Suites 1. Déterminer toutes les suites réelles telles que : avec a = 3

Suites
PC*
2013 − 2014
1. Déterminer toutes les suites réelles telles que :
∀n ∈ N, un+2 + 5un+1 − 14un = an
avec a = 3 puis a = 2
2. Étudier la suite dénie par son premier terme u0 = a ∈ R et, pour tout n ∈ N,
un+1 = −u2n + 5un − 4.
3. Idem avec un+1 =
(un − 3)3
;
4
un+1 = u2n − 2 ;
4. Montrer que pour tout n ∈ N , le polynôme Pn =
∗
un+1 = cos un .
n
∑
X k −1 admet une unique
k=1
racine dans [0, 1] notée an . Montrer que la suite (an ) est convergente, de limite
notée α. Déterminer un équivalent de an − α.
5. Étudier les suites dénies par x0 = y0 = 0 et , pour tout n :
xn+1 =
√
√
7 − yn n+1 = 7 − xn
Vérier que ces deux suites sont bien dénies. Déterminer les limites éventuelles L et L′ . Étudier xn − L et yn − L′ .
6. Étudier la suite dénie par : u0 réel, pour tout n, un+1 = b + a sin(un ) avec
b ∈ R et a ∈] − 1, 1[.
7. (un ) est une suite de réels, bornée. On suppose que la suite de terme général
un+1 − un est croissante. Montrer que la suite (un ) est convergente.
8. (xn ) est une suite de réels strictement positifs. On note pour tout n ∈ N∗ ,
Sn =
n
∑
xk et on suppose que la suite (Sn ) diverge vers +∞.
k=1
Soit alors (un ) une suite d'éléments de C et vn la suite de terme général
∑n
vn =
k=1
x k uk
Sn
n ∈ N∗
Montrer que si la suite (un ) est convergente de limite α, la suite (vn ) est
convergente de même limite α.
Étudier le cas où la suite (un ) est réelle et diverge vers +∞.
Soit (tn ) une suite de réels avec tn ∼ xn . On note Tn =
n
∑
k=1
tk .
Montrer que Tn ∼ Sn .
9. On dénit une suite par son premier terme u0 réel et la relation :
∀n ∈ N(, un+1 = )e−un un . Déterminer un réel α tel que la suite de terme
général uαn+1 − uαn soit convergente. Appliquer alors le théorème de Cesaro
pour déterminer un équivalent de un .
10. Étudier la convergence éventuelle des deux suites dénies par :
un =
n
∑
k=1
√1
k
n
√
∑
− 2 n + 1 et vn =
k=1
√1
k
√
−2 n
Suites numériques
Suites
PC*
2013 − 2014
(
)
11. (xn ) est une suite de réels positifs telle que : lim xn + 12 x2n = ℓ , ℓ réel quelconque.
n→+∞
Montrer que cette suite est convergente et déterminer sa limite.
12. Étudier la suite complexe dénie par : u0 élément de C et, pour tout n de N,
un+1 = 12 [un + |un |]
13. a, b sont deux réels strictement positifs. On considère deux suites de réels
strictement positifs (an )n∈N et (bn )n∈N telles que lim ann = a et lim bnn = b.
n→+∞
n→+∞
p, q sont deux réels positifs de somme 1. Déterminer la limite de la suite de
terme général. (pan + qbn )n
14. u0 , u1 , u2 sont trois réels strictement positifs et , pour tout n ,
√
un+3 = 3 un un+1 un+2
Étudier la suite .
15. Soit (un ) une suite telle que les trois suites extraites (u2n ), (u2n+1 ), (u3n ) soient
convergentes. Montrer que la suite (un ) est convergente.
16. Pour tout n de N∗ on note : un =
n
∑
k=0
1
k!
1
et vn = un + n×n!
. Montrer que ces
deux suites sont convergentes, de même limite notée e. Montrer que, pour tout
λn
n ∈ N∗ , il existe un élément λn de ]0, 1[tel que e = un + n×n!
En déduire que e n'est pas rationnel.
√
√
17. Déterminer les suites a et b telles que ( 2 + 1)n = an + 2bn .
Prouver
que, √
pour tout
√ n ∈ N, il existe un entier pn de N tel que
√
( 2 + 1)n =
pn +
pn + 1
18. Limites supérieures et inférieures
Soit (u) une suite réelle majorée. On pose vp = sup{un ; n > p}. Prouver que
la suite (vn ) est décroissante. Prouver que la suite (vn ) diverge si et seulement
si la suite (un ) tend vers −∞.
Montrer que si la suite (un ) est majorée, la suite (vn ) converge et que si la
suite (un ) n'est pas majorée, la suite (vn ) diverge vers +∞.
La limite obtenue est appelée limite supérieure de la suite (un ).
Dénir de même une limite inférieure.
19. Étudier les suites dénies par les relations de récurrence :
√
−4
un+1 =
; un+1 = u2n − un + 1 ; un+1 = 1 + un
un + 4
20. Prouver la convergence d'une suite bornée qui vérie, pour tout n, an+2 ≤
21. Étudier la convergence des produits :
n
∏
n3 + k 2
k=1
n3
;
n
∏
n3 − k 2
k=1
1
(an+1 + 2an )
3
n3
22. Étudier la limite éventuelle des suites de terme général :
n
∑
k=1
n
∑
n
n
;
;
2
2
n + k k=1 n + k 2
∫
1
tn sin tdt ; un = n sin(2πen!)
0
On pourra appliquer une formule de Taylor à l'exponentielle entre 0 et 1.
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