trouve à l’intérieur de la sphère chargée ( r < R ) , alors la
charge intérieure ne correspond qu’à une partie de la charge Q proportionnelle au volume délimité par la
surface de Gauss.
Dans chacun de ces cas de figure, le théorème s’écrit :
2
πR 2 ρ e
Qint πR 2 h ρ
R
ρ
e
r
r
=
=
à l'extérieur : φ = 2πrh Er ( r ) =
soit pour r > R, E =
ε0
ε0
2πε 0 r 2ε 0 r
à l'intérieur :
φ = 2πrh Er ( r ) =
Qint πr 2 h ρ
=
ε0
ε0
ρr er
soit pour r < R, E =
2ε 0
Er ( r )
ρR
2ε 0
Champ
intérieur en r
Champ en
1
r
0
0
R
r
Remarque : le champ électrique, cette fois, ne présente aucune discontinuité ni à la surface du cylindre, ni
ailleurs. Nous observons de plus que le champ est nul au centre du cylindre : il n’y a pas ici de singularité
comme c’est le cas pour un fil chargé.
JLH 04/10/2007
Page 17 sur 25
ÉLECTROSTATIQUE
Chapitre 1
Champ électrique
Distributions de charges invariantes par translations planes quelconques
Étude de symétrie
E
L’on se place en coordonnées cartésiennes
orthonormées ( x, y, z ) et l’on considère
une distribution de charges telle que les
densités de charge ne dépendent que de z.
Cela revient au même de dire que la
distribution de charge est invariante par
translation de vecteur quelconque contenu
dans le plan ( O, x, y ) .
M
ez
H
ex
ey
M étant un point quelconque de l’espace et H le projeté orthogonal de M sur le plan ex , ey . La droite
{
}
MH est alors un axe de symétrie pour la distribution des charges et il s’ensuit que la champ électrique est
dirigé selon ez . De plus, l’invariance par translation implique que la valeur algébrique du champ
électrique ne dépend que de z :
E ( M ) = Ez ( z ) ez
Plan infini uniformément chargé : démonstration utilisant le théorème de Gauss
Considérons le cas d’un plan infini porteur
d’une densité surfacique de charge σ
uniforme.
E
M
σ
Il
apparaît
alors
une
symétrie
supplémentaire : le plan chargé est lui-même
un plan de symétrie de la distribution de
charge. En conséquence, en un point M′
symétrique de M, le champ E ′ ( M′ ) est
symétrique de E ( M ) . Cela revient au
S
M′
fonction impaire :
Ez ( − z ) = − Ez ( z )
ez
H
Qint = σS
même de dire que la fonction Ez ( z ) est une
S+
S−
E′
Dès lors, le choix de la surface de Gauss s’impose : nous allons considérer une boîte cylindrique de base
quelconque et de hauteur 2z disposée symétriquement de part et d’autre du plan chargé de telle sorte que
le couvercle supérieur S + , de forme quelconque et de surface S, se trouve à la cote + z tandis que le
couvercle inférieur se trouve à la cote − z . Le champ électrique étant orthogonal au plan chargé, le flux à
travers la surface latérale S est nul.
Il reste à remarquer que la vecteur normal extérieur next s’identifie à + ez sur la surface S + et à −ez sur la
surface S − pour obtenir l’expression simplifiée du flux sortant de la surface de Gauss ;
φ=
∫∫
S ⊕ S + ⊕ S −
E ⋅ n δS =
∫∫
S+
E ⋅ next δS +
∫∫
S−
E ⋅ next δS = ( Ez ( z ) − Ez ( − z ) ) S = 2 Ez ( z ) S
La charge intérieure étant égale à σS , nous en déduisons, par application du théorème de Gauss, pour
z > 0 , la relation : 2 Ez ( z ) S = σS ε0 .
JLH 04/10/2007
Page 18 sur 25
ÉLECTROSTATIQUE
Chapitre 1
Champ électrique
Un point du plan chargé est un centre de symétrie de la distribution de charge : le champ y est donc nul :
pour z = 0 , Ez ( 0 ) = 0 .

 pour z > 0


Soit, finalement :  pour z = 0

 pour z < 0

σ E (z) = +
ez
2ε 0
E ( 0) = 0
σ ez
ou encore : E ( z ) = sgn ( z )
2ε 0
σ E (z) = −
ez
2ε 0
Remarque 1 : dans chaque demi espace, de part et d’autre du plan chargé, le champ électrique est
uniforme. En particulier, le champ électrique n’est pas nul à l’infini, ce qui peut paraître paradoxal si l’on
oublie que nous sommes en présence d’un problème d’école : de la façon dont le problème est posé, il
existe des charges à l’infini en quantité infinie.
Remarque 2 : la discontinuité de la composante normale du champ électrique à la traversée de la surface
σ  σ  σ
chargée a bien pour expression
−−
 = . Nous avons déjà démontré la nécessité de cette
2ε 0  2ε 0  ε 0
relation, conséquence obligatoire du théorème de Gauss.
Plan infini uniformément chargé : démonstration utilisant l’équation locale de Maxwell-Gauss
La démonstration étant faite que les composantes Ex et E y du champ électrique sont nulles et que la
composante Ez ne dépend que de z, la divergence du champ électrique est simplement égale à la dérivée
de Ez par rapport à z :
E ( M ) = Ez ( z ) ez
⇒
dE
div E = z
dz
De part et d’autre du plan chargé, la charge volumique ρ est nulle. Nous en déduisons, d’après l’équation
locale de Maxwell-Gauss, que la divergence du champ électrique y est nulle en tout point et que, par
conséquent, le champ électrique est uniforme dans chacun de ces demi-espaces.
ρ
dEz
div E = = 0
⇒
= 0, soit Ez = C te
ε0
dz
Le plan chargé est un plan de symétrie de la distribution de charge, ce qui implique un champ électrique
dans tout l’espace de la forme symétrique :
 E = + E0 ez
pour z > 0
 pour z < 0
 E = − E0 ez
Enfin, nous connaissons l’expression de la discontinuité de la composante normale du champ à la
traversée d’une surface chargée et nous en déduisons : E+ − E− = + E0 ez − − E0 ez = 2 E0 ez = σez ε 0 .
(
Et finalement :
σ
  E = + 2ε

0
 σ
E =−

2ε 0
ez
pour
z>0
ez
pour
z<0
) (
)
Remarque : des démonstrations du même type peuvent être faites pour déterminer le champ électrique
dans des environnements de symétries cylindrique ou sphérique. Dans chaque cas, une étude préalable de
l’implication des symétries est nécessaire. Il faut alors disposer de l’expression de la divergence dans le
système de coordonnées adéquat, cylindrique ou sphérique.
JLH 04/10/2007
Page 19 sur 25
ÉLECTROSTATIQUE
Chapitre 1
Champ électrique
1.4. Exemples de calculs de champ par intégration vectorielle
Champ électrique dans le plan médiateur d’un segment rectiligne uniformément chargé
On considère un segment AB de longueur porteur
d’une charge totale Q uniformément répartie : la densité
linéique de charge est donc uniforme et a pour valeur :
A
z + dz
z
λ dz
Q
λ=
P
α + dα
ez
O
er
Étude de symétrie
M étant un point du plan médiateur du segment AB et O
le milieu de AB, l’axe OM est un axe de symétrie de la
distribution de charge. Le champ électrique en M est
donc selon cette direction : le champ est radial.
−α max
Champ élémentaire
dEr
α
M
dE
Considérons le point P du segment AB, de cote z et la
charge élémentaire dq = λ dz située au point P. Cette
charge ponctuelle produit au point M un champ
élémentaire conforme à la loi de Coulomb :
B
1 λ dz
dE =
ePM
4πε 0 PM 2
Le champ E ( M ) au point M s’obtient par sommation intégrale de ces champs élémentaires dE , le point
P parcourant le segment AB.
Nous l’avons déjà démontré, le champ E ( M ) est un champ radial. Il nous suffit donc pour l’obtenir,
d’intégrer les composantes radiales :
dEr =
1 λ dz 1 λ dz
ePM ⋅ er =
cos α
2
4πε 0 PM
4πε 0 PM 2
Intégration
L’angle α est l’angle sous lequel est vu depuis le point M le segment algébrique OP , défini par la
relation tan α = z r , avec r = OM .
Nous avons donc dz = r d ( tan α ) = r
dα
( cos α )
dEr =
2
et PM =
r
, ce qui nous permet d’écrire :
cos α
1 λ dz
λ
cos α =
cos α d α
2
4πε 0 PM
4πε 0 r
Nous obtenons ainsi la composante radiale du champ électrique en faisant varier α sur le domaine
−α max ⋅⋅ + α max , soit :
Er =
JLH 04/10/2007
∫
+α max
−α max
+α
max
λ
λ 
λ

cos α d α =
sin
α
=
sin α max


4πε 0 r
4πε 0 r 
 −α max 2πε 0 r
Page 20 sur 25
ÉLECTROSTATIQUE
D’où l’expression vectorielle :
Chapitre 1
E =
Q
4πε 0 r
Champ électrique
1
r2 +
2
4
er
Remarque : deux comportements limites sont particulièrement intéressants à observer.
1. Dans la limite d’un fil infiniment long, α max → π 2 et nous retrouvons bien l’expression du champ
calculée à la section précédente en utilisant le théorème de Gauss :
λ er
E ∼
→∞ 2πε
0 r
2. Dans la limite où l’on s’éloigne du segment chargé à une distance très grande devant sa longueur ,
nous avons sin α max ∼ 2r et, par conséquent :
Q er
E ∼
2
r →∞ 4 πε
0 r
Le champ est équivalent au champ coulombien que produirait une charge ponctuelle Q.
Champ électrique sur l’axe d’un anneau circulaire uniformément chargé
Un anneau circulaire de rayon R est porteur d’une
charge Q uniformément répartie, ce qui correspond
Q
à une densité linéique λ =
.
2πR
Étude de symétrie
L’axe de la spire est un axe de symétrie de la
distribution de charge. En tout point M de cet axe,
le champ est donc dirigé selon Oz.
Le plan de la spire, plan de symétrie de la
distribution de charge, est aussi un plan de symétrie
de la carte de champ : la composante Ez est donc
une fonction impaire de z :
dE
Q
λ=
2πR
z
dEz
M
dq
ez
O
P
dϕ
Ez ( − z ) = − Ez ( z )
Champ élémentaire
Considérons une charge élémentaire en un point P et exprimons le champ électrique créé en M par cette
dϕ
charge dq = λR d ϕ = Q
.
2π
1
d ϕ ePM
dE =
Q
4πε 0 2π PM 2
Q ePM ⋅ ez d ϕ
Q
z
dϕ
Projetons ce champ sur l’axe Oz : dEz =
=
3
2
2
4πε 0 PM 2π 4πε0 ( R 2 + z 2 ) 2π
JLH 04/10/2007
Page 21 sur 25
ÉLECTROSTATIQUE
Chapitre 1
Champ électrique
Intégration
Il reste à intégrer selon l’angle ϕ : Ez =
Q
z
1
3
2
4πε 0 ( R 2 + z 2 ) 2π
∫
2π
dϕ =
0
Q
z
4πε 0 ( R 2 + z 2 )3 2
Et nous obtenons finalement :
Q
z
E =
e
z
4πε 0 ( R 2 + z 2 )3 2
Ez
−2R
−R
Ez max =
O
R
2
Q
2
2
4πε 0 R 3 3
R
z
2R
Remarque 1 : dans la limite où l’on s’éloigne de l’anneau chargé à une distance très grande devant son
rayon R, le champ est équivalent au champ coulombien que produirait une charge ponctuelle Q.
Remarque 2 : le centre de l’anneau est un centre de symétrie de la distribution de charge, le champ
électrique y est donc nul.
Champ électrique sur l’axe d’un disque circulaire uniformément chargé en surface
z
Un disque circulaire de rayon R est porteur d’une
charge Q uniformément répartie, ce qui correspond
à une densité surfacique σ = Q πR 2 .
dEz
Étude de symétrie
M
L’axe du disque est un axe de symétrie de la
distribution de charge. En tout point M de cet axe,
le champ est donc dirigé selon Oz.
Le plan du disque, plan de symétrie de la
distribution de charge, est aussi un plan de symétrie
de la carte de champ : la composante Ez est donc
une fonction impaire de z :
σ=
Q
πR 2
dq
P
ez
O
r
r + dr
Ez ( − z ) = − Ez ( z )
JLH 04/10/2007
Page 22 sur 25
ÉLECTROSTATIQUE
Chapitre 1
Champ électrique
Toutefois, à la différence de l’étude précédente, nous nous attendons dans ce cas à une discontinuité de la
composante Ez du champ électrique à la traversée de la nappe de charge, en z = 0
Champ élémentaire
Considérons un anneau de charge compris entre les rayons r et r + dr . Cet anneau est porteur d’une
Q
2Q
charge dq = σ dS =
× 2πr dr = 2 r dr et la contribution dEz du champ électrique au point M de cote
2
πR
R
z est donnée par l’expression calculée à l’exercice précédent :
dEz =
dq
z
Q
z r dr
=
3
2
2
4πε0 ( r 2 + z 2 )
2πε 0 R ( r 2 + z 2 )3 2
Intégration
Il nous reste à faire varier r de 0 à R afin d’obtenir le champ créé par le disque entier :
Qz
Ez =
2πε 0 R 2
∫
R
0
(r
r dr
2
+ z2 )
32
Q
sgn ( z )
=
2πε 0 R 2
Ez =
soit, finalement :
0
(u
u du
2
+ 1)
32
Q
sgn ( z )
=
2πε 0 R 2

1 z
−


2
 1 + u 0

Q 
z
sgn
z
−
(
)


2πε 0 R 2 
z 2 + R2 
+
−2 R
∫
R
R
z
Ez
Q
2πε 0 R 2
−R
R
−
2R
z
Q
2πε 0 R 2
Remarque 1 : ici encore, à une distance très grande devant son rayon R, le champ est équivalent au champ
coulombien que produirait une charge ponctuelle Q.
Remarque 2 : à la traversée du disque chargé, la discontinuité du champ a pour valeur Q πε 0 R 2 , soit
σ ε0 , avec σ = Q πR 2 .
JLH 04/10/2007
Page 23 sur 25
ÉLECTROSTATIQUE
Chapitre 1
Champ électrique
1.5. Exemples de calculs de champ par application du théorème de
superposition
Condensateur plan infini
Considérons deux plans infinis parallèles. Le premier à la cote + a 2 est porteur d’une densité surfacique
de charge +σ uniforme et le deuxième à la cote − a 2 est porteur d’une densité surfacique de charge −σ .
Étude de symétrie
Tout comme dans le cas étudié précédemment d’un plan uniformément chargé, toute droite orthogonale
aux plans est un axe de symétrie et nous avons affaire à un problème invariant par translation plane. Nous
pouvons en conclure a priori que le champ est de la forme : E = Ez ( z ) ez
Cette fois, le plan z = 0 est un plan d’antisymétrie de la distribution de charge et donc aussi un plan
d’antisymétrie du champ électrique : Ez ( z ) doit être une fonction paire.
Décomposition du problème
Par application du théorème de superposition, nous pouvons conclure immédiatement que le champ
résultant est la somme des champs créés par chacun des plans chargés s’il était seul.
z
+
a
2
σ E+ = +
ez
2ε0
σ E− = −
ez
2ε0
z
+σ
ez
z
+
ez
σ E+ = −
ez
2ε0
−
−σ
σ E+ = −
ez
2ε0
+σ
ez
σ E− = −
ez
2ε 0
a
2
En conséquence, le champ a pour module
a
2
−
E+ + E− = 0
a
2
σ E− = +
ez
2ε0
σ E+ + E− = − ez
ε0
−σ
E+ + E− = 0
σ
entre les deux plans chargés et il est nul en dehors de l’inter
ε0
plaques.
Remarque 1 : nous retrouvons bien sûr les discontinuités de valeurs algébrique +
σ
σ
et −
à la traversée
ε0
ε0
des plaques de densités surfaciques +σ et −σ .
Remarque 2 : le champ intérieur est dirigé des charges positives vers les charges négatives : nous sommes
ici dans une situation que nous retrouverons à l’occasion de l’étude du condensateur plan.
JLH 04/10/2007
Page 24 sur 25
ÉLECTROSTATIQUE
Chapitre 1
Champ électrique
Champ sur l’axe d’un trou circulaire percé dans un plan infini uniformément chargé
Étude de symétrie
E
Le plan chargé étant un plan de symétrie,
nous aurons une composante Ez fonction
impaire de z.
Bien sûr, l’invariance par translation
parallèle au plan chargé n’existe plus, mais
il subsiste une invariance par rotation autour
de Oz : les composantes cylindriques Er ,
M
σ
H
ez
Eϕ , Ez du champ ne dépendent donc pas de
l’angle ϕ .
De plus, tout plan contenant l’axe Oz étant
un plan de symétrie, la composante
orthoradiale du champ est nulle.
M′
E′
En un point M quelconque de l’espace, le champ électrique est donc de la forme :
E ( r , ϕ, z ) = Er ( r , z ) er ( ϕ ) + Ez ( r , z ) ez
et particulièrement sur l’axe Oz :
E ( z ) = Ez ( z ) ez
À la traversée du plan en O il n’y a pas de charge surfacique : nous nous attendons donc à ce que la
composante Ez soit continue sur l’axe Oz.
Décomposition du problème
Considérons d’une part un plan infini de charge surfacique uniforme +σ et d’autre part un disque de
centre O et de rayon R porteur d’une charge surfacique uniforme −σ . Le problème posé correspond à la
superposition de ces deux distributions de charges que nous avons déjà étudiées.
( +σ ) e + ( −σ ) sgn z 1 − z  e = σ
E ( z ) = sgn ( z )
( )
 z
z
2
2
2ε 0
2ε 0
2ε 0
z
+
R


plan infini
de charge
surfacique + σ
−R
Ez
O
−
JLH 04/10/2007
z 2 + R2
ez
disque de rayon R
de charge
surfacique − σ
σ
+
2ε 0
−2 R
z
R
2R
z
σ
2ε 0
Page 25 sur 25